馬慶華,郭 倩

(廣東外語外貿(mào)大學(xué) 金融學(xué)院,廣州 510006)

期權(quán)定價主要包括三種方法：B-S模型，二叉樹模型以及蒙特卡洛模擬。Barone-Adesi和Whaley提出的美式期權(quán)近似解模型(BAW模型)將美式期權(quán)的解分為兩部分，一部分是同等歐式期權(quán)的解，另一部分是由于合約提前實施條款而需要增付的權(quán)利金，并認為美式期權(quán)價格和歐式期權(quán)價格都滿足Black-schole方程，所以提前實施的權(quán)利金也符合B-S方程[1]；Cox Ross和Rubinstein的二叉樹模型既適合于歐式期權(quán)又適合于美式期權(quán)，且方法簡單易懂，之后被投資者們廣泛運用，其缺點就是當(dāng)步長增加時，計算耗時增大[2]；Longstaff和Schwartz提出的最小二乘蒙特卡洛模擬(LSM)被廣泛用來當(dāng)作美式期權(quán)定價的標準[3]。

關(guān)于期權(quán)定價的對比分析大都是基于兩種模型或者是基于外國期權(quán)產(chǎn)品的實證研究，沒有結(jié)合三種模型且基于本國期權(quán)產(chǎn)品的實證研究。刁博玨等用Microsoft的股票期權(quán)作為樣本，使用Matlab和Excel并運用二叉樹模型以及蒙特卡洛模擬法對股票期權(quán)進行了理論定價研究，并將兩種方法的定價結(jié)果同實際的期權(quán)價格進行了比較[4]；方艷等分別運用B-S-M模型和蒙特卡洛模擬方法對上證50ETF的定價進行了實證研究，認為兩種方法都能比較精準地對上證50ETF進行定價，還用平均絕對誤差(MAE)、均方比例誤差(MSPE)、平均絕對比例誤差(MAPE)來檢驗?zāi)Ｐ投▋r的穩(wěn)健性[5]。

對農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)定價的研究，或是根據(jù)外國期權(quán)市場的數(shù)據(jù)，或是通過對我國的訂單農(nóng)業(yè)進行摸索而進行模擬定價。Foster 和Whiteman加入數(shù)值貝葉斯技術(shù)建立了標的資產(chǎn)價格的預(yù)測密度，以芝加哥期貨交易所交易的大豆期貨期權(quán)為例，探討B(tài)-S模型、Stutzer模型以及經(jīng)改進后的貝葉斯技術(shù)模型哪一種模型更接近實際期權(quán)價格[6]；黃亞林根據(jù)芝加哥期貨交易所的玉米、大豆和小麥期權(quán)的數(shù)據(jù)，從農(nóng)產(chǎn)品價格風(fēng)險規(guī)避的視角對其期權(quán)定價進行研究[7]；田貴良等提出用虛擬水期權(quán)來規(guī)避糧食安全和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的風(fēng)險，構(gòu)建了一個適合虛擬水產(chǎn)品的“擴散-跳躍”模型,并用鄭商所的小麥作為實證得出小麥虛擬水期權(quán)的價格[8]。

2016年12月16日，證監(jiān)會批準鄭商所和大商所分別開展白糖和豆粕期貨期權(quán)交易，這意味著國內(nèi)首個場內(nèi)農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)落地。在2017年3月31日豆粕期貨期權(quán)掛牌首日共成交了46066手，持倉量為32056手?？傮w而言，市場交易比較理性，成交平穩(wěn)。從其期權(quán)合約設(shè)計來看，它反映了服務(wù)實體的特征，嚴格控制了市場風(fēng)險。而豆粕期貨期權(quán)自從上市以后，大商所不斷放寬其限倉標準，從剛開始的300手到2017年9月的2000手，再到2018年5月的1萬手，接著2019年2月放寬到3萬手。這說明了我國豆粕期權(quán)的快速發(fā)展和投資者的需求日漸增加，這也更有利于投資者們充分利用豆粕期權(quán)的豐富的交易策略，更好地滿足他們自身的風(fēng)險管理需求。豆粕期貨期權(quán)是由大連商品交易所制定的。

鑒于我國農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)市場起步較晚，關(guān)于農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)定價的研究大多數(shù)僅限于理論研究階段。就上述我國的兩種農(nóng)產(chǎn)品而言，其期權(quán)品種是美式期權(quán)，雖然已有文獻中有關(guān)于美式期權(quán)定價對比分析方面的研究，但大都沒有經(jīng)過實際價格的檢驗，更沒有基于我國農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)實際數(shù)據(jù)而進行的研究。本文通過比較B-S期權(quán)定價模型、二叉樹定價模型以及蒙特卡洛模擬這三種方法，以我國新上市的豆粕期貨期權(quán)為例，對我國農(nóng)產(chǎn)品的期貨期權(quán)的定價進行比較，并比較不同的參數(shù)選取方式對定價效果的影響，再通過與真實交易數(shù)據(jù)做比較，得出相對而言適合我國農(nóng)產(chǎn)品期貨期權(quán)的定價模型。

