陳 欣， 張志勇， 徐春云， 馮云鵬， 程灝波

(北京理工大學(xué) 深圳研究院， 廣東 深圳 518057)

基于非成像理論的自由曲面主要應(yīng)用在照明領(lǐng)域中，實(shí)現(xiàn)某種特定形狀的照明。自由曲面是指無(wú)法用函數(shù)解析式來(lái)表達(dá)、而是由離散點(diǎn)定義并擬合而成的曲面，它是不規(guī)則的非對(duì)稱(chēng)曲面。自由曲面在非成像光學(xué)中的應(yīng)用，具有體積小、效率高、曲面設(shè)計(jì)自由度高、出光光形準(zhǔn)確可控等優(yōu)點(diǎn)[1]，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)光能的重新分配。目前，自由曲面設(shè)計(jì)方法主要有試錯(cuò)法[2]、剪裁法[3, 4]、偏微分方程(Ordinary differential equation，ODE)法[5, 6]、多重表面同步設(shè)計(jì)(Simultaneous multiple surface， SMS)法[7]、劃分網(wǎng)格法[8]，以及其他衍生出的新方法[9-11]。LED作為第四代照明光源具有體積小、壽命長(zhǎng)、耗能低、光效高的優(yōu)點(diǎn)[12, 13]。隨著自由曲面的發(fā)展，對(duì)LED進(jìn)行合理的二次配光，可使其能夠應(yīng)用于各個(gè)照明領(lǐng)域，其中，在航空照明領(lǐng)域內(nèi)，LED不僅能夠很好地解決光源的隱蔽問(wèn)題，還能夠節(jié)約能源、減少污染。

根據(jù)在機(jī)場(chǎng)的用途，滑行道邊燈分為嵌入式滑行道邊燈、立式滑行道邊燈?；械肋厽舯仨毎l(fā)恒定的藍(lán)光，燈具必須能為駕駛員提供朝任意一個(gè)方向滑行的引導(dǎo)。根據(jù)聯(lián)邦航空局(Federal Aviation Administration,FAA)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，滑行道 邊燈的光強(qiáng)分布要求是：在0°～6°仰角范圍內(nèi)的光強(qiáng)至少為2 cd，6°～75°仰角范圍內(nèi)的光強(qiáng)至少為0.2 cd[14]。目前，采用LED光源的滑行道立式邊燈多為由若干顆LED鑲嵌構(gòu)成的“玉米棒”形的照明燈具，通過(guò)調(diào)整LED光源在中間柱體上的擺放位置及數(shù)量改變光束角度與光強(qiáng)，滿(mǎn)足機(jī)場(chǎng)燈具的使用要求。但是，此結(jié)構(gòu)的光束角度與光強(qiáng)不易控制，不得不鑲嵌多顆LED以滿(mǎn)足光強(qiáng)要求，同時(shí)光束較發(fā)散，光能利用率低。為了解決這個(gè)問(wèn)題，參考Luo等[11]設(shè)計(jì)側(cè)邊發(fā)光的二次配光透鏡的思路，本文采用單顆LED作為光源，設(shè)計(jì)并合理優(yōu)化了一種側(cè)邊發(fā)光的二次配光透鏡結(jié)構(gòu)。同時(shí)，采用這種結(jié)構(gòu)來(lái)滿(mǎn)足機(jī)場(chǎng)助航燈光的立式滑行道邊燈的設(shè)計(jì)要求，使立式滑行道邊燈具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積緊湊小巧、單顆LED光源、便于燈具的即刻維修或更換、光能利用率高、耗能低、壽命長(zhǎng)、綠色環(huán)保等特點(diǎn)。

1 自由曲面的理論模型

通常情況下，從LED光源芯片發(fā)出的輻射特性為L(zhǎng)ambertian型分布。側(cè)邊發(fā)光透鏡將LED光源發(fā)射的大角度的光線進(jìn)行二次分配，得到沿著光源光軸方向上小角度側(cè)邊360°周發(fā)光的光能分布，其輻射特性轉(zhuǎn)換如圖1所示。為了實(shí)現(xiàn)側(cè)邊發(fā)光的光強(qiáng)分布，側(cè)邊發(fā)光透鏡一般采用全反射-折射自由曲面組合式的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)。

圖1 Lambertian輻射特性到側(cè)邊發(fā)光輻射特性的轉(zhuǎn)換Conversion of Lambertian radiation to side illumination radiation

