文平，宋泓慶

(常州工學(xué)院理學(xué)院,江蘇常州213032)

評價指標(biāo)在投資研究和實踐中起著重要作用。自從Sharpe[1]提出Sharpe比率以來，大量的評價指標(biāo)被相繼提出。1982年，Yitzhaki[2]提出了Gini比率評價指標(biāo)。Konno等[3]則給出了用MAD比率作為評價指標(biāo)的思想方法。1994年,Sharpe[4]給出了他的第二個評價指標(biāo)——信息比率，該比率使我們能夠跟蹤投資組合和所選擇基準(zhǔn)之間的表現(xiàn)。2000年，Dowd[5]根據(jù)分位數(shù)模型提出了一種基于VaR(風(fēng)險在值)的評價指標(biāo)。Bernardo等[6]構(gòu)建了獲得-損失比率，旨在通過考慮投資組合的回報率來評估投資組合的吸引力。2001年，Sortino等[7]提出了Sortino比率評價指標(biāo)。2004年，Biglova等[8]給出了兩個評價指標(biāo)，分別被稱為Rachev比率與一般的Rachev比率。此外，文獻(xiàn)[9—10]論證了選擇評價指標(biāo)在投資評價中的重要性。

然而上述的評價指標(biāo)大多數(shù)都是絕對評價指標(biāo)，即評價指標(biāo)只與投資收益率自身有關(guān)而與別的因素?zé)o關(guān)。

一方面，評價一項投資的好壞不僅要看該項投資的收益率，還要看參照投資的收益率。絕對評價指標(biāo)主要考慮投資收益率及其波動，比如Sharpe比率、Gini比率、MAD比率等。但隨著人們對評價指標(biāo)認(rèn)識的不斷深入，相對評價指標(biāo)逐漸受到了理論界與實踐工作者的重視。所謂相對評價指標(biāo)就是與參照投資收益比較時的一個評價指標(biāo)，近年來提出的評價指標(biāo)多為相對評價指標(biāo)，比如Omega指標(biāo)等。

另一方面，評價指標(biāo)大多數(shù)有其決策理論基礎(chǔ)。到目前為止，主要的決策理論有期望效用理論、預(yù)期理論和參照依賴偏好理論。上述的評價指標(biāo)一部分是基于期望效用理論提出的，也有一部分是基于預(yù)期理論提出的。K?szegi和Rabin[11-12]在期望效用理論和預(yù)期理論基礎(chǔ)上提出了參照依賴偏好理論，并被廣泛用于經(jīng)濟(jì)、管理問題的研究過程中。既然如此，能否根據(jù)參照依賴偏好理論構(gòu)建一個比較好的相對評價指標(biāo)呢?

1 參照依賴偏好理論

與期望效用理論以及預(yù)期理論不同，K?szegi與Rabin認(rèn)為效用由內(nèi)在的消費(fèi)效用函數(shù)和獲得-損失效用兩部分組成。對于無風(fēng)險收入與參照點， K?szegi與Rabin給出的參照依賴效用函數(shù)為：u(x)=m(x)+μ(m(x)-m(r))。其中，m(x)為內(nèi)在的消費(fèi)效用函數(shù)，μ(m(x)-m(r))為參照依賴的獲得-損失效用。 K?szegi與Rabin進(jìn)一步將參照依賴效用擴(kuò)展至隨機(jī)情形。

設(shè)X表示隨機(jī)收益，其分布函數(shù)為F(x)，又設(shè)Y為隨機(jī)參照點，其分布函數(shù)為G(y)， K?szegi與Rabin給出的參照依賴效用為

(1)

其中，u(x|y)=m(x)+μ(m(x)-m(y))，這里，m(x)為連續(xù)可導(dǎo)且單調(diào)遞增的消費(fèi)效用函數(shù)。

為便于討論問題， K?szegi和Rabin作了以下假設(shè)。第一，消費(fèi)效用函數(shù)可以被假設(shè)為線性函數(shù)，即m(x)=x；第二，通?？梢杂靡粋€分段線性函數(shù)來描述獲得-損失效用函數(shù)，即

