劉永智

摘要：網(wǎng)格作圖除了使用直尺之外，不能使用其他的作圖工具，這使得作圖難度加大，并且對(duì)幾何理論的要求及靈活性都有較高的要求，因此，要摸索問題與定理證明的相似性，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想問題的能力，尋找問題解決的突破口.

關(guān)鍵詞：網(wǎng)格作圖;勾股定理;作圖

1 題目呈現(xiàn)

題目 （2014年天津）如圖1，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上.

（1）計(jì)算AC²+ BC²的值等于____;

（2）請(qǐng)?jiān)谌鐖D1所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出一個(gè)以AB為一邊的矩形，使矩形的面積等于AC²+BC².并簡(jiǎn)要說明畫圖方法（不要求證明）____.

2 題目探析

對(duì)于問題（1），因?yàn)锳C=√2，BC =3，因此，AC²+BC²=11.

看到問題（2）這樣的作圖問題，我們覺得其形式有點(diǎn)像勾股定理，能不能用歐幾里得證明勾股定理的思路來做這道題呢？

為此，先來看看歐幾里得證明勾股定理的方法：

如圖2，分別以Rt△ABC的三邊a，b，c為邊向形外作正方形ACHF，正方形BCGK，正方形ABED，連結(jié)CD，F(xiàn)B，過點(diǎn)C作CL⊥DE交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L.

通過勾股定理的歐幾里得證明我們可以看出利用作平行線的方法可以做到三角形面積與矩形、平行四邊形等面積之間的相互轉(zhuǎn)換，利用全等可以將一個(gè)圖形的面積轉(zhuǎn)換為另一個(gè)與它全等的圖形的面積，利用這個(gè)思路，我們可以嘗試求解問題（2）.

因?yàn)閱栴}（2）中的△ABC不是直角三角形，不能利用將以AB為邊的正方形切割為矩形，使其面積等于以AC和BC為邊的正方形的面積和.因此可利用如下做法：

分別以△ABC的三邊AC，AB，BC為邊向△ABC外作正方形ACDE，正方形ABDE，正方形BCHI，如圖3所示，要作出一個(gè)以AB為邊，面積等于AC²+ BC²的矩形，可以先類似于勾股定理證明的做法，將正方形ACGF和正方形BCHI的面積合并為一個(gè)平行四邊形，并且使其一邊長(zhǎng)等于AB，延長(zhǎng)FG交HI于點(diǎn).，，交CH于點(diǎn)L，連結(jié)AL，CJ，則四邊形ACJL是一個(gè)平行四邊形，并且正方形ACGF的面積等于平行四邊形ACJL的面積，也就是說S□ACJL=S正方形ACCF= AC².

作BS∥CJ交HI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，同理可得S□BCJS= S正方形BCHJ= BC².

通過所作的圖形，我們可以得出△ABC≌△LSJ，因此，S□ABSL= S□ACJL+ S□BCJS= AC²+ BC²。

平移□ABSL到如圖3所示的□AMNB的位置，邊MN交AE于點(diǎn)P，延長(zhǎng)MN交BD于點(diǎn)Q，則矩形APQB的面積等于oAMNB的面積.因此，矩形APQB即為滿足要求的矩形.

從這種作圖方法可以看出，該問題的形式有些像勾股定理的形式，因此可以利用勾股定理的證明思路求解此題.也說明在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，需要掌握一些比較經(jīng)典的證明問題的思路，求解問題的方法，在解題的過程中，通過比較異同，就可以找到求解類似問題的方法.這是我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中要引起重視的一個(gè)方面.

另外，對(duì)于問題（2），也可以從數(shù)量方面進(jìn)行思考，通過網(wǎng)格圖的觀察和分析題意，我們知道要作的矩形以AB=√17為一邊，面積等于AC²+BC²=11.也可從以AB為邊的正方形中切去一個(gè)面積是6的矩形即可.通過觀察圖形，可以計(jì)算出△ABC的面積是÷.因此，也可以用如下的做法：

如圖4，以AB為邊在△ABC外作正方形ABGF.

這種方法告訴我們，在幾何問題中，直接求解比較困難時(shí)，可以考慮從數(shù)量關(guān)系的角度求解，這也是一個(gè)比較好的方法.

從這道題的求解可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一些數(shù)學(xué)問題的求解，可以從形式上考慮利用經(jīng)典問題的求解思路，也可以從數(shù)量關(guān)系方面去思考.這也正是數(shù)學(xué)問題的精妙之處，我們要好好體會(huì)與領(lǐng)悟.