韓昌輝 葛連珺 高麗宇 呂 翎

自然界存在著大量的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，并且復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)在物理學(xué)、神經(jīng)學(xué)、信息通信以及保密技術(shù)等領(lǐng)域中均有著重要應(yīng)用.其中，作為復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的一種關(guān)鍵性集體行為，其同步化現(xiàn)象的研究也越來越受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-5].長期以來，基于穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)同步研究一直是人們研究的主要方向[6-9].然而，實際網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)常常是變化的.其原因在于在實際應(yīng)用中，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的連接方式經(jīng)常由于連接故障或新節(jié)點的加入而改變，進而使得網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)隨之改變，從而使網(wǎng)絡(luò)同步的實現(xiàn)變得更加困難，增加了網(wǎng)絡(luò)同步狀態(tài)發(fā)生崩潰的可能性.因此，具有拓撲切換特性的網(wǎng)絡(luò)同步研究也就成為了目前人們研究的熱點問題.

目前，具有拓撲切換特性的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步研究已有文獻報道.其中典型的如Zhai[10]研究了具有拓撲切換特性的非線性系統(tǒng)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)的同步行為.文獻[11]研究了具有切換有向拓撲的多智能網(wǎng)絡(luò)的一致性跟蹤控制問題.文獻[12]中，F(xiàn)an 等研究了具有切換拓撲特性的異構(gòu)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的準同步行為.文獻[13]報道了具有Markovian 切換特性的耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)指數(shù)同步問題.這些工作為我們進一步深入地研究具有拓撲切換特性的網(wǎng)絡(luò)同步問題奠定了理論基礎(chǔ).

然而，已報道的上述成果中其同步技術(shù)仍具有若干局限性.例如文獻[13]中的拓撲結(jié)構(gòu)切換利用的是Markovian 切換，人們很難對其進行控制.而在實際中，常常需要根據(jù)人們的實際需求隨時進行網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的切換.同時，網(wǎng)絡(luò)中參數(shù)的未知性也是實際網(wǎng)絡(luò)受到外界干擾而具有的不穩(wěn)定因素.不難看出，含有未知參數(shù)的網(wǎng)絡(luò)同步研究十分必要.另外，有關(guān)連續(xù)型網(wǎng)絡(luò)同步研究的文獻也比較多見，而離散型網(wǎng)絡(luò)的同步研究相對較少.其中較為典型的工作如Zhang 等[14]利用線性矩陣不等式技術(shù)研究了具有時變時滯和隨機擾動的離散時間網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題.文獻[15]研究了一類具有不確定內(nèi)耦合的離散時間隨機網(wǎng)絡(luò)的同步和狀態(tài)估計.Cheng等[16]研究了具有時延耦合的離散動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的牽制同步，并依據(jù)牽制控制技術(shù)得到了網(wǎng)絡(luò)的同步判據(jù).但上述工作主要集中在拓撲結(jié)構(gòu)固定不變的網(wǎng)絡(luò)同步問題，并未涉及變結(jié)構(gòu)離散網(wǎng)絡(luò)的同步問題.同時，時間混沌系統(tǒng)一直被人們用以研究網(wǎng)絡(luò)同步的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點.相比于時間網(wǎng)絡(luò)，時空網(wǎng)絡(luò)因其具有獨特的空間特征近年來逐漸被人們采用來研究網(wǎng)絡(luò)同步問題，但其同步技術(shù)依然不夠成熟.

值得注意的是，雖然網(wǎng)絡(luò)同步有滑?？刂仆絒17-18]、驅(qū)動響應(yīng)同步[19]、自適應(yīng)同步[20-21]、指數(shù)同步[22]和耦合同步[23]等多種類型，但其中的指數(shù)同步因在調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)同步速率方面有其獨特的優(yōu)勢，因而受到人們的廣泛青睞.為此，文獻[24]研究了具有混合時變時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)指數(shù)同步問題.Ahmed 等[25]通過構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)研究了一類具有有向拓撲和時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題.文獻[26]研究了具有時變內(nèi)耦合的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步，并獲得了確保網(wǎng)絡(luò)指數(shù)同步的充分條件.但據(jù)我們所知，目前關(guān)于離散型時空網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步方案還鮮有報道.

