荔 寧，高探彪

(西安工業(yè)大學 理學院，西安710021)

自然界中有四種基本相互作用，即強相互作用、電磁相互作用、弱相互作用及引力相互作用。低能強子-強子散射在研究強相互作用的研究中占據(jù)重要地位。由于強相互作用的非微擾性，需要用到非微擾的方法。目前為止，格點量子色動力學是公認的從量子色動力學第一性原理出發(fā)來研究強相互作用的非微擾理論。LüSCHER建立了一個非常重要的“Lüscher公式”。用于在格點上數(shù)值研究低能的強子-強子散射，將有限體積內(nèi)的兩粒子能量與連續(xù)空間中的兩粒子的散射相移聯(lián)系起來[1-4]。通過在格點上數(shù)值計算兩粒子關(guān)聯(lián)函數(shù)提取兩粒子能級，同時可以通過實驗的手段測量連續(xù)空間中兩粒子散射相移。Lüscher公式的提出，促使人們在格點上通過淬火以及非淬火的組態(tài)來研究強子-強子散射[5-10],開創(chuàng)了人們在格點上研究強子-強子散射的可能性。但是由于原始的Lüscher公式基于非相對論量子力學，而格點量子色動力學是一個基于量子場論的理論。因此，論證Lüscher公式在量子力學和量子場論中的等價性就顯得尤為重要。

文獻[11]證明了自旋為零的介子-介子的散射。這一論證在使用Lüscher公式的時候有一些局限性，這是由于實際的研究中，經(jīng)常會碰到散射粒子帶自旋的情形[12-14]。非常典型的例子為K介子和核子的散射，這兩個粒子的自旋分別是0和1/2,而研究兩粒子散射有助于研究Λ(1405)共振態(tài)。另一個非常典型的例子為核子-超核的散射，例如：N,Σ的散射以及N,Λ的散射，這兩個散射粒子的自旋均為1/2,而對于核子-超核散射的研究與核物質(zhì)的形成以及中子星的形成密切相關(guān)。本文基于文獻[1]，將等價性證明推廣到自旋0-1/2(介子-重子)的散射以及自旋1/2-1/2(重子-重子)的散射，論證帶自旋粒子散射的Lüscher公式在兩種理論的基礎上是等價的。

1 Lüscher公式

由文獻[15]可知量子力學和量子場論下的Lüscher公式分別為

1.1 非相對論性量子力學下的Lüscher公式

介子-重子散射，即自旋為0和1/2粒子的散射的Lüscher公式

(1)

(2)

其中J為總角動量的量子數(shù)，而

(3)

式(3)中的K為約化矩陣。散射矩陣元S和散射相移之間的關(guān)系為

(4)

將式(4)代入式(1)，可得量子力學下Lüscher公式的簡化形式

|tanδJlKJMl;J′M′l′-δJJ′δMM′δll′I|=0

(5)

其中I為單位矩陣。

1.2 量子場論下的Lüscher公式

介子-重子散射也就是自旋為0和1/2粒子的散射的Lüscher公式

(6)

(7)

式中:E為兩粒子的總能量；FFV和非相對論量子力學中的約化矩陣K的關(guān)系為

(8)

2 等價性證明

兩粒子的四動量標記為P=(E,P)，將其推廣到質(zhì)心系下可得到四動量的形式為P*=(E*,0)，而初始的兩粒子三動量形式分別是q*和-q*，本節(jié)主要計算量子場論形式下的散射振幅。文獻[1]中給出了非相對論情形下的散射振幅MNR和散射矩陣T之間的關(guān)系如下

(9)

根據(jù)能量守恒可以得到q*=|q*|=|q′*|，其中TNR(q*,q′*)是在殼的躍遷矩陣，根據(jù)波恩展開可得

TNR(q*,q′*)=V(q*,q′*)+

(10)

(11)

量子場論中的散射振幅通過兩粒子關(guān)聯(lián)函數(shù)(四點關(guān)聯(lián)函數(shù))得到，即iG(q,P-q,-q′,-P+q′)，具體形式為

iG(q,P-q,-q′,-P+q′)=

iKqk1G2(k1)iKk1k2G2(k2)…iKknq′

(12)

式中:G2(k)=G(k)G(P-k)，G(k)為重子的傳播子;G(P-k)為介子的傳播子。具體形式為

(13)

(14)

(15)

(16)

C(k*)=(k0γ0+m1)|k0=ω1k

(17)

(18)

(19)

(20)

通過引入勢

k′*)||k*|=|k′*|=q*

(21)

由于k*=q*,因此,兩個粒子均屬于在殼的粒子。通過關(guān)系式

(22)

可以得到

(23)

由此可以將式(1)寫成如下形式

(24)

通過對比式(10)和式(24)，可以得到量子場論和量子力學下的散射振幅的關(guān)系式為

M(q*,q′*)=8πE*C-1(q*)MNR(q*,q′*)

(25)

(26)

其中C-1(q*,q′*)為C(q*,q′*)的逆矩陣。

將式(25)和式(7)代入式(6)，由于散射振幅關(guān)于軌道角動量是對稱的，因此，可以將(6)式簡化為

(27)

通過和量子力學下的Lüscher公式(6)作對比，可以發(fā)現(xiàn)，量子力學下的Lüscher公式與量子場論下的Lüscher公式是等價的。

3 結(jié) 論