(江南大學(xué) 輕工過程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 無錫 214122)

0 引言

由于環(huán)境的突變，子系統(tǒng)間跳變等隨機(jī)突變因素的影響，傳統(tǒng)切換系統(tǒng)很難描述上述隨機(jī)跳變模型，為了減弱上述隨機(jī)突變對系統(tǒng)的影響，可以用馬爾科夫跳變系統(tǒng)模型來精確表示此類存在突變的數(shù)學(xué)模型。馬爾科夫跳變系統(tǒng)具有廣泛的應(yīng)用背景，該系統(tǒng)有兩部分構(gòu)成, 一部分是用離散時間或連續(xù)時間動力學(xué)模型來描述的子系統(tǒng), 另一部分是馬爾科夫鏈, 子系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡沿著此鏈在各個時間區(qū)間內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)的跳變。在電力系統(tǒng)、通訊系統(tǒng)、制造業(yè)系統(tǒng)等[1]方面馬爾科夫跳變系統(tǒng)彰顯了強(qiáng)大的建模能力。近年來，馬爾科夫跳變系統(tǒng)已成為控制理論界熱門的研究方向之一，主要包括穩(wěn)定性與控制器設(shè)計(jì)[2-5],系統(tǒng)故障檢測與容錯控制[3,6]，濾波及狀態(tài)估計(jì)[3,7,8]。

跳躍過程中轉(zhuǎn)移概率很大程度上決定了系統(tǒng)的性能, 但是獲取精確的轉(zhuǎn)移概率是非常困難的，在考慮轉(zhuǎn)移概率部分未知的條件下，已有大量文獻(xiàn)對其進(jìn)行了研究[9-12]。文獻(xiàn)[10]針對轉(zhuǎn)移概率部分未知的馬爾科夫跳變系統(tǒng)魯棒控制問題[10]進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[11]研究了馬爾科夫跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[12]在轉(zhuǎn)移概率部分未知，執(zhí)行器和傳感器同時故障的條件下，通過對系統(tǒng)故障同時估計(jì)方法，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)觀測器和控制器。在很多實(shí)際工業(yè)系統(tǒng)中，由于信號在傳輸過程中存在時延和測量不靈敏等因素，時滯對于系統(tǒng)來說是不可避免存在的，也是導(dǎo)致控制系統(tǒng)不穩(wěn)定的因素之一。因此對于具有時滯，狀態(tài)轉(zhuǎn)移不確定的跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析具有重要意義并且也取得了很多成果[13-18]。

近幾年來，有限時間控制在工程實(shí)踐中的應(yīng)用越來越廣泛，而現(xiàn)有文獻(xiàn)主要研究無限時域內(nèi)的李雅普諾夫漸進(jìn)穩(wěn)定性問題，對于許多工業(yè)應(yīng)用系統(tǒng)，諸如飛行器的姿態(tài)控制、化學(xué)反應(yīng)的溫度控制、導(dǎo)彈跟蹤控制而言，我們更加關(guān)注的是動力系統(tǒng)在固定有限時間間隔上的行為即某段時間系統(tǒng)的特性，例如，當(dāng)系統(tǒng)的控制回路存在飽和元件或者控制飛行器在一個特定時間區(qū)域內(nèi)從一個點(diǎn)轉(zhuǎn)移到另一個點(diǎn)的軌跡問題時，都會遇到系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定問題。而有限時間穩(wěn)定性則可以很好的對此進(jìn)行衡量。近幾年對于有限時間穩(wěn)定性控制問題引起了廣泛關(guān)注[19-25]。

受以上分析啟發(fā)，本文討論了在轉(zhuǎn)移概率部分未知情況下的時滯馬爾可夫跳變系統(tǒng)基于觀測器的有限時間控制問題。主要目的是設(shè)計(jì)一種狀態(tài)觀測器和狀態(tài)反饋控制器，保證閉環(huán)系統(tǒng)隨機(jī)有限時間的穩(wěn)定性。主要分為以下三個部分來說明：1) 對于時滯馬爾科夫跳變系統(tǒng)進(jìn)行有限時間穩(wěn)定性分析，考慮狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣部分未知情況, 相較于基于精確狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的文獻(xiàn)更具實(shí)用性; 2)在進(jìn)行系統(tǒng)控制器和觀測器設(shè)計(jì)時，由于分析過程中所得的線性矩陣不等式具有非線性項(xiàng)，使用解耦技術(shù)來解決，得到一組可以求解的線性矩陣不等式；3)通過求解得到的觀測器增益和控制器增益矩陣，進(jìn)行SIMULINK仿真，驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 系統(tǒng)描述及準(zhǔn)備工作

考慮如下的時滯時序馬爾科夫跳變系統(tǒng)：

(1)

