王建彬，陳建平

（肇慶學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與軟件學(xué)院，肇慶526061）

0 引言

全向移動機(jī)器人運(yùn)動靈活，憑借著不改變位姿就可以向任意方向移動的獨(dú)特運(yùn)動優(yōu)勢，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于人類的生產(chǎn)、生活實(shí)踐中，與之相關(guān)的控制問題越來越受到人們的重視，軌跡跟蹤就是其中的一個(gè)重要研究內(nèi)容[1-2]。

目前關(guān)于全向機(jī)器人軌跡跟蹤控制方法研究主要集中在基于運(yùn)動學(xué)模型和動力學(xué)模型兩方面[3]。文獻(xiàn)[4]中針對一種四輪正交的全向機(jī)器人的軌跡跟蹤問題，基于動力學(xué)模型采用狀況反饋方法設(shè)計(jì)了機(jī)器人的非線性控制器。全向機(jī)器人輪系復(fù)雜，在運(yùn)動過程中極易受到各輪間摩擦不一致、被動輪不可控、堵轉(zhuǎn)等各種問題的干擾，為此考慮到四輪全向機(jī)器人系統(tǒng)的模型不確定性及干擾問題，文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了一種滑模軌跡跟蹤控制器，盡管滑?？刂品椒梢暂^好的處理模型不確定性及外部干擾，但是卻存在抖振問題。文獻(xiàn)[6]針對三輪全向移動機(jī)器人的模型不確定性，提出一種模糊PI 軌跡跟蹤控制器，利用模糊方法識別跟蹤位置和角度。相對于具有兩個(gè)輪子或者三個(gè)輪子的非完整移動機(jī)器人，四輪全向移動機(jī)器人擁有更加復(fù)雜的動力學(xué)模型，在實(shí)際應(yīng)用中很難獲得精確的動力學(xué)模型參數(shù)，而且模型結(jié)構(gòu)自身也具有很大的不確定性，同時(shí)由于外界干擾等因素的影響，均大大增加了動力學(xué)控制器的設(shè)計(jì)難度。為此在滿足一定控制精度或功能的前提下，一部分軌跡跟蹤問題的研究是基于運(yùn)動學(xué)模型的。文獻(xiàn)[7]針對一種全向移動機(jī)器人基于牛頓機(jī)械學(xué)建立了它的動力學(xué)模型，并依據(jù)該學(xué)模型設(shè)計(jì)了全局穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制器。文獻(xiàn)[8]基于反步方法設(shè)計(jì)了三輪全向移動機(jī)器人的非線性控制器，同時(shí)采用平方和（Sum of squares）技術(shù)對控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，提高了控制性能。文獻(xiàn)[9]在研究全方位輪式康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人的軌跡跟蹤問題時(shí)，將跟蹤控制與干擾抑制歸結(jié)為L2 設(shè)計(jì)問題，構(gòu)造了滿足干擾抑制的跟蹤控制器。盡管運(yùn)動學(xué)模型相對簡單，但當(dāng)跟蹤過程中存在初始偏差或者期望軌跡不連續(xù)時(shí)，傳統(tǒng)的控制法會產(chǎn)生速度突變問題，即要求機(jī)器人在瞬間具有較大甚至是趨于無窮的加速度或驅(qū)動力矩，這在實(shí)際系統(tǒng)中是不可能實(shí)現(xiàn)的。

因此，針對四輪全向移動機(jī)器人軌跡跟蹤控制中的速度突變問題，提出一種基于有界函數(shù)的軌跡跟蹤控制方法。首先建立機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)位姿誤差模型，接著設(shè)計(jì)一個(gè)合理的有界函數(shù)，最后將該函數(shù)引入到軌跡跟蹤控制器中以平滑控制信號，從而保證整個(gè)控制過程中控制量不超限。