1.1 折射式自由曲面分析

折射式自由曲面可分為凹自由曲面與凸自由曲面兩種類(lèi)型，如圖2所示，在直角坐標(biāo)系中建立折射式自由曲面的理論模型。由LED發(fā)出的任意一條光線經(jīng)過(guò)折射率為n1的介質(zhì)到達(dá)自由曲面表面，之后光線根據(jù)Snell定律折射到折射率為n2的介質(zhì)中。由光源S發(fā)出的入射光線與垂直坐標(biāo)軸之間的角度為θ，出射光線與凹的自由曲面的垂直線VV或者凸的自由曲面水平線HH之間的角度為β。假設(shè)P(x,y)為自由曲面上的任意一點(diǎn)，直線NN代表P點(diǎn)的法線，直線KK代表P點(diǎn)的切線，P0是折射式自由曲面迭代計(jì)算的起始點(diǎn)。i為經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的入射角度，i′為相應(yīng)的出射角度，γ為過(guò)P點(diǎn)的切線KK與過(guò)P點(diǎn)的水平線HH之間的夾角。根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到SP的直線方程式(1)：

(1)

入射光線在兩種介質(zhì)的交界處的P點(diǎn)發(fā)生折射并且滿(mǎn)足Snell定律:

n1sini=n2sini′

(2)

由圖2(a)得到：

i=θ+i′-β

(3)

γ=i′-β

(4)

通過(guò)計(jì)算，γ的正切值用式(5)表示：

(5)

P點(diǎn)坐標(biāo)的微分方程與γ的正切值之間的關(guān)系如下：

(6)

對(duì)于圖2(b)所示的凸自由曲面，其對(duì)應(yīng)的幾何光學(xué)關(guān)系如式(7)、(8)所示：

(7)

(8)

隨后，得到該情況下γ的正切值：

(9)

此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)的微分方程與γ的正切值之間的關(guān)系為：

(10)

采用有限差分的方法建立計(jì)算方程，即可逐點(diǎn)求出自由曲面上離散點(diǎn)的坐標(biāo)，差分方程可用式(11)表示：

(11)

式中，(xi,yi) 曲線上第i個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，(xi+1,yi+1)為下一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)對(duì)式(11)的轉(zhuǎn)換可以得到：

(12)

聯(lián)立公式(1)與公式(12)可以計(jì)算出自由曲面輪廓線上各點(diǎn)的坐標(biāo)。

圖2 折射式自由曲面的幾何關(guān)系(a)凹曲面；(b)凸曲面Geometric relationship of refractive freeform surfaces (a) concave surface; (b) convex surface

1.2 全反射自由曲面分析

類(lèi)似的，反射式自由曲面同樣可以根據(jù)有限差分的方法計(jì)算出來(lái)。由全反射定律可知，光線從高折射率n1介質(zhì)射入到低折射率n2介質(zhì)中，并且在分界面上的入射角大于臨界角Im時(shí)即可發(fā)生全反射，臨界角可表示為：

sinIm=n2/n1

(13)

如果透鏡采用PMMA作為材料，n1=1.49，n2=1代表空氣的折射率。經(jīng)計(jì)算可以得到全反射的臨界角Im=42.15°。

假設(shè)P點(diǎn)發(fā)生全反射，i為入射角度，i′為反射角度(如圖3所示)，可以得到關(guān)系式(14)：

(14)

由式(14)可知，入射角i始終大于臨界角Im， 也就是說(shuō)反射式自由曲面上的每一點(diǎn)都可以滿(mǎn)足全反射的條件。

由圖3還可以得到式(15)：

(15)

將式(15)帶入到式(6)中，通過(guò)式(1)、(6)、(12)，可以計(jì)算出全反射自由曲面上各離散點(diǎn)的坐標(biāo)值。

圖3 全反射自由曲面的幾何關(guān)系Geometric relationship of total reflection freeform surface

2 立式滑行道邊燈設(shè)計(jì)

