丘尚鋒，劉 通，姚赤芝，趙改清，張曉明

(深圳大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，廣東 深圳 518060)

第19屆廣東大學(xué)生物理實驗設(shè)計大賽由廣東省物理學(xué)會主辦，廣東省海洋大學(xué)協(xié)辦，意在培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新實踐能力. 本屆大賽的基礎(chǔ)試題為混沌現(xiàn)象，題目要求設(shè)計并且制作展示混沌現(xiàn)象(或者應(yīng)用此特性)的非單純計算機模擬的實物裝置，研究相關(guān)物理問題，揭示其物理關(guān)系和規(guī)律. 來自廣東省內(nèi)各大院校的30支團隊進入決賽，大賽設(shè)一等獎5個，本作品在這次大賽中獲得一等獎.

1 雙渦卷Jerk系統(tǒng)

1994年，美國科學(xué)家J.C.Sprott提出了Jerk系統(tǒng)[1]，系統(tǒng)方程為

(1)

其中非線性函數(shù)F(x)=Asgn (x)見文獻[2]，式中β=0.45～0.7.

Jerk系統(tǒng)的x-y相圖將出現(xiàn)2個吸引子，如圖1所示.

2 用分段線性函數(shù)拓展Jerk系統(tǒng)

在雙渦卷Jerk系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過擴展在x方向上鞍焦平衡點，可將雙渦旋系統(tǒng)變成多渦旋系統(tǒng)[3-4]. 其主要特點是鞍焦平衡點的個數(shù)與渦卷相同. 根據(jù)非線性函數(shù)的對稱性，可在原點的兩邊擴展出相同鞍焦平衡點，若產(chǎn)生偶數(shù)個渦卷，則(1)式中的非線性函數(shù)F(x)的表達式構(gòu)造為

(2)

其中，N決定系統(tǒng)的渦卷數(shù)，渦卷數(shù)等于2N+2，取N=2，即可得到6渦卷系統(tǒng)[5]；A是大于零的可調(diào)參量，通過調(diào)節(jié)A的大小，可改變渦卷的大小，即A越小時，渦卷越小.

也可以在y方向上拓展鞍焦平衡點，即在(1)式的基礎(chǔ)上將系統(tǒng)方程調(diào)整為

(3)

(3)式中的非線性函數(shù)F(x)就是(2)式，F(xiàn)(y)的表達式構(gòu)造為

(4)

這樣即構(gòu)造了(2N+2)×(2M+2)的渦卷系統(tǒng)，例如取N=2，M=2,則是6×6渦卷系統(tǒng). 圖2為實驗中測得的1×6和6×6渦卷圖.

(a)1×6

(b)6×6圖2 拓展的Jerk系統(tǒng)的渦卷圖

在拓展后的系統(tǒng)中，可以觀測到豐富的渦卷形態(tài). 實驗采用的非線性項系數(shù)A=1，通過調(diào)節(jié)比例運放的電阻值，單方向6渦卷β=0.555，雙方向6×6渦卷的β=0.2～0.333. 實驗過程中發(fā)現(xiàn)，渦卷數(shù)目越多，系統(tǒng)閾值越大，相應(yīng)的β需要減小.β系數(shù)影響整個系統(tǒng)的狀態(tài)：當系數(shù)β趨于0時，整個系統(tǒng)趨于發(fā)散態(tài);當系數(shù)β趨于1時，系統(tǒng)趨于周期態(tài). 調(diào)節(jié)合適的系數(shù)β，可以實現(xiàn)整個Jerk系統(tǒng)從周期態(tài)到混沌態(tài).β的取值由加法器中對應(yīng)z輸入端的比例電阻決定.

3 用非線性函數(shù)拓展Jerk系統(tǒng)

3.1 模型設(shè)計

式(3)和式(4)確定的函數(shù)雖然稱為非線性函數(shù)，但仍然屬于分段線性函數(shù)，函數(shù)圖像如圖3所示，通過增加階梯函數(shù)的非線性特性來改進Jerk多渦卷系統(tǒng)，實現(xiàn)新的多渦卷.

對非線性項進行改進，將非線性函數(shù)x3與階梯波函數(shù)相結(jié)合，得出如下方程：

(5)

式(5)的函數(shù)圖像如圖4所示. 在-0.7≤x≤0.7替換成x3，非線性特性比原函數(shù)更強. 根據(jù)修改的模型，通過數(shù)值計算得到復(fù)合新函數(shù)的系數(shù).