其中：x(t)∈Rn、u(t)∈Rm、y(t)∈Rρ、z(t)∈Rρ分別是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，控制輸入，測量輸出和被控輸出，τ是系統(tǒng)的時滯常數(shù)，f(t)∈Rt系統(tǒng)時變不確定的有界未知輸入信號，包括擾動、噪聲等，不失一般性。{rt,t≥0}是在有限集合R={1,2,...,N}中隨時間t取值一個馬爾科夫隨機(jī)過程，rt表示系統(tǒng)跳變模態(tài)，轉(zhuǎn)移概率矩陣定義為Γ={πij},i,j∈R，由t時刻的模態(tài)i轉(zhuǎn)移到t+Δt時刻的模態(tài)轉(zhuǎn)移概率為：

(2)

假設(shè)外部擾動滿足：

(3)

本文考慮轉(zhuǎn)移概率部分未知情況，如某個含4個子系統(tǒng)的馬爾科夫跳變系統(tǒng)可能具有如下轉(zhuǎn)移概率：

(4)

(5)

(6)

對于系統(tǒng)(1)選取如下的時滯狀態(tài)觀測器和反饋控制器：

(7)

(8)

其中：

本文的任務(wù)主要是在保證閉環(huán)系統(tǒng)在有限時間穩(wěn)定的情況下，設(shè)計(jì)系統(tǒng)(8)的H∞控制器和觀測器，使得系統(tǒng)滿足一定的性能指標(biāo)要求。同時，以LMI的形式給出H∞控制率的存在條件以及觀測器和控制器增益的求解方法。

在分析前給出以下定義和引理：

定義1 (有限時間穩(wěn)定性) 對于時滯跳變系統(tǒng)(1)，給定三個正常數(shù)σ,ε,T滿足0<σ<ε,,和一組正定矩陣R(rt)，若對于?t1∈[-τ,0]和?t2∈[0,T].如下式子成立：

xT(t1)R(rt)x(t1)≤c1?xT(t2)R(rt)x(t2)≤c2

(9)

則系統(tǒng)(1)是關(guān)于σ,ε,T,R(rt),d有限時間鎮(zhèn)定的。

定義2 (有限時間H∞穩(wěn)定性) 對于閉環(huán)系統(tǒng)(8)，給定三個正常數(shù)σ，ε，T滿足0<σ<ε,T>0和一組正定矩陣R(rt)，對于?t∈[0,T]，若存在一個正常數(shù)γ>0，若增廣系統(tǒng)滿足如下要求：

(1)當(dāng)外部擾動滿足(3)時，增廣跳變系統(tǒng)(8)有限時間鎮(zhèn)定。

(2)在零初始狀態(tài)下，跳變系統(tǒng)(8)控制輸出z(t)滿足：

(10)

則閉環(huán)系統(tǒng)(8)是關(guān)于σ,ε,T,R(rt),d,H∞有限時間有界的。

(1)A<0,D-CA-1B<0;

(2)D<0,A-BD-1C<0.

2 有限時間穩(wěn)定性分析

在這一小節(jié)中主要對系統(tǒng)進(jìn)行有限時間穩(wěn)定性分析，給出了閉環(huán)系統(tǒng)(8)有限時間穩(wěn)定的充分條件，并進(jìn)行證明。

(11)

(12)

(13)

(14)

其中:

證明 構(gòu)造如下的李雅普洛夫函數(shù):

(15)

(16)

(17)

(18)

對于?t∈[0T]，對上式(18)從0到T進(jìn)行積分，可以得到如下不等式成立：

(19)

從式子(19)，可以看出：

(20)

從而：

(21)

(22)

證明 在零初始條件下，對于增廣系統(tǒng)(8),選取李雅普諾夫函數(shù):

根據(jù)Schur定理，式子(22)可以等價于：

(23)

由于：

(24)

可以看出：

(25)

系統(tǒng)(8)是有限時間鎮(zhèn)定的。此外對于系統(tǒng)(8)，根據(jù)不等式(12) (13) (22)可以得到：

(26)

上式兩邊同時乘以e-αT，可以得到：

(27)

在零初始條件下，對上式積分可得：

(28)

由上式可得：

(29)

從定理1可知，對于上文選取的合適的李亞普洛夫函數(shù)，不等式(11)(12)(13)(14)保證了閉環(huán)系統(tǒng)(8)有限時間穩(wěn)定性。若在不考慮干擾的情況下，不等式(22)就退化成不等式(11)，進(jìn)一步說明，滿足定理2的控制器和觀測器不僅滿足一定的H∞性能指標(biāo)，也能保證系統(tǒng)有限時間的穩(wěn)定性。

由于定理2存在非線性乘積耦合項(xiàng),這就需要在前文假設(shè)的條件下,在進(jìn)行觀測器和控制器設(shè)計(jì)時，應(yīng)用引理,得到消去非線性項(xiàng)的線性矩陣不等式。

