成慶林，馬妍欣，楊金威，馮 云，甘亦凡，黃作男

（東北石油大學(xué)提高油氣采收率教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江大慶163318）

在工程建設(shè)中，為確定離心泵的開泵方案，一般需要知道離心泵的特性曲線方程。離心泵的特性曲線或有關(guān)設(shè)計(jì)材料都是以參數(shù)或圖形的形式給出的，并沒有明確的表達(dá)式，難以得到具體的泵性能參數(shù)。如何選擇合適的數(shù)學(xué)擬合模型，數(shù)學(xué)擬合模型參數(shù)的確定及將離心泵的性能曲線轉(zhuǎn)換為計(jì)算機(jī)語言下的圖形是擬合的關(guān)鍵問題[1]。為此，對離心泵的H-Q曲線進(jìn)行冪函數(shù)、多項(xiàng)式以及指數(shù)擬合，并對其進(jìn)行誤差分析，選出最優(yōu)擬合方程[2]。

由于設(shè)備廠家提供的泵性能曲線H-Q與實(shí)際運(yùn)行存在一定偏差，造成模擬計(jì)算結(jié)果與實(shí)際不符，影響運(yùn)行方案的制定，因此要對擬合后的離心泵H-Q性能曲線進(jìn)行校正。

1 曲線擬合基本原理——最小二乘法

在實(shí)際工程中，大部分通過人為觀測的數(shù)據(jù)都有誤差，此時(shí)若要求一條曲線經(jīng)過所有已知點(diǎn)是不合理的。因此為解決離心泵性能曲線擬合問題，盡可能全面地反映實(shí)際數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，必然要求每個(gè)離散點(diǎn)上的計(jì)算值與實(shí)際值的絕對值之差盡可能小，通常要求誤差平方和最小即可。擬合過程中采集的實(shí)際數(shù)據(jù)越多，則擬合效果越好，函數(shù)曲線越精確[3]。

若假設(shè)變量為X1,X2,…,Xn,y1,y2,…,yt(t≥n)，通過下面的算式計(jì)算得到：

假如Xa為真實(shí)值，利用上述公式可求出真實(shí)的ya，假如測量值為y*a，則計(jì)算的誤差為：

則最小二乘法可表示為：

若進(jìn)行測量的精度不等，則應(yīng)在上述的計(jì)算基礎(chǔ)上加上各個(gè)測量值的權(quán)重因子Pa，則式（3）改寫為：

研究的最小二乘法是建立在隨機(jī)誤差呈現(xiàn)正態(tài)分布時(shí)，利用最大似然理論所推導(dǎo)出的結(jié)果。

2 離心泵H-Q曲線冪函數(shù)擬合

采用VB語言對H-Q曲線進(jìn)行冪函數(shù)形式的擬合。

（1）擬合方程式建立

對于固定轉(zhuǎn)速下的離心泵，可通過實(shí)測不少于5組的H-Q數(shù)據(jù)來對其性能曲線進(jìn)行最小二乘法擬合，得到如下的函數(shù)表達(dá)式：

式中，Q為離心泵流量，m3/h；H為離心泵揚(yáng)程，m;a、b為待定系數(shù)，由實(shí)測或泵特性曲線上得到的n組（Q，H）數(shù)據(jù)根據(jù)最小二乘法回歸得到；m為流態(tài)指數(shù)，層流m=1，水力光滑區(qū)m=0.250，混合摩擦區(qū)m=0.123，粗糙區(qū) m=0。

（2）待定系數(shù)確定

根據(jù)最小二乘法定義，最小二乘法如式（6）所示：

假如式（2）成立，則式（7）成立：

求解式（3）得：

式中，n為泵樣本所測試的Q、H數(shù)據(jù)組數(shù)。

（3）編程

①打開VB6.0，創(chuàng)建一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)工程文件[4]。按設(shè)計(jì)要求對新建的工程文件進(jìn)行可視化設(shè)計(jì)（見圖1），主要滿足7個(gè)功能：查看數(shù)據(jù)、曲線擬合公式、擬合圖像、清除、誤差分析、保存以及幫助。窗口設(shè)計(jì)3個(gè)Text文本框和一個(gè)PictureBox。3個(gè)文本框分別用來表示輸出擬合點(diǎn)數(shù)據(jù)、輸出擬合公式、輸出誤差值。

②在設(shè)計(jì)完窗口后，需要根據(jù)事先選定好的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行編程求解。代碼應(yīng)盡量不繁瑣，簡單易懂。盡量少地調(diào)用程序塊，以增加程序的運(yùn)行速度。編程思路如下：

