張志強(qiáng) 魯曉鋒 孫欽東 王侃

摘 要：為解決人工蜂群（ABC）算法收斂速度慢、精度不高和易于陷入局部最優(yōu)等問題，提出一種增強(qiáng)開發(fā)能力的改進(jìn)人工蜂群算法。一方面，將得出的最優(yōu)解以兩種方式直接引入雇傭蜂搜索公式中，通過最優(yōu)解指導(dǎo)雇傭蜂的鄰域搜索行為，以增強(qiáng)算法的開發(fā)或局部搜索能力;另一方面，在旁觀蜂搜索公式中結(jié)合當(dāng)前解及其隨機(jī)鄰域進(jìn)行搜索，以改善算法的全局優(yōu)化能力。對(duì)多個(gè)常用基準(zhǔn)測試函數(shù)的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在收斂速度、精度和全局優(yōu)化能力等方面，所提算法總體上優(yōu)于其他類似的ABC算法（例如ABC/best）和集成多種搜索策略的ABC算法（例如ABCVSS（ABC algorithm with Variable Search Strategy）和ABCMSSCE（ABC algorithm with Multi-Search Strategy Cooperative Evolutionary））。

關(guān)鍵詞：群體智能;人工蜂群算法;最優(yōu)解;鄰域搜索

中圖分類號(hào)：?TP301.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-9081（2019）04-0949-07

Abstract： The basic Artificial Bee Colony （ABC） algorithm has some shortcomings such as slow convergence， low precision and easily getting trapped in local optimum. To overcome these issues， an improved ABC algorithm with enhanced exploitation ability was proposed. On one hand， the obtained optimum solution was directly introduced into the search equations of employed bees in two different ways and guided the employed bees to perform neighborhood search， which enhanced the exploitation or local search ability of the algorithm. On the other hand， the search was performed by the combination of the current solution and its random neighborhood in the search equations of onlooker bees， which improved the global optimization ability of the algorithm. The simulation results on some common benchmark functions show that in convergence rate， precision， and global optimization or exploration ability， the proposed ABC algorithm is generally better than the other similar improved ABC algorithms such as global best ABC （ABC/best） algorithm， and some ABC algorithms with hybrid search strategy such as ABC algorithm with Variable Search Strategy （ABCVSS） and Multi-Search Strategy Cooperative Evolutionary （ABCMSSCE）.

Key words： swarm intelligence; Artificial Bee Colony （ABC） algorithm; optimum solution; neighborhood search

0?引言

人工蜂群（Artificial Bee Colony， ABC）是受蜜蜂群覓食行為啟發(fā)而提出的一種群體智能（Swarm Intelligence）算法[1]。與遺傳算法、差分進(jìn)化、粒子群算法和進(jìn)化策略相比，ABC算法具有較強(qiáng)的競爭力[2]，已被應(yīng)用于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、工業(yè)工程、電子工程、數(shù)據(jù)挖掘、圖像處理等領(lǐng)域[3]。然而和其他群體智能算法類似：在解決復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)，ABC算法存在收斂速度慢和易于陷入局部最優(yōu)等問題。