3 系統(tǒng)控制器和觀測器設(shè)計(jì)

上一小節(jié)給出了系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定的充分條件，但所提出的線性矩陣不等式存在非線性項(xiàng)，這一小節(jié)中對于耦合項(xiàng)進(jìn)行處理，進(jìn)行系統(tǒng)控制器和觀測器設(shè)計(jì)，得到一組可以求解控制器增益和觀測器增益的線性矩陣不等式。

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

0

(35)

(36)

其中：

W1i=-diag{Xk1i…Xkr-1i,Xkr + 1i…Xkmi}

系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器增益為Ki=YiXi-1。

(37)

其中:

θ11=AiTPi+PiAi+KiTBiTPi+PiBiKi+

θ12=-PiBiKi,θ13=PiAdi+PiBiKdi,θ14=-PiBiKdi,

θ22=AiTPi+PiAi-CyiTHiTPi-PiHiCyi

(38)

注意到，θ22和θ24是非線性的，存在乘積耦合項(xiàng)Pi和Hi都是需要待求的矩陣，這里定義系統(tǒng)觀測器增益矩陣Hi=Pi-1CyiT，則θ22和θ24等價于：

θ24=PiAdi-CyiTCydi

XiXj-1Xi-Li< 0j∈Luki,j≠i,(40)

(41)

上式(40)(41)分別等價于(32)(33)。

另一方面，定義：

(42)

從條件(34)和(35)，可以得到：

將上面條件帶入式子(42)，則可得不等式(36),證畢。

對于四模態(tài)的時滯馬爾科夫跳變系統(tǒng)(1)，其系統(tǒng)參數(shù)為:

模型1:

Cd1=[-0.1 0.1],D1=[0.5],Cyd1=[0.1 -0.2].

模型2:

Cd2=[0.3 0.2],D2=[0.2],Cy2=[0.2 -1],.

模型3:

Cd3=[0.3 0.5],D3=[0.3],Cy3=[0.2 -2],.

模型4:

Cd4=[1 2],D4=[0.4],Cy4=[0.2 -1],.

針對上述系統(tǒng)進(jìn)行有限時間穩(wěn)定性分析，控制器和觀測器設(shè)計(jì)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

選取系統(tǒng)參數(shù)c1=0.25；α=1.0；d=1；T=2；Ri=I；τ=0.5。

假設(shè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

其中： ?為系統(tǒng)轉(zhuǎn)移概率未知部分，運(yùn)用Matlab的LIM工具箱，求解線性矩陣不等式，可以得到系統(tǒng)狀態(tài)控制器增益和狀態(tài)觀測器增益如下：

K1=[-3.1629 -5.5160],K2=[-3.0890 -5.6813]

K3=[-1.1179 -2.7311],K4=[-3.3143 -4.0815]

Kd1=[-0.1133 0.1301],Kd2=[0.0108 -0.312]

Kd3=[-0.1167 0.1491],Kd4=[0.0491 -0.3328]

H1=[1.0551 1.0065]T,H2=[2.9854 -3.4310]T,

H3=[1.9238 1.4342]T,H4=[5.0045 -5.7889]T.

對于上述算出的控制器增益和觀測器增益，使用SIMULINK仿真，選取系統(tǒng)噪聲為方差0.01的白噪聲，仿真時間為2秒，延時為0.5秒，系統(tǒng)初始狀態(tài)值為[2 -9]T，則可以得到系統(tǒng)的模態(tài)轉(zhuǎn)化圖，和狀態(tài)響應(yīng)仿真圖。

圖1 仿真圖

從仿真圖形中可以看出，對于具有轉(zhuǎn)移概率部分未知的時滯跳變系統(tǒng)，所設(shè)計(jì)的控制器和觀測器仍然可以保證系統(tǒng)(1)有限時間H∞穩(wěn)定，證明了所設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器和觀測器是有效的。

5 結(jié)束語

本文研究了在一定性能指標(biāo)約束條件下，轉(zhuǎn)移概率部分未知時滯馬爾科夫跳變系統(tǒng)有限時間H∞控制問題，通過擴(kuò)展跳變系統(tǒng)狀態(tài)，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為具有跳變參數(shù)的廣義描述系統(tǒng)，針對此系統(tǒng)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，保證系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性。采用自由加權(quán)矩陣法, 處理轉(zhuǎn)移概率部分未知情況，保證所得線性矩陣不等式條件具有更小的保守性。最后，通過SIMULINK仿真驗(yàn)證了所提算法的有效性。值得注意的是，本文中考慮的是確定時滯對系統(tǒng)的影響，針對于時變時滯情況，這是后續(xù)需要研究的內(nèi)容。