A.在VB6.0的代碼窗口中對所需要使用的各個(gè)變量進(jìn)行定義。

B.將數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，利用最小二乘法寫出對應(yīng)方程組。

C.對方程組進(jìn)行求解并將其結(jié)果輸出到窗口中。

③編程結(jié)束后，應(yīng)對工程進(jìn)行不斷調(diào)試，若發(fā)現(xiàn)問題應(yīng)及時(shí)調(diào)整，直到符合要求。

（4）求解并檢驗(yàn)擬合誤差

為了計(jì)算擬合誤差，采用如下方程式計(jì)算誤差。

式中，H為樣本值或?qū)崪y值，m；H0為擬合方程的計(jì)算值，m。

為了驗(yàn)證冪函數(shù)擬合的H-Q性能曲線方程的可行性，若擬合后精確度大于等于95%，則認(rèn)為擬合效果良好。

3 離心泵H-Q曲線多項(xiàng)式擬合

用VB語言編程對其實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式擬合[5-7]。

（1）擬合方程式建立

設(shè)擬合多項(xiàng)式的次數(shù)為m,則需擬合的方程形式可表示為：

式中，Xj為待定系數(shù)，j=0,1,???，m。

將方程改寫為：

（2）待定系數(shù)確定

將式（12）改寫成如下矩陣形式[8?10]：

根據(jù)最小二乘法定義對式（13）進(jìn)行求解，則式（13）應(yīng)滿足如下關(guān)系式：

解方程求得X=(A'A)-1(A'B)。

由Runge現(xiàn)象可知，多項(xiàng)式擬合次數(shù)越高，擬合精度未必越高。為了同時(shí)滿足精度和運(yùn)算速度的要求，本次離心泵的H-Q曲線采用2次多項(xiàng)式擬合[11]。

（3）編程

編程過程同冪函數(shù)擬合。

（4）求解并檢驗(yàn)擬合誤差

4 離心泵H-Q曲線指數(shù)函數(shù)擬合

用LOGEST函數(shù)來實(shí)現(xiàn)H-Q指數(shù)函數(shù)擬合[12?14]。

（1）擬合方程式建立

式中，b、m為待定系數(shù)。

（2）待定系數(shù)確定

在回歸分析中，LOGEST函數(shù)可以計(jì)算出最符合數(shù)據(jù)的指數(shù)回歸的擬合曲線。LOGEST函數(shù)語法形式為：

式中，數(shù)組known_y’s是揚(yáng)程H的集合；數(shù)組known_x’s是數(shù)組流量Q的集合；const為一邏輯值，

TRUE表示指數(shù)模型中沒有常數(shù)量,FALSE表示指數(shù)模型中有常數(shù)量；stats也為一邏輯值，指定時(shí)刻返回附加回歸統(tǒng)計(jì)值，本文中將其設(shè)置為FALSE。

（3）求解并檢驗(yàn)擬合誤差

5 擬合案例分析

下面為3組出廠性能曲線H-Q數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)是從文獻(xiàn)[15]的出廠性能曲線圖中進(jìn)行取點(diǎn)并加以整理形成表1。

表1 出廠性能曲線數(shù)據(jù)Table 1 Factory performance curve data

根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)及VB編程語言編制VB程序，以數(shù)據(jù)1的冪函數(shù)回歸為例，VB程序界面操作界面（見圖1）以及編寫程序代碼如下所示。

圖1 數(shù)據(jù)1冪函數(shù)擬合VB界面圖Fig.1 Power function fitting VB diagram of data 1

所編寫的程序代碼：

Private Sub Command5_Click()

Randomize

Dim x(100000)

Dim y(100000)

Dim M(100)

Dim n,j As Integer

n=InputBox('請輸入坐標(biāo)個(gè)數(shù)：')

For j=1 To n

x(j)=InputBox('請輸入第'&j&'個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)')

sumx1=sumx1+x(j)^2

sumx2=sumx2+x(j)^4

y(j)=InputBox('請輸入第'&j&'個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)')

sumy=Val(sumy+y(j))

sumxy=sumxy+x(j)^2*y(j)

Text1.Text=(Text1.Text+(x(j)&','&y(j)))&vbCrLf

Next j

Picture1.Scale(-10,52)-(300,-5)

Picture1.DrawWidth=3

Picture1.Line(0,0)-(5200,0),vbBlack

Picture1.Line(0,520)-(0,0),vbBlack

Picture1.Circle(0,0),0,vbRed

For i=0 To 500 Step 50

Picture1.Line(i,0.3)-(i,0)

Picture1.Print i

Next i

For j=1 To n

Picture1.PSet(x(j),y(j)),vbBlack

Next j

For i=0 To 500 Step 50

Picture1.Line(0,i)-(0.3,i)