為此，近年來已有學(xué)者提出了一些改進(jìn)的ABC算法。例如，文獻(xiàn)[4]提出通過學(xué)習(xí)和按維更新策略的思維進(jìn)化ABC算法，并對(duì)其收斂性進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[5]提出雇傭蜂采用全局最優(yōu)引導(dǎo)的搜索策略，并且引導(dǎo)程度隨個(gè)體實(shí)驗(yàn)次數(shù)自適應(yīng)減小，以平衡算法的全局和局部搜索能力;旁觀蜂采用變異的異維學(xué)習(xí)策略，使算法的搜索具有跳躍性，以提高逃出局部最優(yōu)的概率。文獻(xiàn)[6]提出自適應(yīng)步長的快速ABC算法，使旁觀蜂搜索階段的周邊食物源參數(shù)自適應(yīng)化，并結(jié)合反向?qū)W習(xí)策略改進(jìn)雇傭蜂搜索階段。文獻(xiàn)[7]提出在基本ABC算法全局搜索公式中引入反饋機(jī)制，直接搜索最優(yōu)解可能存在的區(qū)域，以提高算法的開發(fā)能力和收斂速度;加入線性微分遞增策略，平衡算法各個(gè)階段的開發(fā)能力和探索能力;根據(jù)叢林法則，算法隨機(jī)選擇較差個(gè)體進(jìn)行初始化，以防止算法陷入局部最優(yōu)。文獻(xiàn)[8]提出在基本ABC算法基礎(chǔ)上引入隨機(jī)鄰域搜索策略和跨維搜索策略，并改進(jìn)蜜蜂越限處理方式，使得算法搜索方式多樣化，從而使算法搜索更具跳躍性，不易陷入局部最優(yōu)解。文獻(xiàn)[9]提出利用反向?qū)W習(xí)方法構(gòu)建初始種群，以提高初始化解的質(zhì)量;利用分布估計(jì)算法構(gòu)造優(yōu)秀個(gè)體解空間的概率模型進(jìn)行鄰域搜索，以改善算法的搜索性能并防止陷入局部最優(yōu)。文獻(xiàn)[10]提出利用自適應(yīng)思想定義新的位置更新公式，由此提高蜂群間交互的相關(guān)性;利用雙向隨機(jī)優(yōu)化機(jī)制約束適應(yīng)度函數(shù)的搜索方向，由此提高算法的局部搜索能力;將粒子群算法引入基本ABC算法的初始階段，利用其收斂速度快的特性，以較少的迭代次數(shù)產(chǎn)生全局最優(yōu)解作為初始蜜源位置，提高算法的收斂速度。文獻(xiàn)[11]提出在雇傭蜂和旁觀蜂進(jìn)行鄰域搜索時(shí)， 動(dòng)態(tài)調(diào)整搜索的維數(shù)以提高搜索效率， 并結(jié)合5種不同的搜索策略使其協(xié)同進(jìn)化，以平衡算法的局部搜索和全局搜索能力。

以上研究主要針對(duì)基本ABC算法中雇傭蜂和旁觀蜂搜索行為或公式提出了各種改進(jìn)，在很大程度上克服了算法收斂速度慢和易于陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)，然而存在的主要問題是：與基本ABC算法相比，改進(jìn)算法的參數(shù)更多、運(yùn)行機(jī)制更復(fù)雜[9-11];從實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果來看，在解決復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問題方面，改進(jìn)算法性能表現(xiàn)仍有待驗(yàn)證。例如，文獻(xiàn)[4-5，7]測試的問題維數(shù)最高為50，而文獻(xiàn)[6]只測試了30維的問題，文獻(xiàn)[8]提出的ABC算法僅與基本的ABC算法和粒子群算法進(jìn)行了比較等。為此，本文在基本ABC算法的雇傭蜂階段，提出兩種增強(qiáng)開發(fā)能力的搜索公式，利用最優(yōu)解和當(dāng)前解進(jìn)行鄰域搜索;在旁觀蜂階段，提出基于當(dāng)前解和隨機(jī)鄰域解的兩種鄰域搜索公式，增加算法全局搜索方式的靈活性。

1?ABC算法模型與步驟

在ABC算法模型中，根據(jù)分工不同把蜜蜂群分為3組：雇傭（employed）蜂、旁觀（onlooker）蜂和偵查（scout）蜂。雇傭蜂負(fù)責(zé)采集以前勘察過的蜂蜜源，并向蜂巢中的旁觀蜂通告食物源質(zhì)量;旁觀蜂根據(jù)雇傭蜂共享的信息決定要開采的食物源;偵查蜂隨機(jī)搜索蜂巢周圍環(huán)境以發(fā)現(xiàn)新的食物源。蜜蜂群的一半成員是雇傭蜂，另一半成員是旁觀蜂（偵查蜂僅有一只）。每個(gè)食物源代表優(yōu)化問題的一個(gè)解，它對(duì)應(yīng)一個(gè)雇傭蜂和一個(gè)旁觀蜂，食物源個(gè)數(shù)是蜜蜂種群大小的一半。根據(jù)ABC算法官方網(wǎng)站https：//abc.erciyes.edu.tr/software.htm提供的源程序，ABC算法基本步驟如下所示：1）根據(jù)式（1）隨機(jī)生成食物源的初始位置：

