王劍平

（浙江省能源集團(tuán)有限公司，浙江 義烏 071003）

0 引言

PID 控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，魯棒性強(qiáng)，適用性強(qiáng)，在實(shí)踐過(guò)程中易于理解和實(shí)施。因此，到目前為止，仍舊是工業(yè)過(guò)程中使用最為廣泛的控制器。但是PID 控制器的缺點(diǎn)也十分明顯，就是控制性能十分依賴(lài)于PID 控制器參數(shù)的整定與優(yōu)化，PID 參數(shù)的優(yōu)劣直接影響到系統(tǒng)的控制性能。因此，如何尋找更為優(yōu)秀的PID 控制器參數(shù)至關(guān)重要。

在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，絕大多數(shù)的PID 控制器參數(shù)仍采用工程整定方法[1]，諸如經(jīng)驗(yàn)整定法，以Ziegler-Nichols(Z-N)法為代表的基于規(guī)則的方法、內(nèi)?？刂频瓤刂品椒?。這些方法雖然理論基礎(chǔ)比較低，也很容易實(shí)現(xiàn)，經(jīng)驗(yàn)比較豐富的技術(shù)人員可以得到不錯(cuò)的控制效果，但是由于現(xiàn)階段工業(yè)過(guò)程的復(fù)雜工況所致，傳統(tǒng)的PID 參數(shù)整定方法已經(jīng)逐漸跟不上控制過(guò)程的需要。隨著控制領(lǐng)域的迅速發(fā)展，現(xiàn)在也已經(jīng)提出了許多基于人工智能技術(shù)的新型算法，例如Krohling[2]提出了遺傳算法，Azwar[3]提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等。這些算法具有很廣泛的應(yīng)用前景，并且在優(yōu)化問(wèn)題上有獨(dú)到的優(yōu)勢(shì)，但是應(yīng)用到實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中并不能夠獲得預(yù)期的效果。其中一個(gè)很重要的原因就是大多數(shù)調(diào)整方法都是針對(duì)特定的生產(chǎn)過(guò)程和生產(chǎn)環(huán)境而產(chǎn)生的，它們僅在自己的領(lǐng)域中才可以得到最理想的結(jié)果。不確定應(yīng)該選用哪種整定方法可以為給定的生產(chǎn)過(guò)程提供良好的控制。因此，如果存在一種普遍線(xiàn)性過(guò)程的高性能通用設(shè)計(jì)方法來(lái)獲得不錯(cuò)的控制效果，是十分有利的。

差分進(jìn)化法（Differential Evolution, DE）是Rainer Storn和Kenneth Price[4]在1995 年為求解切比雪夫多項(xiàng)式而提出的一種基于群體差異的啟發(fā)式隨機(jī)搜索算法。其本質(zhì)上是一種“貪婪算法”，相比于一般的進(jìn)化優(yōu)化算法，DE 算法從一個(gè)群體的多個(gè)點(diǎn)協(xié)同搜索，這是DE 算法能夠很好地避免陷入局部最優(yōu)解，同時(shí)具有記憶功能可以跟蹤當(dāng)前搜索情況以調(diào)整其搜索策略，具有較強(qiáng)的全局收斂能力和魯棒性，比遺傳算法要優(yōu)秀許多。但是標(biāo)準(zhǔn)DE 算法也存在只針對(duì)連續(xù)域、收斂速度慢等問(wèn)題。

許多專(zhuān)家學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，如王艷宜[5]提出了一種混合差分策略，將兩種差分策略并行混合作用于種群中，潘暉[6]等提出了一種改進(jìn)的二進(jìn)制差分進(jìn)化（Modified Binary Differential Evolution, MBDE）算法，并采用MBDE 與PID 控制器參數(shù)穩(wěn)定域結(jié)合，在可行域范圍內(nèi)求得最優(yōu)解，?？×諿7]等提出了一種隨機(jī)縮放因子來(lái)增強(qiáng)搜索能力。如何進(jìn)一步提高DE 算法的收斂速度與性能，優(yōu)化控制器參數(shù)上仍舊有許多工作要做。