1 問題描述

如圖1 所示的四輪全向移動機(jī)器人示意圖中，機(jī)器人的四個(gè)全向輪不是正交排布，而是前兩輪夾角120°，后兩輪為90°。其中XOY 為機(jī)器人的世界坐標(biāo)系，xoy 為機(jī)器人的本體坐標(biāo)系,θ為機(jī)器人的運(yùn)動方向，Wi表示機(jī)器人的四個(gè)輪子，Vi為各輪轉(zhuǎn)速，逆時(shí)針方向?yàn)檎?，l 為車體中心到輪子中心的距離，δi為各輪與X 軸的夾角。

圖1 機(jī)器人的運(yùn)動示意圖

設(shè)任一時(shí)刻,機(jī)器人質(zhì)心在世界坐標(biāo)系和本體坐標(biāo)中的位姿分別為[X,Y,Ψ]T和[x,y,φ]T，取機(jī)器人在本體坐標(biāo)系速度向量為[u,v,ω]T=[x˙,y˙,φ˙]T，則可得機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)方程為：

進(jìn)一步設(shè)[Xd,Yd,Ψd]T和[xd,yd,φd]T為兩個(gè)坐標(biāo)系中機(jī)器人的期望位姿，則有兩個(gè)坐標(biāo)系中的機(jī)器人位姿誤差為：

由圖1 以及式（1），考慮到位姿誤差有如下關(guān)系式成立：

由式（4）,當(dāng)機(jī)器人本體跟蹤誤差趨于零時(shí)，世界坐標(biāo)系中機(jī)器人的跟蹤誤差也趨于零。因此機(jī)器人的軌跡跟蹤問題轉(zhuǎn)化為：

設(shè)計(jì)合理的控制律，使系統(tǒng)在該控制律作用下對任意初始誤差均可使跟蹤誤差有界且

2 輸入有界的軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

2.1 傳統(tǒng)軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，考慮控制系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為，則對其兩端求導(dǎo)，并結(jié)合式（1）、式（4）得：

從而得到圖1 所示的四輪全向機(jī)器人的軌跡跟蹤控制律為：

其中k1、k2、k3為正常數(shù)。

2.2 有界函數(shù)設(shè)計(jì)

考慮如下函數(shù)：

其中A、B 為非負(fù)常數(shù)，e(t)為本體坐標(biāo)系下機(jī)器人的跟蹤誤差，sign(*)為符號函數(shù)，當(dāng)e(t)>0 時(shí)，sign(*)為正。

同理可得當(dāng)e(t)<0，E(t )的取值為-B。

由以上分析可得如下兩點(diǎn)結(jié)論：

結(jié)論1：無論跟蹤誤差e(t )取值如何，該模型的輸出E(t )被限制在[-B,B]范圍內(nèi)；

結(jié)論2：在初始時(shí)刻t=0，即使e(t )≠0，依然有函數(shù)式（7）的取值為E(0)=0，具有平滑的輸出。

2.3 輸入有界的軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

由以上分析可知，式（7）表示的有界函數(shù)可以保證輸出不超過參數(shù)限制，并且具有良好的平滑特性，因此可有效抑制因存在初始誤差導(dǎo)致的速度突變問題。用式（7）的輸出E(t )代替系統(tǒng)的跟蹤誤差e(t)，并代入式（6）可得四輪全向移動機(jī)器人新的軌跡跟蹤控制律：

3 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

對于依據(jù)控制律（9）所確定的四輪全向移動機(jī)器人的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，取跟蹤系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：

當(dāng)e(t)>0 時(shí)，對式（10）兩端求導(dǎo)并由式（7）、（9）整理得：

當(dāng)e(t)>0 時(shí)，由A 以及ki的定義可知，ki>0，Ax+ex>0，Ay+ey>0，Aφ+eφ>0，則有。系統(tǒng)的跟蹤誤差e(t )而言，總有成立，根據(jù)李雅

4 控制系統(tǒng)仿真及分析

為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)控制方法的性能，對如圖1 所示的四輪驅(qū)動全向移動機(jī)器人，在MATLAB 2013Ra 平臺上進(jìn)行軌跡跟蹤的數(shù)值仿真，采樣時(shí)間為0.01s，機(jī)器 人 速 度 約 束 滿 足 |u |≤3m/s ， |v |≤3m/s ，|ω |≤3 rad/s，從而控制器的參數(shù)取為k1=1，k2=1，k3=3，有界函數(shù)（7）的參數(shù)取為Ax=5，Ay=5，Aφ=6，Bx=3，By=3，Bφ=3。