故Xi表示某個(gè)食物源，即優(yōu)化問題的一個(gè)初始解。

2）計(jì)算解的成本（目標(biāo)函數(shù)值），并按照式（2）求適應(yīng)度：

其中：φi， j實(shí)際為區(qū)間[-1，1]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù);Vi表示食物源Xi附近的鄰域解。隨后計(jì)算解Vi的成本并按照式（2）計(jì)算適應(yīng)度，以進(jìn)行原解Xi和新解Vi間的貪心式選擇：如果新解的適應(yīng)度大于原解的適應(yīng)度，則以新解替換原解;否則嘗試改進(jìn)失敗次數(shù)計(jì)數(shù)器Trail加1。

4）?旁觀蜂根據(jù)式（4）計(jì)算食物源的選擇概率：

其中：Pi為旁觀蜂選擇食物源i的概率。適應(yīng)度越高的食物源，被選中的概率越大。

5）旁觀蜂根據(jù)式（4），選擇概率最大的食物源，然后同樣根據(jù)式（3），對(duì)選中的食物源執(zhí)行鄰域搜索。

6）更新并保存算法獲得的（迄今為止）最優(yōu)解。

7）偵查蜂檢查食物源的計(jì)數(shù)器Trail是否大于預(yù)設(shè)的限制次數(shù)Limit，如果是則執(zhí)行式（1）重新初始化該食物源。

重復(fù)步驟3）～7），直至滿足某個(gè)條件則算法終止。

2?增強(qiáng)開發(fā)能力的ABC算法

2.1?已有改進(jìn)ABC算法搜索公式分析

從ABC算法工作原理與步驟來看，雇傭蜂和旁觀蜂在多維空間中搜索最優(yōu)解的過程是關(guān)鍵，對(duì)算法求解質(zhì)量和性能表現(xiàn)有重要影響。然而在基本ABC算法中，雇傭蜂和旁觀蜂都僅在當(dāng)前解的附近進(jìn)行搜索，并使用相同的搜索公式或策略獲得鄰域解，導(dǎo)致算法的勘探（exploration）或全局搜索能力較強(qiáng)，而開發(fā)（exploitation）或局部搜索能力不足[12-15]，因而有學(xué)者提出如下常見的改進(jìn)ABC算法搜索公式[12-16]：

文獻(xiàn)[12]提出基于粒子群算法的式（5），并用于雇傭蜂和旁觀蜂搜索;文獻(xiàn)[13]提出基于差分進(jìn)化算法的式（6）～（7），并分別應(yīng)用于雇傭蜂和旁觀蜂搜索;文獻(xiàn)[14]提出基于粒子群算法的式（8），并應(yīng)用于雇傭蜂和旁觀蜂搜索;文獻(xiàn)[15]提出基于差分進(jìn)化算法的式（9），并應(yīng)用于雇傭蜂搜索;文獻(xiàn)[16]提出基于差分進(jìn)化算法的式（10）～（11），并同時(shí)應(yīng)用于雇傭蜂和旁觀蜂搜索。

上述改進(jìn)ABC算法搜索公式既包含相似的結(jié)構(gòu)和迭代方式，又存在一定的性能差異，易于集成后形成混合多種搜索策略的ABC算法[11，17]。然而，這些搜索公式存在的主要問題是：式（5）、（7）借鑒了粒子群算法的思想，導(dǎo)致算法參數(shù)更多、運(yùn)行機(jī)制更復(fù)雜;式（8）、（11）忽視了算法在每次迭代過程中求出的最優(yōu)解的指導(dǎo)作用;盡管式（5）～（7）、（9）～（10）包含了最優(yōu)解信息，但是從其仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果來看，對(duì)高維復(fù)雜問題的優(yōu)化效果還有進(jìn)一步提高的余地。

2.2?本文ABC算法搜索公式

雇傭蜂和旁觀蜂在多維空間中搜索出的最優(yōu)解，是蜜蜂群體合作取得的重要成果和寶貴經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)樗浅＝咏诨蚩赡芫褪侨肿顑?yōu)解，

如果對(duì)其加以利用可增強(qiáng)算法的開發(fā)能力，并改善ABC算法的求解質(zhì)量和性能表現(xiàn)。

然而在基本ABC算法中，只是簡單地在每次循環(huán)中記錄最優(yōu)解，并沒有在雇傭蜂和旁觀蜂搜索公式中發(fā)揮最優(yōu)解的引導(dǎo)作用。