本文為了提高PID 參數(shù)的優(yōu)化速度，并且在不降低控制性能，破壞全局最優(yōu)約束條件的情況下，在基于以上研究的基礎(chǔ)上，改進(jìn)了DE 算法的參數(shù)設(shè)置，設(shè)計(jì)了新的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)應(yīng)用到PID 參數(shù)的整定，并進(jìn)行了實(shí)例仿真。

1 標(biāo)準(zhǔn)DE算法

DE 算法是一種基于種群的優(yōu)化器，通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)在多個(gè)隨機(jī)選擇的起始點(diǎn)進(jìn)行抽樣，進(jìn)行智能指導(dǎo)優(yōu)化搜索。DE 算法根據(jù)父代個(gè)體間的差分矢量通過(guò)變異、交叉和選擇3 個(gè)操作來(lái)進(jìn)行智能搜索。DE 算法基本思想是在預(yù)定區(qū)間內(nèi)，選取隨機(jī)初始群體的任意兩個(gè)個(gè)體的向量差進(jìn)行加權(quán)，在與通過(guò)確定的規(guī)則與另外一個(gè)個(gè)體求和以產(chǎn)生新的個(gè)體，然后將新個(gè)體與正在搜索的種群中提前選定的個(gè)體（一般為第一個(gè)個(gè)體）進(jìn)行比較，保留經(jīng)過(guò)取優(yōu)函數(shù)篩選之后更優(yōu)的個(gè)體，通過(guò)預(yù)定次數(shù)的迭代運(yùn)算，優(yōu)勝劣汰，不斷地搜索逼近最優(yōu)解。

1.1 生成初始種群

確定初始種群的向量個(gè)體界定范圍[L,H]，隨機(jī)生成n個(gè)N 維向量，其中第k 個(gè)個(gè)體xi,j(k)

所有n 個(gè)N 維隨機(jī)向量，組成初始種群

其中，k=1,2,…n--種群內(nèi)第k 個(gè)個(gè)體；

randj(0,1)--[0,1]之間的隨機(jī)小數(shù)；

Uj，Lj--第k 個(gè)個(gè)體的上界和下界。

1.2 變異操作

對(duì)以上生成的初始化種群，通過(guò)變異和重組后得到一個(gè)由n 個(gè)向量構(gòu)成的種群，DE 算法中的變異操作是將一個(gè)可縮放的、隨機(jī)選取的向量差分增量與第3 個(gè)向量按照特定規(guī)律進(jìn)行組合，生成一個(gè)新的變異向量vi,j。常用的變異操作類(lèi)型有以下5 種方式[8]：

a）DE/rand/1

b）DE/rand/2

c）DE/best/1

d）DE/best/2

e）DE/current-to-best/1

其中，g=0,1,…,G—所屬代數(shù)；

r1,…,r5?N—從g代種群中隨機(jī)選取的互不相同的整數(shù)；

xbest,j--g 代種群中最符合取優(yōu)函數(shù)數(shù)值的個(gè)體；

F—DE 的變異因子。

變異操作是DE 算法的關(guān)鍵，一般在5 種方式中隨機(jī)選取一種，但是也可以采用類(lèi)似文獻(xiàn)[9]組合的方式進(jìn)行變異。

1.3 交叉操作

為了完善DE 算法的變異搜索策略，增加種群的多樣性，DE 算法使用了“均勻交叉”方法，也被稱(chēng)為“離散重組”。交叉操作利用從兩個(gè)不同的向量中復(fù)制的參數(shù)值來(lái)構(gòu)造試驗(yàn)向量，然后將每一個(gè)種群中的向量與一個(gè)變異向量進(jìn)行交叉操作：