(2)

這里，λ與η為非負(fù)常數(shù)。參數(shù)λ表示損失厭惡程度。如果λ等于1，決策者屬損失中性型；如果λ大于1，決策者屬損失厭惡型；如果λ小于1，決策者屬損失偏好型。η表示獲得-損失效用在決策中的重要性，它越大，獲得-損失效用在決策中所起的作用就越大，反之，則是消費(fèi)效用在決策中所起的作用越大。

為討論參照依賴效用的具體形式，先介紹一個定義。

定義1[13]設(shè)X,Z為兩個隨機(jī)變量，稱它們之差的絕對值的數(shù)學(xué)期望E(|X-Z|)為X到Z的距離，記為S(X,Z)，即

S(X,Z)=E(|X-Z|)

引理1[11-12]假設(shè)消費(fèi)效用函數(shù)m(x)為線性函數(shù)，獲得-損失效用函數(shù)μ(x)為形如式(2)分段線性函數(shù)。則對于任意X，它相對于參照點Z的參照依賴效用為

(3)

2 相對評價指標(biāo)及其性質(zhì)

由引理1結(jié)論可知，參照依賴效用主要由兩項因素決定。一是客觀因素，包括投資收益的數(shù)學(xué)期望與參照點收益的數(shù)學(xué)期望的差以及投資收益到參照點的距離。二是主觀因素，它包括損失厭惡程度以及獲得-損失效用在決策中的重要性。不同的投資者因為其損失厭惡程度以及獲得-損失效用在決策中的權(quán)重不同，即使選取的參照點相同，面對相同的投資，參照依賴效用也有所不同，所以這里不考慮主觀因素對評價指標(biāo)的影響，只考慮客觀因素對評價指標(biāo)的影響。那么，客觀因素如何在評價指標(biāo)中得到體現(xiàn)呢？從上面引理1可以看出，投資收益的數(shù)學(xué)期望與參照點收益的數(shù)學(xué)期望的差越大，參照依賴效用越大，反之亦然。現(xiàn)有的評價指標(biāo)幾乎全部采用比率的形式，在此沿用這種形式。為體現(xiàn)上述兩項客觀因素對評價指標(biāo)的影響，可以構(gòu)建如下的評價指標(biāo)，用α(X)來表示：

(4)

特別地，如果參照點取無風(fēng)險收益率rf，則評價指標(biāo)

(5)

此時的評價指標(biāo)即為MAD比率，由此可見所構(gòu)建的評價指標(biāo)是已有評價指標(biāo)的推廣。下面我們討論該評價指標(biāo)的性質(zhì)。

性質(zhì)1投資的評價指標(biāo)-1≤α(X)≤1。

證明該性質(zhì)非常簡單，這里省略。該性質(zhì)說明評價指標(biāo)介于-1到1之間，是一個規(guī)范性的數(shù)學(xué)度量。它越接近于1，說明投資的收益率高于參照投資的收益率可能性越大，它等于1說明在各種情況下，投資的收益率均高于參照投資的收益率。它越接近于-1，說明投資的收益率低于參照投資的投資收益率可能性越大，它等于-1說明在各種情況下，投資的收益率均低于參照投資的投資收益率。由此可見，投資的評價指標(biāo)越接近于1，投資越能跑贏參照投資；投資的評價指標(biāo)越接近于-1，投資越不能跑贏參照投資。

下面討論評價指標(biāo)α(X)的其他性質(zhì)，要討論該評價指標(biāo)的性質(zhì)，首先來看評價指標(biāo)所滿足的公理。Cherny等[14]在研究評價指標(biāo)的本質(zhì)時提出了評價指標(biāo)所應(yīng)該滿足的特征，他提出評價指標(biāo)應(yīng)該滿足以下幾個特征。