有鑒于此，本文提出如下的雇傭蜂搜索公式：

式（12）、（13）都基于基本ABC算法雇傭蜂搜索公式：將式（3）中等號(hào)右邊的Xk， j替換為Xbest，k即可得式（12），將式（3）中等號(hào)右邊的Xi， j替換為Xbest，k即可得式（13）。在式（12）和（13）中，k和j的取值互不影響。因此問題維數(shù)越高，k和j取值相等的概率就越低，取值不同的k和j意味著雇傭蜂在執(zhí)行異維（或跨維）式的鄰域搜索。已有研究表明，異維搜索避免了ABC算法單一搜索模式的局限性，增強(qiáng)了ABC算法的全局搜索能力，有利于算法擺脫局部最優(yōu)[5，8]。

在式（12）中，鄰域解Vi是以當(dāng)前食物源Xi為參考，并結(jié)合最優(yōu)解Xbest的信息執(zhí)行鄰域搜索獲得的新解;在式（13）中，鄰域解Vi是以最優(yōu)解Xbest為參考，并結(jié)合當(dāng)前食物源Xi的信息執(zhí)行鄰域搜索獲得的新解。

其中：p與i、q與j的取值同樣各自獨(dú)立，依然利用了異維搜索帶來的好處。

在式（14）中，鄰域解Vi是以當(dāng)前食物源Xi為參考，并結(jié)合隨機(jī)選擇的鄰域解Vp的信息進(jìn)行鄰域搜索獲得的新解;在式（15）中，鄰域解Vi是以隨機(jī)選擇的鄰域解Xp為參考，并結(jié)合當(dāng)前食物源Xi的信息進(jìn)行鄰域搜索獲得的新解。

2.3?本文算法步驟

綜上所述，本文提出的增強(qiáng)開發(fā)能力的改進(jìn)ABC算法主要步驟如下：1）根據(jù)式（1）隨機(jī)生成食物源的初始位置;

2）根據(jù)式（2）計(jì)算各個(gè)初始解的適應(yīng)度，對(duì)比后保存最優(yōu)解;

3）根據(jù)式（12）或（13），分派雇傭蜂到食物源地點(diǎn)進(jìn)行鄰域搜索;

4）根據(jù)式（4）計(jì)算旁觀蜂選擇食物源的概率，并選擇一個(gè)食物源;

5）旁觀蜂對(duì)選中的食物源，根據(jù)式（14）或（15），進(jìn)行鄰域搜索;

6）更新并保存算法得到的最優(yōu)解;

7）偵查蜂檢查食物源的計(jì)數(shù)器Trail是否大于等于預(yù)設(shè)值Limit，如果是則將最優(yōu)解賦值給該食物源，以充分利用最優(yōu)解信息。

重復(fù)執(zhí)行步驟3）～7），直至滿足特定條件則本文算法終止。

綜上所述，和其他改進(jìn)ABC算法相比，本文算法的主要優(yōu)勢(shì)在于：僅簡單地修改了基本ABC算法的第3）、5）、7）步，算法主體結(jié)構(gòu)并無變動(dòng);沒有引入新的算法參數(shù)，無需額外的參數(shù)設(shè)置或調(diào)校;沒有增加算法復(fù)雜度，易于編程實(shí)現(xiàn)。

3?仿真實(shí)驗(yàn)及分析

本文算法采用C++編程語言實(shí)現(xiàn)了2個(gè)版本：以最大循環(huán)次數(shù)（Maximum Cycles Number， MCN）為算法終止條件的MCN版、以最大適應(yīng)度評(píng)估次數(shù)（Maximum Fitness Evaluations， MFE）為算法終止條件的MFE版。為便于實(shí)驗(yàn)仿真并和其他ABC算法比較，本文采用表1所示的文獻(xiàn)中最常見的測試函數(shù)。

表1中9個(gè)測試函數(shù)均為實(shí)參數(shù)的數(shù)值優(yōu)化問題，其定義可見文獻(xiàn)[11，17]。

Sphere、Tablet、Step、Quartic、Schwefel、Rosenbrock是單峰函數(shù)，其定義域內(nèi)僅有一個(gè)全局最小值，用于檢驗(yàn)算法收斂速度和精度;Ackley、Rastrigin、Griewank是多峰函數(shù)，其定義域內(nèi)存在多個(gè)局部最小值和一個(gè)全局最小值，用于檢驗(yàn)算法全局優(yōu)化能力。