其中，CR?[0,1] —交叉因子；

jrand—區(qū)間[1,N]選取的隨機(jī)數(shù)，保證hi,j,g不完全復(fù)制xi,j,g，從而避免種群的無(wú)效雜交。

1.4 選擇操作

如果實(shí)驗(yàn)向量hi,j,g的適應(yīng)度值小于等于目標(biāo)向量xi,j,g的適應(yīng)度值，則保留試驗(yàn)向量到下一代中，作為下一代的目標(biāo)向量；否則，目標(biāo)向量就會(huì)保持，繼續(xù)作為下一代種群的目標(biāo)向量[10]。選擇操作表示為：

圖1 差分進(jìn)化法流程圖Fig.1 Differential evolution method flow chart

其中，f(xi,j,g)—計(jì)算出的第g 代個(gè)體xi,j,g適應(yīng)度目標(biāo)函數(shù)值。

DE 的選擇算子是依次對(duì)試驗(yàn)向量進(jìn)行運(yùn)算，然后與目標(biāo)向量作比較，保留最優(yōu)的向量，使得子代個(gè)體的適應(yīng)度值總是優(yōu)于父代個(gè)體的適應(yīng)度值，從而逐步向最優(yōu)向量逼近，得到滿(mǎn)意解。

綜上所述，差分進(jìn)化算法的基本流程如圖1 所示。

2 改進(jìn)DE算法的參數(shù)設(shè)置

DE 算法作為一種非常實(shí)用且有效的優(yōu)化算法，但標(biāo)準(zhǔn)DE 算法也會(huì)陷于局部最優(yōu)解，容易出現(xiàn)早熟收斂等現(xiàn)象。針對(duì)DE 算法的這些問(wèn)題，提出了新的檢索因子。

2.1 線(xiàn)性調(diào)整變異因子F

變異因子F 是DE 算法的關(guān)鍵參數(shù)，它表征種群的多樣性和收斂性。DE 算法中F 一般都取定常數(shù)，F(xiàn) 值較小時(shí)，群體的差異度減小，進(jìn)化過(guò)程比較不容易跳出局部極值導(dǎo)致種群過(guò)早的收斂；F 值較大時(shí)，收斂速度會(huì)減小，但是容易跳出局部極值。經(jīng)查閱多數(shù)文獻(xiàn)，變異因子F 的取值在區(qū)間[0,2]內(nèi)，一般在1 的附近選取。

本文中設(shè)計(jì)了一種線(xiàn)性調(diào)整變異因子：

其中，F(xiàn)max—選定變異因子最大值；其中，

Fmin—選定變異因子最小值；

g—當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)；

G—最大進(jìn)化代數(shù)。

在DE 算法運(yùn)行的初期，F(xiàn) 取值較大，有利于拓展搜索空間，保持種群的多樣性；在算法后期，收斂的情況下，F(xiàn)取值較小，更有利于選中最佳區(qū)域，逼近最優(yōu)取值，提高收斂速率和搜索精度。

2.2 修補(bǔ)算子

在變異操作中，針對(duì)不同問(wèn)題，變異后的向量個(gè)體有可能在搜索空間以外。因此，對(duì)DE 算法進(jìn)行修補(bǔ)操作，常用的修補(bǔ)算子為：

2.3 線(xiàn)性調(diào)整交叉因子CR

交叉因子CR 表征個(gè)體參數(shù)的各維對(duì)交叉的參與程度，全局與局部的搜索平衡能力。標(biāo)準(zhǔn)DE 算法中CR 一般都取定常數(shù)，CR 值較小時(shí)，種群多樣性會(huì)減小容易過(guò)早陷入局部最優(yōu)解；F 值較大時(shí)，又會(huì)因?yàn)閿_動(dòng)大于群體差異度而導(dǎo)致收斂緩慢，無(wú)法得到最優(yōu)解。交叉因子是把變異向量的某些分量復(fù)制到實(shí)驗(yàn)向量中，是用戶(hù)自行選取的數(shù)值，根據(jù)文獻(xiàn)一般選在0.6 ～0.9 之間。

本文設(shè)計(jì)了一種線(xiàn)性調(diào)整交叉因子：

其中，CRmax—選定交叉因子最大值；

CRmin—選定交叉因子最小值。

2.4 目標(biāo)函數(shù)