1)半凹

對于評價指標(biāo)α，定義交易可接受集合Ax={X:α(X)≥x,x∈R+}，半凹要求這個集合是凸集。

2)正齊次性

對于任意w>0有α(wX)=wα(X)。

3)分布不變性

若X與Y具有相同的概率分布，則

α(X)=α(Y)。

4)期望的一致性

假如E(X)<0，則α(X)<0；假如E(X)>0，則α(X)>0。

性質(zhì)2評價指標(biāo)α(X)滿足半凹性。

S(wX+(1-w)Y,Z)≤wS(X,Z)+

(1-w)S(Y,Z)，

而E(λX+(1-λ)Y)=λE(X)+(1-λ)E(Y)。

所以，

即α(wX+(1-w)Y)≥

從而有α(λX+(1-λ)Y)≥x。

性質(zhì)3評價指標(biāo)α(X)滿足分布不變性與正齊次性。

證明：若X與Y具有相同的概率分布，則它們的數(shù)學(xué)期望以及到參照點的距離都相同，故α(X)=α(Y)，評價指標(biāo)α(X)滿足分布不變性。下面證明評價指標(biāo)α(X)滿足正齊次性。

對于任意w>0，由于E(wX)=wE(X)且S(wX,wZ)=wS(X,Z)，故有α(wX)=wα(X)。

性質(zhì)4評價指標(biāo)α(X)滿足期望一致性。

關(guān)于期望的一致性，Cherny主要是針對絕對評價指標(biāo)而言的。對于相對評價指標(biāo)，可以將期望一致性修改為：假如E(X)E(Z)，則α(X)>0。顯然，評價指標(biāo)α(X)具有此性質(zhì)。

3 算例

設(shè)X表示某項投資的投資收益，Z為參照投資的投資收益。為了估計X的評價指標(biāo)，從X中取得簡單隨機(jī)樣本X1,X2，…,Xn，從Z中取得簡單隨機(jī)樣本Z1,Z2,…,Zn，則X的評價指標(biāo)的估計量為

(6)

例：本文為了驗證所提出的評價指標(biāo)的準(zhǔn)確性，選取了深證股票里面的萬科A和順豐控股兩只股票進(jìn)行計算。根據(jù)所查找的數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來源：現(xiàn)價和上一個交易日的收盤價可以從炒股軟件獲得，如大智慧)計算出2017年日收益率(見表1)。此外，根據(jù)中國債券信息網(wǎng)得到的數(shù)據(jù)，可以計算出2017年的年無風(fēng)險收益率為2.784%。

表1 統(tǒng)計日收益率的基本資料

根據(jù)以上敘述性質(zhì)與其他指標(biāo)計算方法，可求得各個指標(biāo)對應(yīng)的結(jié)果(見表2)。

表2 指標(biāo)計算結(jié)果

根據(jù)表2的結(jié)果分析，可以看出3個指標(biāo)的評價結(jié)果雖然都指向萬科相對于順豐控股的表現(xiàn)要好一些，但是Sharpe比率在計算單個風(fēng)險資產(chǎn)受到非系統(tǒng)性的影響幾率更大，所以計算出來的效果會大打折扣，MAD比率也指明萬科表現(xiàn)更好一些。而本文提出的α(X)此時計算的結(jié)果在[-1,1]之間，并且可以明顯看出萬科的指標(biāo)值更好一些，即投資萬科的收益率高于參照投資的收益率可能性更大。

4 結(jié)論

評價指標(biāo)通常分為相對評價指標(biāo)、絕對評價指標(biāo)、基于密度的評價指標(biāo)以及基于決策的評價指標(biāo)。目前的研究趨勢為：評價指標(biāo)正在從絕對評價指標(biāo)向相對評價指標(biāo)發(fā)展，基于密度的評價指標(biāo)向基于決策的評價指標(biāo)發(fā)展。而基于決策的評價指標(biāo)因為有決策理論作為基礎(chǔ)顯得更合理，也就更容易被投資者接受。據(jù)此，本文提出了相對評價指標(biāo)并計算出評價指標(biāo)的點估計量，并評價了深圳證券交易所兩只股票在過去一年內(nèi)的表現(xiàn)。通過3種指標(biāo)在評價2只股票中的表現(xiàn)，得出萬科股票的投資收益率高于參照指標(biāo)的收益率可能性更大，證明了相對投資評價指標(biāo)的優(yōu)越性。