首先將本文算法與基本ABC算法進(jìn)行比較，二者參數(shù)設(shè)置均為：種群大小NP=40，食物源數(shù)SN=20，限制次數(shù)Limit=100，最大循環(huán)次數(shù)MCN=3000，測試函數(shù)維數(shù)D=100。圖1是本文算法和基本ABC算法優(yōu)化Sphere、Rosenbrock、Griewank、Rastrigin函數(shù)時(shí)的收斂曲線。

為了清晰地展示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖1的縱軸均采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示最優(yōu)值。

根據(jù)圖1（a）的單峰函數(shù)Sphere和圖1（d）的多峰函數(shù)Rastrigin收斂曲線可以發(fā)現(xiàn)，本文算法的收斂速度、精度和全局優(yōu)化能力優(yōu)于基本ABC算法。根據(jù)圖1（b）的單峰函數(shù)Rosenbrock和圖1（c）的多峰函數(shù)Griewank收斂曲線可以發(fā)現(xiàn)：在基本ABC算法和本文算法執(zhí)行的早期，收斂曲線有交叉重疊部分，兩個(gè)算法表現(xiàn)差別較小;自算法執(zhí)行中期以后，二者差距很快擴(kuò)大，本文算法仍然優(yōu)于基本ABC算法。此現(xiàn)象的主要成因是：Rosenbrock是一個(gè)病態(tài)的螺旋型函數(shù)（空間分布圖見文獻(xiàn)[9]），通常很難求出其全局最優(yōu)解;Griewank是一個(gè)100維的復(fù)雜多峰函數(shù)，在其定義域內(nèi)存在多個(gè)局部最優(yōu)解;在本文算法執(zhí)行的早期，最優(yōu)解的質(zhì)量難免較差，導(dǎo)致它對(duì)雇傭蜂鄰域搜索行為的指導(dǎo)作用尚不明顯;從本文算法執(zhí)行中期以后，最優(yōu)解的質(zhì)量得到了改善，對(duì)雇傭蜂的鄰域搜索行為開始發(fā)揮其重要的指導(dǎo)作用。此外，在整個(gè)算法執(zhí)行過程中，旁觀蜂的搜索行為不受最優(yōu)解的影響，用于保持或增強(qiáng)算法的勘探能力。

在文獻(xiàn)[4，6-10]的仿真實(shí)驗(yàn)中，均以最大循環(huán)次數(shù)為算法終止條件，然而算法參數(shù)和測試函數(shù)的搜索范圍與維數(shù)卻不相同。因此，再將本文算法的MCN版與這些ABC算法逐個(gè)地兩兩比較，具體做法是：1）每個(gè)對(duì)比組中的本文算法和其他ABC算法參數(shù)設(shè)置相同;2）每個(gè)對(duì)比組中測試函數(shù)的搜索范圍和維數(shù)等均一致;3）其他ABC算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果都來自于對(duì)應(yīng)的參考文獻(xiàn);4）如果文獻(xiàn)中有不同維數(shù)測試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，則只取其中維數(shù)最高的進(jìn)行比較。

首先以Sphere、Tablet、Step、Quartic、Schwefel、Rosenbrock等單峰函數(shù)為對(duì)象，測試本文算法的收斂速度和精度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

從表2可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于除Rosenbrock之外的其他單峰函數(shù)和對(duì)比組中的算法，本文算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果的最差值、最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[4，6-8，10]算法;僅在求解Rosenbrock函數(shù)時(shí)，本文算法才稍遜于文獻(xiàn)[9]算法。因此說明，在收斂速度和精度方面，本文算法總體上優(yōu)于其他ABC算法。

再以Ackley、Rastrigin、Griewank等多峰函數(shù)為對(duì)象，測試本文算法的全局優(yōu)化能力，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

從表3可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于所有多峰函數(shù)和對(duì)比組中的2個(gè)算法，本文算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果的最差值、最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，明顯優(yōu)于對(duì)比算法。因此說明，在全局優(yōu)化能力方面，本文算法優(yōu)于其他對(duì)比算法。