通常情況下，為了獲取滿(mǎn)意的過(guò)渡過(guò)程動(dòng)態(tài)特性，采用誤差絕對(duì)積分性能指標(biāo)作為參數(shù)選擇的最小目標(biāo)函數(shù)。本文中為了防止控制量過(guò)大，就選用誤差絕對(duì)時(shí)間積分性能指標(biāo)和控制輸入平方加權(quán)結(jié)合作為參數(shù)選取的最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)：

其中，c1?[0,1]—權(quán)值；

e(t)—系統(tǒng)誤差；

u(t)—控制其輸出。

3 仿真實(shí)例

考慮如下被控對(duì)象：

采樣時(shí)間為1s，輸入指令為yr=1(t)，利用DE 算法對(duì)PI 參數(shù)整定，采用如下參數(shù)設(shè)置：

樣本個(gè)數(shù)n=50；

圖2 標(biāo)準(zhǔn)DE 算法Q的優(yōu)化過(guò)程Fig.2 The optimization process of Q in the standard DE algorithm

圖3 文獻(xiàn)[6]算法Q的優(yōu)化過(guò)程Fig.3 The optimization process of Q in the algorithm of literature [6]

圖4 文獻(xiàn)[1]算法Q的優(yōu)化過(guò)程Fig.4 The optimization process of Q in the algorithm of literature [1]

圖5 本文中目標(biāo)函數(shù)Q的優(yōu)化過(guò)程Fig.5 Optimization process of the objective function Q in this paper

表1 不同文獻(xiàn)中最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)Q值Table 1 Q value of optimal objective function in different literatures

Fmax=1.2；Fmin=0.3；

CRmax=1.2；CRmin=0.3；

c1=0.999；

G=50；

kp?[0,1]，ki?[90,100]；

經(jīng)過(guò)相應(yīng)代數(shù)的進(jìn)化，PI 參數(shù)的整定結(jié)果為kp=0.6572,ki=91.3724；最優(yōu)性能指標(biāo)Q=148.5321。

在選用相同的被控對(duì)象，設(shè)置相同的優(yōu)化參數(shù)情況下，表1 顯示了不同文獻(xiàn)中的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，圖2 ～圖5 顯示了不同文獻(xiàn)中的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化過(guò)程。

圖6 整定后階躍響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.6 Step response curve after tuning

目標(biāo)函數(shù)的整定過(guò)程已經(jīng)整定后的階躍響應(yīng)曲線(xiàn)如圖6 所示。

從仿真結(jié)果對(duì)比可以看出，DE 算法參數(shù)整定的PID 控制器的綜合控制性能相比較于其它算法要好上許多，過(guò)渡過(guò)程也比較平滑，調(diào)節(jié)時(shí)間也有了明顯的優(yōu)化。證明了DE算法可以獲得更加良好控制性能的PID 控制器的參數(shù)，優(yōu)于傳統(tǒng)的整定方法。

4 總結(jié)

PID 參數(shù)整定是設(shè)計(jì)PID 控制器的關(guān)鍵。本文對(duì)標(biāo)準(zhǔn)DE 算法的參數(shù)設(shè)置進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，在搜索過(guò)程中對(duì)縮放因子，交叉因子進(jìn)行線(xiàn)性化調(diào)整，采用了新的最優(yōu)性能指標(biāo)。經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證，也證實(shí)了DE 算法更有效，魯棒性更好，可以準(zhǔn)確地找到全局最優(yōu)點(diǎn)，并且決策變量很少，不僅僅是PID 參數(shù)整定，在其他方面也具有非常廣泛的作用。

DE 算法是一種有效的取優(yōu)算法，但是也具有一定的局限性，比如初值的隨機(jī)性就限制了其應(yīng)用。而且，DE 算法只能取優(yōu)，因此對(duì)于PID 控制器參數(shù)的設(shè)計(jì)無(wú)能為力。下一步的研究方向可以將DE 算法引入到更加有效的理論控制器參數(shù)整定中，以獲得更加精確的參數(shù)，獲得更好的控制性能。