2.1 側(cè)邊發(fā)光自由曲面透鏡模型

側(cè)邊發(fā)光透鏡為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，半個(gè)透鏡的二維截面曲線如圖4(a)所示，該截面曲線由5個(gè)部分組成。由LED發(fā)射的到達(dá)表面1末端的光線與垂直軸線之間的夾角為θ，在這個(gè)角度范圍內(nèi)的光線經(jīng)過(guò)內(nèi)表面自由曲面1折射，得到平行于垂直軸線的出射光線。透鏡的第四部分為一個(gè)平面反射面，該面與水平軸線呈45°角。透鏡的第五部分為一個(gè)垂直側(cè)壁。光源出射的光線經(jīng)過(guò)側(cè)壁2折射后到達(dá)自由曲面3進(jìn)行第二次折射。根據(jù)第二部分自由曲面的計(jì)算方法，建立初始條件為a=3 mm，θ=35°的側(cè)邊發(fā)光透鏡，如圖4(b)所示。透鏡底部最大口徑為14.86 mm，透鏡高度為7.21 mm。圖5為側(cè)邊發(fā)光透鏡遠(yuǎn)場(chǎng)的矩形坎德拉分布曲線，在模擬過(guò)程中，透鏡的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)軸與Z軸方向平行。因此，圖5中0截面的光強(qiáng)分布即YOZ平面上的光強(qiáng)分布。90截面是與0截面相垂直的截面，90截面的光強(qiáng)分布即XOZ平面上的光強(qiáng)分布。從模擬結(jié)果中可知，側(cè)邊發(fā)光透鏡遠(yuǎn)場(chǎng)角度分布的峰值光強(qiáng)在側(cè)面方位角為±90°的位置且峰值光強(qiáng)大小為19.6 cd，峰值光強(qiáng)的半峰邊角約為6°，側(cè)邊發(fā)光效率為96.4%。

2.2 立式滑行道邊燈結(jié)構(gòu)

基于LED光源的立式滑行道邊燈的結(jié)構(gòu)如圖6所示，立式燈具離開(kāi)地面的總高度應(yīng)不超過(guò)350 mm。燈罩的作用是保護(hù)內(nèi)部透鏡和電路處 理單元不受外界環(huán)境的影響。燈罩的頂部是一個(gè)半球形的表面，半球形的底部應(yīng)與二次配光透鏡的底部在同一個(gè)水平線上，保證由滑行道邊燈出射的光線角度與光強(qiáng)分布不變。上一小節(jié)設(shè)計(jì)的側(cè)邊發(fā)光透鏡，其出射光線方向與水平方向平行，在設(shè)計(jì)立式滑行道邊燈時(shí)，將透鏡出射角度β設(shè)置為0°～6°用來(lái)滿(mǎn)足FAA的規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)。由圖5的矩形坎德拉光強(qiáng)分布曲線可知，在±80°角度范圍內(nèi)一些光強(qiáng)值為0 cd，不能滿(mǎn)足立式滑行道邊燈的光強(qiáng)分布要求。因此，可以在側(cè)邊發(fā)光透鏡的頂部周邊表面設(shè)計(jì)兩條鋸齒來(lái)滿(mǎn)足大角度的光強(qiáng)分布要求，如圖6所示。鋸齒的作用是可以使由內(nèi)自由曲面折射并且經(jīng)過(guò)反射平面反射的垂直方向的小角度光線以相對(duì)水平方向成較大的角度出射。VV表示過(guò)P點(diǎn)的垂直線，HH表示過(guò)P點(diǎn)的水平線，NN表示P點(diǎn)處的法線。i為P點(diǎn)的入射角度，i′為P點(diǎn)的出射角度，δ表示入射光線與水平線HH之間的夾角，δ的最大值δm為6°。入射角應(yīng)小于全反射的臨界角im，也就是說(shuō)，α的角度應(yīng)小于(im-δm)。當(dāng)立式滑行道邊燈透鏡采用PMMA作為材料，其臨界角im=42.15°，因此，選擇α為35°來(lái)獲得相對(duì)水平線大角度的出射光線角度。為了便于加工，鋸齒齒深w均為0.5 mm，鋸齒的出光面與水平方向所成的γ角度為55°。

圖4 側(cè)邊發(fā)光透鏡結(jié)構(gòu)(a)二維輪廓線；(b)三維實(shí)體模型(a=3 mm,θ=35°)Side illuminating lens structure (a) 2D contour; (b) 3D solid model (a=3 mm, θ=35°)

圖5 側(cè)邊發(fā)光透鏡的矩形坎德拉分布曲線Rectangular candela distribution curve of side illuminating lensa=3 mm, θ=35°

圖6 立式滑行道邊燈結(jié)構(gòu)圖The structure diagram of elevated taxiway edge light

3 模擬仿真與實(shí)驗(yàn)