值得注意的是，文獻(xiàn)[18]指出一些ABC算法研究中存在誤區(qū)：算法終止條件通?；谧畲笱h(huán)次數(shù)，而不是最大適應(yīng)度評(píng)估次數(shù)。由于僅當(dāng)算法不包含局部搜索過程或沒有混合其他算法時(shí)，以最大循環(huán)次數(shù)為終止條件進(jìn)行算法實(shí)驗(yàn)比較才算公平合理，所以建議以最大適應(yīng)度評(píng)估次數(shù)為算法終止條件[18]。為了準(zhǔn)確地與其他ABC算法進(jìn)行比較，下面采用MFE版的本文算法，與同樣以最大適應(yīng)度評(píng)估次數(shù)為終止條件的ABC算法ABCMSSCE（ABC algorithm with Multi-Search Strategy Cooperative Evolutionary）[11]、ABC/best1[13]、ABC/best2[13]、ABCVSS（ABC algorithm with Variable Search Strategy）[17]進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表4所示。

說明：1）所有測試函數(shù)的維數(shù)D=100;2）Schwefel 2.21、Schwefel 2.22、SumSquares、Schaffer等測試函數(shù)的定義詳見文獻(xiàn)[11];3）包括本文算法在內(nèi)的所有ABC算法參數(shù)設(shè)置均為食物源數(shù)SN=20，限制次數(shù)Limit=SN×D，最大適應(yīng)度評(píng)估次數(shù)MFE=5000×D，算法運(yùn)行次數(shù)為30。

從表4可知：對(duì)于單峰函數(shù)，本文算法求解Sphere、Schwefel 2.21、Schwefel 2.22、SumSquares實(shí)驗(yàn)結(jié)果的最差值、最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，明顯優(yōu)于其他對(duì)比算法，僅在求解Quartic時(shí)，本文算法才稍遜于ABCMSSCE算法[11]，這說明在收斂速度和精度方面，本文算法總體上優(yōu)于其他對(duì)比算法。

對(duì)于多峰函數(shù)，本文算法求解Rastrigin和Ackley實(shí)驗(yàn)結(jié)果的最差值、最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，優(yōu)于其他對(duì)比算法，僅在求解Schaffer時(shí)，本文算法才稍遜于ABCMSSCE算法[11]，這說明在全局優(yōu)化能力方面，本文算法總體上優(yōu)于其他對(duì)比算法。

4?結(jié)語

在解決復(fù)雜高維優(yōu)化問題時(shí)，ABC算法在收斂速度、精度和全局優(yōu)化能力方面仍然存在不足。本文算法研究的核心思想是，在基本ABC算法的雇傭蜂階段，重視對(duì)最優(yōu)解信息的利用，并提出兩種增強(qiáng)開發(fā)能力的搜索公式，以增強(qiáng)算法的局部搜索能力;在基本ABC算法的旁觀蜂階段，提出利用當(dāng)前解執(zhí)行兩種不同的隨機(jī)鄰域搜索。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法是有效的。

與蟻群算法和粒子群算法相比，ABC算法無疑還需要有關(guān)學(xué)者開展更多的理論及應(yīng)用研究。例如，本文算法還可以結(jié)合其他學(xué)者提出的雇傭蜂和旁觀蜂搜索公式（策略），以進(jìn)一步增強(qiáng)本文算法的開發(fā)和勘探能力;本文提出的雇傭蜂和旁觀蜂搜索公式，也為開發(fā)包含混合搜索策略的ABC算法提供了新思路;本文算法還可以應(yīng)用于其他領(lǐng)域（如工程優(yōu)化和機(jī)器學(xué)習(xí)），以解決其中的復(fù)雜優(yōu)化或?qū)W習(xí)問題等。

參考文獻(xiàn)（References）

[1] KARABOGA D， BASTURK B. A powerful and efficient algorithm for numerical function optimization： Artificial Bee Colony （ABC） algorithm [J]. Journal of Global Optimization， 2007， 39（3）： 459-471.

[2] KARABOGA D， AKAY B. A comparative study of artificial bee colony algorithm [J]. Applied Mathematics and Computation， 2009， 124（1）： 108-132.

[3] KARABOGA D， GORKEMLI B， OZTURK C， et al. A comprehensive survey： Artificial Bee Colony （ABC） algorithm and applications [J]. Artificial Intelligence Review， 2014， 42（1）： 21-57.