基于上述討論，本文研究了具有拓撲切換特性的離散型不確定時空網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步，并對網(wǎng)絡(luò)中的未知參數(shù)進行了識別.這種同步技術(shù)的優(yōu)勢在于網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)可按照人為的需要任意切換，其同步性能不受影響.同時，我們構(gòu)造了一個具有指數(shù)形式的特殊的Lyapunov 函數(shù)，通過調(diào)節(jié)其中的參數(shù)，能夠有效地調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)的同步速率.

1 時空網(wǎng)絡(luò)與目標系統(tǒng)的指數(shù)同步

考慮N個離散型時空混沌系統(tǒng)作為節(jié)點的時空網(wǎng)絡(luò)與單一目標系統(tǒng)的指數(shù)同步.目標系統(tǒng)取如下形式:

其中，n為離散化時間，m為空間格點坐標，F(xiàn)(y(m，n)，α) 是目標系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù).f(y(m，n))是經(jīng)過適當分離后得到的不含系統(tǒng)參數(shù)的部分，g(y(m，n))α為含有系統(tǒng)參數(shù)的部分，α為系統(tǒng)參數(shù).

網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的動力學(xué)方程取如下形式:

顯然，若exp(μ′)-1＜0，即μ′ ＜0，必有ΔV＜0.基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論，上述網(wǎng)絡(luò)與目標系統(tǒng)達到指數(shù)同步.

2 仿真模擬與分析

為了驗證同步方案，我們選取具有時空混沌行為的激光相位共軛波空間拓展系統(tǒng)[27-28]作為目標系統(tǒng)和時空網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點進行仿真模擬.

激光相位共軛波空間拓展系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

其中，系統(tǒng)參數(shù)ω=28，B=1，ε=0.1，而J0表示零級Bessel 函數(shù).

針對上述方程，取周期性邊界條件，并且初始值在(1.8，2) 區(qū)間內(nèi)隨機取值，我們仿真模擬了激光相位共軛波空間拓展系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時空的演化如圖1 所示.明顯地，該系統(tǒng)處于時空混沌態(tài).

圖1 狀態(tài)變量x(m，n) 的時空演化Fig.1 Spatiotemporal evolution of state variable x(m，n)

在仿真模擬中，目標系統(tǒng)取單一的激光相位共軛波空間拓展系統(tǒng)

任選網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)N=7，基于式(2) 構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的動力學(xué)方程

其中，參數(shù)ε在模擬過程中假設(shè)為未知量.

選取時間段[0，250]，并假設(shè)相應(yīng)的切換信號s(n) 如圖2 所示.我們選取4 種時空網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)與切換信號s(n)對應(yīng)，如圖3 所示.具體來說，例如當時間n=[0，50)時，對應(yīng)切換信號s(n)=1，即此時的時空網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)為圖3(a)，對應(yīng)的耦合矩陣為C1;當時間n=[50，80) 時，切換信號s(n)=3，即此時的時空網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)為圖3(c)，對應(yīng)的耦合矩陣為C3.顯然，不同時間段的切換信號s(n) 都有一一對應(yīng)的拓撲結(jié)構(gòu)，且與拓撲結(jié)構(gòu)對應(yīng)的耦合矩陣為

圖2 拓撲切換信號s(n)Fig.2 The topology switching signal s(n)

圖3 4 種切換拓撲結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Four switching topologies

基于式(6) 和式(7)，我們可以獲得對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)控制器及其參數(shù)識別律，其中相關(guān)參數(shù)取為μ′=-0.09，μ=-0.01，φi=0.012.取周期性邊界條件，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點狀態(tài)變量的初始值仍隨機選取，我們模擬網(wǎng)絡(luò)誤差隨時空的演化如圖4～10 所示，參數(shù)識別量隨時空的演化如圖11～17 所示.