Picture1.Print i

Next i

Picture1.Scale(-10,52)-(300,-5)

a=(sumx2*sumy-sumxy*sumx1)/((n*sumx2)-((sumx1)^2))

B=(sumx1*sumy-n*sumxy)/(n*sumx2-((sumx1)^2))

For Q=0 To 250

H=a-B*Q^2

Picture1.PSet(Q,H),RGB(255,0,0)

Next Q

Text4.Text=Format(a,'0.0000')

Text5.Text=Format(B,'0.0000')

Text2.Text=CStr(Text4.Text)&'-'&CStr(Text5.Text)+'*Q^2'

For j=1 To n

M(j)=Text4.Text-(Text5.Text*(x(j)^2))

Wucha=Wucha+(Abs(M(j)-y(j)))/y(j)

Text3.Text=Wucha/n

Text3.Text=Format(Text3.Text,'0.00000')

Next j

End Sub

Private Sub Command6_Click()

Picture1.Cls

End Sub

根據(jù)最小二乘法原理結(jié)合VB編程語言，得出冪函數(shù)及多項(xiàng)式擬合，運(yùn)用LOGEST函數(shù)對泵的H-Q性能曲線進(jìn)行指數(shù)形式擬合，結(jié)果如表2和圖2所示。

表2 擬合方程計(jì)算結(jié)果Table 2 Calculation results of fitting equation

根據(jù)表2擬合結(jié)果，多項(xiàng)式的擬合結(jié)果更精確，誤差更小。因此用多項(xiàng)式的數(shù)學(xué)模型更能準(zhǔn)確地表示離心泵H—Q性能曲線，為下一步出廠性能曲線校正提供基礎(chǔ)。

6 H-Q性能曲線校正

在進(jìn)行泵的出廠性能曲線擬合之后，由于離心泵在實(shí)際運(yùn)行中會(huì)出現(xiàn)與設(shè)備廠家提供的性能曲線有一定偏差的現(xiàn)象，又因?yàn)楸玫倪\(yùn)行數(shù)據(jù)可能非常少且較密集，因此我們可以對出廠性能曲線進(jìn)行上下左右移動(dòng)來進(jìn)行出廠性能曲線的校正。校正的方法也是最小二乘法。以多項(xiàng)式形式的出廠數(shù)據(jù)1得出的方程為例進(jìn)行說明。

圖2 各種函數(shù)擬合結(jié)果Fig.2 Different function fitting result

通過計(jì)算，得到泵的H-Q的出廠性能曲線為：

通過對(17)沿兩個(gè)坐標(biāo)軸正方向分別移動(dòng)x與y單位，使揚(yáng)程曲線盡量吻合實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)所體現(xiàn)出的揚(yáng)程特性。移動(dòng)后的揚(yáng)程曲線為：

通過最小二乘法計(jì)算，求出移動(dòng)量x和y，使式（19）成立。

根據(jù)表1的工程實(shí)測數(shù)據(jù)，泵流量分別為12、60、86 m3/h，對應(yīng)揚(yáng)程分別為65、59、86 m。

通過運(yùn)用VB對最小二乘法進(jìn)行編程求解，如圖3所示。

圖3 校正擬合結(jié)果Fig.3 Correction fit result graph

由圖3可得，校正后曲線方程為：

分析可得，校正后的曲線較之前向右平移了38.25個(gè)單位，向上平移了16.43個(gè)單位。校正之后的曲線方程與工程實(shí)測數(shù)據(jù)誤差為2.2%。校正后曲線更加準(zhǔn)確地?cái)M合工程實(shí)際泵的性能，為后續(xù)開泵方案提供參考。

7 能耗分析

（1）能耗計(jì)算[16?17]

泵機(jī)組能耗分析指的是泵機(jī)組提供的揚(yáng)程所消耗的電量。主要是為了補(bǔ)充管輸原油流動(dòng)過程的摩阻損失，泵機(jī)組t h的耗電量計(jì)算公式如下：

式中，Sp為耗電量，kW ?h；ρ為原油密度，kg/m3；Qv為管道的體積流量，m3/s；H為泵站總揚(yáng)程，m；η1為電動(dòng)機(jī)效率；η2為泵效率。

泵所需提供揚(yáng)程為：

式中，H1為管道所需揚(yáng)程，m；H為泵所需提供揚(yáng)程，m。

加熱爐能耗分析是指加熱原油所損耗的油量，熱力能耗主要是為了補(bǔ)充油品與環(huán)境大氣所進(jìn)行的散熱。加熱爐工作t h所消耗的油量計(jì)算公式如下：