1 本文使用的期權(quán)定價的原理與模型

本文的期權(quán)定價模型主要分為三個。其共同點是都融入了期貨保證金(m1)和期權(quán)手續(xù)費(m2)這兩個因素。因為在實際的期貨交易市場中，期貨的購買并不是單純的信用交易，作為合約的擔(dān)保必須繳納一定的保證金才能進行期貨交易，而每個交易所都會有一定的標準來確定其保證金，也就是保證金率m1，且保證金在持倉者交割或者平倉后會返還給交易者，并且交易者再需支付一定的期權(quán)交易和行權(quán)手續(xù)費，即m2。因此，交易者也就損失了這個保證金的貨幣時間價值。而下面這3個模型融入了期貨保證金和期權(quán)手續(xù)費，即將m1和m2融入模型中。

1.1 改進后的BAW模型

B-S模型的一大缺點就是不能很好地給美式期權(quán)定價，所以本文以Barone-Adesi和Whaley的BAW模型為基礎(chǔ)，在BAW模型的歐式期權(quán)部分融入保證金率和行權(quán)手續(xù)費的因素。在BAW模型中，模型的解由兩部分構(gòu)成，一是同等B-S模型求出來的解，二是可提前行權(quán)而多支付的權(quán)利金。

對于第一部分，我們在求解B-S模型時所構(gòu)造的資產(chǎn)組合的變化為：

(式1)

加入期貨保證金之后，就相當(dāng)于損失了保證金這一部分的利息，所以資產(chǎn)組合變?yōu)椋?/p>

(式2)

原始B-S的偏微分方程為：

(式3)

在改進后的模型中融入了期貨保證金這個因素，根據(jù)文章第二部分可得伊藤定理：

(式4)

結(jié)合伊藤定理，代入式3，得到改進后的偏微分方程：

(式5)

以C表示歐式買入期權(quán)的價值、P表示歐式賣出期權(quán)的價值、S為原生資產(chǎn)的價格、K為期權(quán)的執(zhí)行價格、β為便利損失率、m1為保證金率，歐式期權(quán)定價的求解問題變?yōu)榱艘韵路匠蹋?/p>

(式6)

最后的看漲歐式期權(quán)部分定價模型變?yōu)椋?/p>

C=e-(r-βm1)(T-t)SN(d1)-e-r(T-t)(K+m2)N(d2)

(式7)

根據(jù)期權(quán)的平價公式以及累計正態(tài)分布的性質(zhì)，N(d)+N(-d)=1，可得出看跌歐式期權(quán)定價模型：

(式8)

對于第二部分可提前行權(quán)應(yīng)多支付的權(quán)利金，因為：

VA(S,t)=VE(S,t)+e(S,t)

(式9)

所以，對于權(quán)利金e也需滿足偏微分方程：

(式10)

而美式看漲和歐式看漲都滿足：

VA(S,T)=max(S-K-m2，0)=VE(S,T)

(式11)

所以，e(S,t)必須滿足：

(式12)

當(dāng)X(1-X)=0時，可以得到期權(quán)價格的精確值；當(dāng)X(1-X)≠0時，上式則會變成:

(式13)

以上類似于一個常微分方程，其解的形式為aSρ，可得：

(式14)

(式15)

將式14和式15代入式13可得：

(式16)

解得：

(式17)

(式18)

對于美式看漲期權(quán)來說，CA(S)滿足如下公式：

(式19)

對于美式看跌期權(quán)來說，PA(S)滿足如下公式：

(式20)

其中：

在以上CA(S)和PA(S)兩個模型中，cE(S*)和PE(S**)是同等條件下歐式期權(quán)的解，A2和A1是美式期權(quán)比歐式期權(quán)需要多支付的那一部分權(quán)利金，S*和S**是期權(quán)執(zhí)行的股價臨界點。

1.2 改進后的二叉樹模型

二叉樹模型的一個優(yōu)勢就是既可以給歐式期權(quán)定價又可以給美式期權(quán)定價。步數(shù)越長，結(jié)果越精確。首先是單步二叉樹的情形，期權(quán)的執(zhí)行價格為K，若期貨價格上漲，期權(quán)的價值為：fu=max(uS-K-m2，0)；若期貨價格下跌，期權(quán)的價值為：fd=max(dS-K-m2，0)。構(gòu)造一個組合，用Δ份的期貨和無風(fēng)險資產(chǎn)B來復(fù)制期權(quán)的價值，Δ和B都必須滿足以下條件：

fu=Δus+rB-βm1

(式21)

fd=Δds+rB-βm1

(式22)

通過式21和式22可得：

Δ=(fu-fd)/(us-ds)

(式23)

Δs-f=e-rt(Δus-fu-βm1)

(式24)

(式25)

n步二叉模型的看漲期權(quán)公式為：

(式26)

n步二叉樹模型看跌期權(quán)公式為:

(式27)

1.3改進后的LSM模型

(式28)