[4] 暴勵(lì).一種思維進(jìn)化蜂群算法[J]. 電子學(xué)報(bào)， 2015， 43（5）： 948-955. （BAO L. A mind evolutionary artificial bee colony algorithm [J]. Acta Electronica Sinica， 2015， 43（5）： 948-955.）

[5] 李冰， 孫輝， 趙嘉， 等. 異維學(xué)習(xí)人工蜂群算法[J]. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究， 2016， 33（4）： 1028-1033. （LI B， SUN H， ZHAO J， et al. Artificial bee colony algorithm with different dimensional learning[J]. Application Research of Computers， 2016， 33（4）： 1028-1033.）

[6] 楊小健， 董毅偉. 基于反向?qū)W習(xí)的自適應(yīng)快速人工蜂群算法[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)， 2016， 28（11）： 2684-2700. （YANG X J， DONG Y W. Adaptive quick artificial bee colony algorithm based on opposition learning [J]. Journal of System Simulation， 2016， 28（11）： 2684-2700.）

[7] 孔金生， 李世通， 周樹亮， 等. 基于反饋機(jī)制和叢林法則的人工蜂群算法[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用， 2017， 53（17）： 53-59. （KONG J S， LI S T， ZHOU S L， et al. Artificial bee colony algorithm based on feedback and law of jungle [J]. Computer Engineering and Applications， 2017， 53（17）： 53-59.）

[8] 林凱， 陳國初， 張鑫. 多交互式人工蜂群算法及其收斂性分析[J]. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用， 2017， 37（3）： 760-765. （LIN K， CHEN G C， ZHANG X. Multiple interactive artificial bee colony algorithm and its convergence analysis [J]. Journal of Computer Applications， 2017， 37（3）： 760-765.）

[9] 王永琦， 吳飛， 孫建華. 求解連續(xù)空間優(yōu)化問題的改進(jìn)蜂群算法[J]. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究， 2018， 35（3）： 658-704. （WANG Y Q， WU F， SUN J H. Modified artificial bee colony algorithm for Solving Continuous space optimization problems [J]. Application Research of Computers， 2018， 35（3）： 658-704.）

[10] 劉鑫， 楊霄鵬， 姚昆， 等. 自適應(yīng)隨機(jī)優(yōu)化策略的改進(jìn)人工蜂群算法[J]. 小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng)， 2018， 39（2）： 235-239. （LIU X， YANG X P， YAO K， et al. Improved artificial bee colony algorithm based on self-adaptive random optimization strategy[J]. Journal of Chinese Computer Systems， 2018， 39（2）： 235-239.）

[11] 王志剛， 尚旭東， 夏慧明， 等. 多搜索策略協(xié)同進(jìn)化的人工蜂群算法[J]. 控制與決策， 2018， 33（2）： 235-241. （WANG Z G， SHANG X D， XIA H M， et al. Artificial bee colony algorithm with multi-search strategy cooperative evolutionary[J]. Control and Decision， 2018， 33（2）： 235-241.）

[12] ZHU G， KWONG S. Gbest-guided artificial bee colony algorithm for numerical function optimization [J]. Applied Mathematics and Computation， 2010， 217（7）： 3166-3173.

[13] GAO W， LIU S， HUANG L. A global best artificial bee colony algorithm for global optimization [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2012， 236（11）： 2741-2753.

[14] GAO W， LIU S， HUANG L. A novel artificial bee colony algorithm based on modified search equation and orthogonal learning [J]. IEEE Transactions on Cybernetics， 2013， 43（3）： 1011-1024.

[15] GAO W， LIU S. A modified artificial bee colony algorithm [J]. Computer & Operations Research， 2012， 39（3）： 687-697.

[16] GAO W， LIU S. Improved artificial bee colony algorithm for global optimization [J]. Information Processing Letters， 2011， 111（17）： 871-882.

[17] KIRAN M S， HAKLI H， GUNDUZ M， et al. Artificial bee colony algorithm with variable search strategy for continuous optimization [J]. Information Sciences， 2015， 300： 140-157.

[18] MERNIK M， LIU S H， KARABOGA D， et al. On clarifying misconceptions when comparing variants of the artificial bee colony algorithm by offering a new implementation [J]. Information Sciences， 2015， 291： 115-127.