式中，So為耗油量，kg；G為原油質(zhì)量流量，kg/s；Cp為原油比熱容，kJ/(kg ?°C)；TR為熱油出加熱爐的溫度，℃；Tz為熱油進(jìn)加熱爐的溫度，℃；E為燃料油低位發(fā)熱值，kJ/kg；η為加熱爐系統(tǒng)效率。

（2）能耗影響因素[13?14]

結(jié)合上述耗電量和耗油量的公式進(jìn)行分析，能耗的影響因素為油品基本物性、管道運(yùn)行工況以及泵或者加熱爐的設(shè)備參數(shù)。

①油品基本物性。輸送油品的密度、比熱等參數(shù)均屬于其基本物性參數(shù)，由于輸送過程中油溫對能耗影響相對較小，可取三分之一起點(diǎn)溫度加上三分之二終點(diǎn)溫度作為計(jì)算溫度來計(jì)算能耗。

②管道運(yùn)行參數(shù)。管道運(yùn)行參數(shù)包括原油流量、進(jìn)出站壓力等參數(shù)。通過式（21）和式（23）可看出，流量越大，耗電量和耗油量越大。此外油品輸量的變化也會(huì)對進(jìn)出站油溫有影響，主要是因?yàn)闇囟葘τ推佛ざ扔休^大影響，而黏度會(huì)對管道摩阻造成影響，因而造成耗電量和耗油量的不同。

③離心泵、加熱爐參數(shù)。離心泵以及加熱爐的參數(shù)對能耗有著直接的影響，比如泵效率、加熱效率、泵揚(yáng)程等參數(shù)，且泵效率或者加熱效率越高，其能耗越低。離心泵中主要的參數(shù)就是離心泵的性能曲線，因此離心泵的性能曲線一定要準(zhǔn)確，才能準(zhǔn)確計(jì)算出后期能耗或者對未來能耗進(jìn)行預(yù)測。

（3）實(shí)例分析

某工程由于沿線地溫較高，油品溫度均高于凝點(diǎn)，因此輸送過程中無需開加熱爐。通過上述分析可以看出，泵揚(yáng)程、泵效率以及電動(dòng)機(jī)的效率直接影響耗電量，且泵效率和電動(dòng)機(jī)效率越大，耗電量越小。因此通過正確的擬合公式進(jìn)行出廠特性曲線擬合并通過工程實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行校正可以得出較為準(zhǔn)確的耗電量，否則可能會(huì)多開泵，從而造成能源的浪費(fèi)。

以上述數(shù)據(jù)1為例說明泵出廠特性曲線擬合公式校正對于能耗的影響。流量為82 m3/h，原油密度為845 kg/m3。

選用多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行泵出廠曲線擬合：當(dāng)Q=82 m3/h時(shí)，根據(jù)上文的多項(xiàng)式擬合公式。H1=37 m，η1=72.8%，η2=85%。

當(dāng)Q=82 m3/h時(shí)，根據(jù)校正后的多項(xiàng)式擬合公式。H1=58.2 m，η1=73%，η2=85%。

假設(shè)一臺(tái)泵能提供60 m的揚(yáng)程，通過對校正前后所需揚(yáng)程進(jìn)行計(jì)算，沒有校正時(shí)計(jì)算揚(yáng)程為60 m，校正后為94 m。若采用沒有校正時(shí)開泵方案設(shè)計(jì)，很有可能只開一臺(tái)泵即可，但實(shí)際上一臺(tái)泵遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到要求。由此可以看出，對泵進(jìn)行出廠性能曲線校核是十分重要的。

8 結(jié) 論

（1）對離心泵進(jìn)行測試的結(jié)果表明，在摩擦區(qū)時(shí)，H-Q曲線的冪函數(shù)擬合，多項(xiàng)式擬合差均在5%以內(nèi)，但多項(xiàng)式的擬合誤差更小，結(jié)果與曲線數(shù)據(jù)更接近。

（2）多項(xiàng)式擬合的方法可以推廣到離心泵的流量-效率、流量-功率等曲線的擬合，經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，其擬合誤差均較小。

（3）雖然只進(jìn)行離心泵的數(shù)學(xué)模型擬合，但本方法同樣適用于容積泵的特性曲線擬合，經(jīng)過多次測試，擬合誤差均較小。

（4）由于離心泵在實(shí)際運(yùn)行中會(huì)與設(shè)備廠家提供的性能曲線有一定偏差，又因?yàn)楸玫倪\(yùn)行數(shù)據(jù)可能非常少且較密集，因此我們可以對出廠性能曲線上下左右移動(dòng)來進(jìn)行出廠性能曲線的校正。通過實(shí)例可以看出，對泵進(jìn)行出廠性能曲線校核是十分必要的。