2 實證分析

豆粕期貨期權(quán)上市于2017年3月31日。本文以豆粕期貨期權(quán)M1807-C等7個系列作為標的資產(chǎn)，分別為M1807-C2400、C2450、C2500、C2550、C2600、C2650、C2700。選取了2018年4月18日至2018年5月17日的數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)。因虛值期權(quán)在進行模擬定價時不穩(wěn)定，本文只選取了實值期權(quán)。根據(jù)期權(quán)代碼可得，所選取數(shù)據(jù)合約月份為1807，C后面的數(shù)字為執(zhí)行價格。

2.1 M1807豆粕期貨的市場價格S

選取2018年4月18至2018年5月17日期間每個交易日的豆粕期貨收盤價作為標的資產(chǎn)的價格S。例如，2018年4月18日交易代碼為M1807的豆粕期貨收盤價為3194。詳情如表1所示。

表1 豆粕期貨2018-04-18至2018-05-17市場價格

2.2 M1807豆粕期貨期權(quán)的執(zhí)行價格K

根據(jù)以上期權(quán)的代碼，可得所選數(shù)據(jù)的執(zhí)行價格依次為2400、2450、2500、2550、2600、2650、2700這7個系列。

2.3 M1807豆粕期貨期權(quán)的時間間隔T-t

所選取豆粕期貨的數(shù)據(jù)月份為7個月，所以時間間隔T-t=07/12。

2.4 M1807豆粕期貨的波動率σ

一般在波動率的選取上會考慮歷史波動率和隱含波動率，因隱含波動率反映了投資者對未來波動率的預(yù)期，所以在本部分先選取隱含波動率。其數(shù)據(jù)在wind以及大連商品交易所可以直接獲得。具體數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 豆粕期貨期權(quán)2018-04-18至2018-05-17隱含波動率

2.5 M1807豆粕期貨的無風(fēng)險利率r

在計算中選用一年期定期存款利率1.5%，所以本文將1.5%作為無風(fēng)險利率。

2.6 期貨保證金率m1以及手續(xù)費m2的選取

期權(quán)交易手續(xù)費都可以通過大商所平臺得到。2018年8月份之前交易手續(xù)費標準為1元/手，行權(quán)(履約)手續(xù)費也是1元/手；保證金的影響用便利損失率β*m1來表示(β一般情況下等于國債流動性損失，此處等于無風(fēng)險利率1.5%，m1為保證金率，大連商品交易所規(guī)定豆粕的保證金率為7%)。

3 期權(quán)定價模型結(jié)果的比較分析

根據(jù)式10、式12以及式14這3個模型，利用Matlab編程可得到模型的預(yù)測價格，用Excel統(tǒng)計并繪制了對比圖(見圖1—圖7)。每個圖表示一種執(zhí)行價格的豆粕期權(quán)的實際收盤價和模型擬合價格的折線圖。

圖1 M1807-C-2400真實價格與模擬價格走勢

圖2 M1807-C-2450真實價格與模擬價格走勢

圖3 M1807-C-2500真實價格與模擬價格走勢

圖4 M1807-C-2550真實價格與模擬價格走勢

圖5 M1807-C-2600真實價格與模擬價格走勢

圖6 M1807-C-2650真實價格與模擬價格走勢

圖7 M1807-C-2700真實價格與模擬價格走勢

圖8 不同期權(quán)定價方法的擬合精度比較

在比較定價結(jié)果時，為了進行定量分析，本文采用平均絕對比例誤差(MAPE)來進行分析，Yabs，t表示實際收盤價格，Ypred，t表示用模型預(yù)測出來的價格：值越小，意味著模型模擬較好；值越大，說明模擬較差。其定義為：

由圖1—圖7可知：(1)期權(quán)每一日的收盤價隨著執(zhí)行價格的上升而上升，BAW和CRR的這種趨勢與收盤價是一致的，而LSM的趨勢與收盤價相反；(2)隨著執(zhí)行價格的提高，LSM與真實價格之間的距離越來越遠，嚴重高估了豆粕期貨期權(quán)的價格，說明LSM的定價誤差越來越大。根據(jù)不同期權(quán)定價方法的擬合精度比較(見圖8)可知，BAW與CRR的定價誤差較小，總體呈高估的態(tài)勢，幾乎接近于真實價格，但是也會隨著執(zhí)行價格的升高誤差而有所增加，這說明CRR更接近于我國豆粕期貨期權(quán)的真實價格。

4 結(jié)語

考慮到豆粕期權(quán)的手續(xù)費和保證金的因素，其模型比一般的模型在假設(shè)條件上要有所放寬,且融入保證金和手續(xù)費因素的模型比改進之前的美式期權(quán)模型的誤差要小;在使用工具上，使用Matlab編程來進行模型的求解，所以在模擬價格的獲取上更加簡單，并且在進行結(jié)果統(tǒng)計部分使用Excel，其使用比較普遍，操作起來更加容易；通過對比三個模型的模擬價格與實際價格發(fā)現(xiàn)，CRR與BAW模型與實際價格變化趨勢一致，誤差控制在10%左右，差異可以接受。