圖3 階梯函數(shù)圖像

圖4 含有x3改進后的階梯函數(shù)圖像

3.2 實驗電路及儀器面板設(shè)計

電路分3部分：1)原有Jerk系統(tǒng)[6]；2)由窗口比較器實現(xiàn)的分段函數(shù)g(x)：

(6)

此電路利用g(x)函數(shù)實現(xiàn)定義域的取值范圍；3)x3函數(shù)項，利用2個乘法器以及比例放大器實現(xiàn). 其中2)和3)與原Jerk系統(tǒng)中的F(x)相結(jié)合得到改進后的非線性項.

圖5為改進Jerk 6渦卷系統(tǒng)電路圖，圖中所有運放芯片型號為TL082，模擬乘法器芯片型號為AD633，D1和D4是型號為1N3611的二極管，D2和D3是型號為1N4740的穩(wěn)壓管.

圖6為設(shè)計的6×6 Jerk系統(tǒng)電路實驗板，實驗板上含有2個階梯函數(shù)發(fā)生器，通過開關(guān)控制調(diào)節(jié)階梯的個數(shù).

圖5 改進Jerk 6渦卷系統(tǒng)電路圖

圖6 6×6 Jerk實驗儀面板

圖5的原Jerk系統(tǒng)部分，由3組反相器和反相積分器結(jié)合實現(xiàn)3路信號的積分，以及通過反相加法器將各路輸出信號與非線性項信號相加. 改進后的Jerk系統(tǒng)與原系統(tǒng)相比，電路在階梯函數(shù)輸入端添加了窗口比較器，其作用是當|x|≤0.7 V時，輸出該時刻x的值，當x的電壓值在此區(qū)間時，窗口比較器輸出1 V的電壓，否則輸出0，將x的電壓值與窗口比較器輸出的電壓值相乘，再通過2次乘法器運算芯片，實現(xiàn)在-0.7～0.7 V電壓內(nèi)電路輸出x3，將輸出的信號與原階梯信號接入加法器中，便構(gòu)成了新的Jerk 6渦卷系統(tǒng).

圖7為窗口比較器以及乘法器，將實現(xiàn)的新型非線性函數(shù)輸入至原Jerk系統(tǒng)電路中.

圖7 窗口比較器和乘法器

3.3 實驗測試

從圖8～11可以看出，加入了x3項后的6渦卷相圖和原來階梯函數(shù)形成的6渦卷相圖有顯著區(qū)別，加入了x3項后非線性增強了，同時，從坐標上來看，修改后的6渦卷圖具有更大的吸引域. 由于本次實驗的混沌系統(tǒng)是通過基本的邏輯電路實現(xiàn)的，容易出現(xiàn)誤差，且由于各電路元件不能完全達到理論需求，故在實驗中需對β的取值進行多次嘗試.

圖8 分段線性函數(shù)拓展的渦卷圖

圖9 分段線性函數(shù)拓展的傅里葉分析

圖10 加入x3后拓展的渦卷圖

圖11 加入x3后拓展的傅里葉分析

4 結(jié) 論

以Jerk雙渦卷系統(tǒng)為例，通過改變其分段非線性項，擴展鞍焦平衡點即可實現(xiàn)多渦卷混沌系統(tǒng)的構(gòu)建. 不同的非線性方程，對應(yīng)的β系數(shù)不同，β系數(shù)影響整個系統(tǒng)的狀態(tài),調(diào)節(jié)合適的β系數(shù)，可以實現(xiàn)整個Jerk系統(tǒng)從周期態(tài)到混沌態(tài)的過程. 設(shè)計了在x和y方向上可拓展的實驗電路，可動態(tài)展示多渦卷混沌吸引子；通過調(diào)節(jié)單個電阻，可實現(xiàn)了從周期態(tài)至混沌態(tài)的動力學(xué)分岔過程. 在非線性函數(shù)中加入x3項，加強系統(tǒng)的非線性，觀測到更具復(fù)雜的混沌現(xiàn)象. 改進后的系統(tǒng)閾值更大，具有更好的信息掩蓋能力[7].