4.1 直線軌跡的跟蹤結(jié)果及分析

首先，令機(jī)器人跟蹤連續(xù)的直線軌跡，該直線的軌跡方程為Yd=Xd，期望角度為φd=π/4，假設(shè)機(jī)器人實(shí)際的起始位姿為[1m,-1m,π/2 rad]T，則機(jī)器人的初始跟蹤誤差為[-1m,1m,-π/2 rad]T，具體的跟蹤結(jié)果如圖2所示。

圖2 直線軌跡的跟蹤結(jié)果

由圖2 可以看出，對于相對簡單的直線路徑，即使存在較大的初始誤差，機(jī)器人也能快速地跟蹤期望軌跡，跟蹤誤差快速收斂到零，在初始時(shí)刻，速度控制器的輸出也是零，跟蹤過程中機(jī)器人的線速度和角速度均沒有超過各自的約束。

4.2 圓軌跡的跟蹤結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證控制方法對復(fù)雜軌跡跟蹤的性能，令機(jī)器人對一圓形軌跡進(jìn)行軌跡跟蹤仿真，跟蹤軌跡的參數(shù)方程為Yd=cos φd，Xd=sin φd，φd=t，并且假設(shè)在初始時(shí)刻t=0 時(shí)，機(jī)器人的期望位姿為[1m,0m,0 rad]T，實(shí)際位姿為[2m,2.5m,π/2 rad]T，則初始跟蹤誤差為[-1m,-2.5m,-π/2 rad]T，其實(shí)際的軌跡跟蹤效果如圖3所示。

圖3 圓形軌跡的跟蹤結(jié)果

由圖3 可知，即使機(jī)器人所跟蹤的期望軌跡由直線變?yōu)闀r(shí)刻在發(fā)生著變化的圓形軌跡，本文所設(shè)計(jì)的全向機(jī)器人軌跡控制律仍能保證機(jī)器人快速地實(shí)現(xiàn)對期望軌跡的跟蹤，并且控制器的實(shí)際輸出線速度u 的最大值為u=2.98m/s，也在其最大速度限制umax=3m/s的范圍內(nèi)，而機(jī)器人的另一個(gè)輸出線速度v 和機(jī)器人的角速度ω 也沒有超過各自的限制。

綜合機(jī)器人對以上兩種不同軌跡的跟蹤結(jié)果可以得出，當(dāng)軌跡跟蹤過程中存在較大的跟蹤誤差時(shí)，控制器會產(chǎn)生一個(gè)較大的速度輸出以使機(jī)器人能夠快速地跟蹤期望軌跡，當(dāng)誤差隨時(shí)間減小之后，控制器的輸出速度逐漸穩(wěn)定；在初始時(shí)刻，即使存在初始誤差，控制器也能保證其輸出速度為零；對于不同的期望軌跡，該控制方法均能保證機(jī)器人能夠?qū)崿F(xiàn)對期望軌跡的跟蹤，具體的誤差收斂速度與軌跡跟蹤的初始誤差以及機(jī)器人的跟蹤速度等因素有關(guān)。

5 結(jié)語

本文研究了四輪驅(qū)動全向移動機(jī)器人的軌跡跟蹤控制問題，設(shè)計(jì)了一種可抑制速度突變的軌跡跟蹤控制律來進(jìn)行軌跡跟蹤控制。通過設(shè)計(jì)一個(gè)具有平滑輸出的有界函數(shù)來平滑控制信號，同時(shí)結(jié)合參數(shù)的具體取值以保證控制量不超限。最后使用MATLAB 平臺對不同的軌跡跟蹤任務(wù)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，一方面通過仿真跟蹤結(jié)果對比分析，驗(yàn)證了該方法的有效性，另一方面有助于讀者更好地理解該方法的基本思想和實(shí)現(xiàn)過程。