圖4 誤差e1(m，n) 隨時空的演化Fig.4 Spatiotemporal evolution of error e1(m，n)

圖5 誤差e2(m，n) 隨時空的演化Fig.5 Spatiotemporal evolution of error e2(m，n)

圖6 誤差e3(m，n) 隨時空的演化Fig.6 Spatiotemporal evolution of error e3(m，n)

圖7 誤差e4(m，n) 隨時空的演化Fig.7 Spatiotemporal evolution of error e4(m，n)

圖8 誤差e5(m，n) 隨時空的演化Fig.8 Spatiotemporal evolution of error e5(m，n)

圖9 誤差e6(m，n) 隨時空的演化Fig.9 Spatiotemporal evolution of error e6(m，n)

由圖4～10 可以發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)誤差ei(m，n) 在初始階段存在一定振蕩但經(jīng)過較短時間后振蕩明顯減弱并且當n=60 時同步誤差迅速收斂于零此時網(wǎng)絡(luò)達到了指數(shù)同步狀態(tài).同時，保持其他參數(shù)不變，調(diào)節(jié)參數(shù)μ取不同的數(shù)值，網(wǎng)絡(luò)的同步誤差趨于零的快慢程度是不同的，可見指數(shù)同步在控制同步速率方面有較大的優(yōu)勢.另外，從圖中也可以看到，在整個時間序列[0，250]上，即使網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)隨著切換信號任意變化，但網(wǎng)絡(luò)誤差收斂于零后一直保持穩(wěn)定狀態(tài)，說明網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的切換并不影響網(wǎng)絡(luò)的同步性能.圖11～17 顯示，由于初始值不同，未知參數(shù)εi(m，n) 的識別圖像在n=60 之前有明顯的波動.但在此之后逐漸趨于定值0.1，與參數(shù)的實際值一致，表明未知參數(shù)的識別效果明顯.

圖10 誤差e7(m，n) 隨時空的演化Fig.10 Spatiotemporal evolution of error e7(m，n)

圖11 未知參數(shù)ε1(m，n) 隨時空的演化Fig.11 Spatiotemporal evolution of unknown parameter ε1(m，n)

圖12 未知參數(shù)ε2(m，n) 隨時空的演化Fig.12 Spatiotemporal evolution of unknown parameter ε2(m，n)

圖13 未知參數(shù)ε3(m，n) 隨時空的演化Fig.13 Spatiotemporal evolution of unknown parameter ε3(m，n)

圖14 未知參數(shù)ε4(m，n) 隨時空的演化Fig.14 Spatiotemporal evolution of unknown parameter ε4(m，n)

圖15 未知參數(shù)ε5(m，n) 隨時空的演化Fig.15 Spatiotemporal evolution of unknown parameter ε5(m，n)

圖16 未知參數(shù)ε6(m，n) 隨時空的演化Fig.16 Spatiotemporal evolution of unknown parameter ε6(m，n)

圖17 未知參數(shù)ε7(m，n) 隨時空的演化Fig.17 Spatiotemporal evolution of unknown parameter ε7(m，n)

3 結(jié)論

在時空網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)隨著切換信號的變換而變化的情況下，通過設(shè)計有效的同步控制器和含有指數(shù)形式的Lyapunov 函數(shù)，我們實現(xiàn)了含有未知參數(shù)的離散型時空網(wǎng)絡(luò)與單一目標的指數(shù)同步，并且未知參數(shù)也得到了有效的識別.通過仿真模擬，我們進一步驗證了設(shè)計的同步原理的有效性.模擬結(jié)果表明，網(wǎng)絡(luò)誤差ei(m，n) 在較短的時間內(nèi)趨于零，未知參數(shù)的識別曲線經(jīng)過短時間波動后也趨于定值0.1.我們發(fā)現(xiàn)，變化的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)并沒有對網(wǎng)絡(luò)的同步性能產(chǎn)生影響，并且指數(shù)同步策略能夠有效地控制網(wǎng)絡(luò)的同步速率.