為了評(píng)價(jià)立式滑行道邊燈的設(shè)計(jì)結(jié)果，模擬時(shí)選用Cree XP-E芯片尺寸為1 mm×1 mm，在波長(zhǎng)為0.465 μm下光源的總光通量為15 lm的LED光源。立式滑行道邊燈透鏡底部最大口徑為13.86 mm，透鏡高度為7.13 mm。同樣采用圖5的YOZ坐標(biāo)系，模擬時(shí)透鏡的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)軸與Y軸方向平行。由于出射光的角度相對(duì)水平方向不再平行，峰值光強(qiáng)角度的位置在垂直方向3°處，其數(shù)值大小為8.9 cd，峰值的半峰邊角約為11°。垂直方向75°角度范圍內(nèi)，光強(qiáng)的最小值(minI)為0.5 cd。垂直方向上0°位置處的光強(qiáng)(I0)大小為6.7 cd，垂直方向上6°位置處的光強(qiáng)(I6)大小為6.5 cd。由于材料的吸收以及透鏡頂端鋸齒引起的光能損失，立式滑行道邊燈透鏡相比第二種類(lèi)型的側(cè)邊發(fā)光透鏡損失了更多的輸出能量，立式滑行道邊燈透鏡的側(cè)邊發(fā)光效率為85.4%。立式滑行道邊燈的數(shù)值模擬如圖7所示，水平坐標(biāo)表示的是透鏡垂直方向的角度，垂直坐標(biāo)表示的是模擬得到的光強(qiáng)數(shù)值，紅色曲線代表要求的光強(qiáng)邊界， 藍(lán)色曲線代表模擬的光強(qiáng)邊界。表1為模擬的LED立式滑行道邊燈的光強(qiáng)分布與FAA規(guī)定的光強(qiáng)分布之間的比較。模擬得到的邊界曲線大于規(guī)定的邊界曲線，本文設(shè)計(jì)的立式滑行道邊燈可以滿(mǎn)足FAA規(guī)定的光強(qiáng)分布要求。

圖7 LED立式滑行道邊燈光強(qiáng)分布圖The intensity distribution of LED elevated taxiway edge light

圖8為立式滑行道邊燈實(shí)物圖：圖8(a)所示為燈具整體結(jié)構(gòu)，燈具由頂面為半球形的燈罩和立式支撐架構(gòu)成；利用注塑成型的方法加工得到的立式滑行道邊燈的透鏡如圖8(b)所示；LED驅(qū)動(dòng)電路處理單元模塊如圖8(c)所示。測(cè)量時(shí)光源選用Cree XP-E型號(hào)的LED，出射恒定的藍(lán)色光。

表2為測(cè)量得到的立式滑行道邊燈光強(qiáng)數(shù)據(jù)，以地面為基準(zhǔn)測(cè)量垂直地面方向0°～75°且與地面垂直的不同截面的光強(qiáng)分布。垂直方向上0°～6°仰角范圍內(nèi)每隔1°測(cè)量一組數(shù)據(jù)，6°～75°仰角范圍內(nèi)每隔5°測(cè)量一組數(shù)據(jù)。測(cè)量結(jié)果:不同截面在0°～6°仰角范圍內(nèi)得到的光強(qiáng)最大為9.8 cd，最小光強(qiáng)為4.1 cd，大于2 cd；在6°～75°仰角范圍內(nèi)的最小光強(qiáng)為0.3 cd，大于0.2 cd，與模擬結(jié)果接近。由此可知，本文設(shè)計(jì)的立式滑行道邊燈可以滿(mǎn)足垂直地面方向0°～75°側(cè)邊周發(fā)光的光能分布，達(dá)到了FAA規(guī)定的立式滑行道邊燈照明需求。

表1 模擬的LED滑行道立式邊燈的光強(qiáng)分布與FAA規(guī)定的光強(qiáng)分布的對(duì)比

圖8 立式滑行道邊燈實(shí)物圖(a) 燈具整體結(jié)構(gòu)； (b) 自由曲面透鏡； (c) 電路處理模塊Elevated taxiway edge light (a) overall structure of the lamp; (b) free-form surface lens; (c) circuit processing module

表2 立式滑行道邊燈光強(qiáng)測(cè)量數(shù)據(jù)

4 總結(jié)

本文針對(duì)LED點(diǎn)光源非圓對(duì)稱(chēng)光斑自由曲面透鏡的應(yīng)用，設(shè)計(jì)了滿(mǎn)足側(cè)邊發(fā)光的自由曲面透鏡。將該透鏡結(jié)構(gòu)作為機(jī)場(chǎng)助航燈光的立式滑行道邊燈透鏡的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，同時(shí)在透鏡的頂部周邊表面設(shè)計(jì)兩條鋸齒。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用一顆LED光源即可滿(mǎn)足FAA標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的立式滑行道邊燈光強(qiáng)分布要求。本文設(shè)計(jì)的立式滑行道邊燈具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積緊湊小巧、便于燈具的即刻維修或更換的優(yōu)點(diǎn)，也為其他基于LED光源的立式滑行道邊燈提供了有效的設(shè)計(jì)靈感。