時(shí)博陽(yáng),邵毅敏,丁曉喜

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044 )

軸承波紋度指軸承隨機(jī)或周期性偏離理想球形的表面不平度，由磨削過(guò)程中的振動(dòng)引起[1]。軸承波紋度是造成軸承及轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生振動(dòng)、噪聲和疲勞破壞的主要因素之一[2]，為保證旋轉(zhuǎn)機(jī)械安全、平穩(wěn)地高速運(yùn)轉(zhuǎn)，有必要分析波紋度對(duì)軸承振動(dòng)特性的影響。

國(guó)內(nèi)外對(duì)軸承波紋度對(duì)軸承振動(dòng)特性的影響做了大量研究，文獻(xiàn)[3]分析了球軸承內(nèi)、外圈及滾子的波紋度對(duì)軸承振動(dòng)的影響；文獻(xiàn)[4]提出了一種基于內(nèi)、外圈波紋度的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的振動(dòng)特性的數(shù)學(xué)模型；文獻(xiàn)[5]提出并驗(yàn)證了包含軸承外圈波紋度的線性振動(dòng)模型；文獻(xiàn)[6]從理論上分析了外圈波紋度對(duì)軸承振動(dòng)譜的影響，分析了軸承各零件的頻率以及諧頻和波紋度波數(shù)之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[7]建立了包含內(nèi)、外圈和球波紋度的球軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了各零件波紋度對(duì)軸承系統(tǒng)振動(dòng)的影響[7]；文獻(xiàn)[8]考慮了軸承內(nèi)外圈波紋度、徑向游隙和非Hertz接觸力等因素，分析了軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，分析了不同故障類(lèi)型的特征頻率；文獻(xiàn)[9]利用Lagrange方程建立了包含表面特征的軸承振動(dòng)模型，仿真分析了波紋度階數(shù)與軸承振動(dòng)頻率的關(guān)系。

上述研究大多采用正弦函數(shù)來(lái)模擬實(shí)際波紋度，很少采用實(shí)測(cè)波紋度來(lái)預(yù)測(cè)軸承振動(dòng)特征。鑒于此，以NU307E型圓柱滾子軸承為例，建立軸承波紋度的動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)對(duì)軸承內(nèi)、外圈和滾子的實(shí)測(cè)波紋度數(shù)據(jù)進(jìn)行插值重采樣，獲得波紋度離散序列，并將其耦合到振動(dòng)模型，建立軸承實(shí)測(cè)波紋度動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行仿真，從而得到軸承的振動(dòng)特性。

1 軸承實(shí)測(cè)波紋度的動(dòng)力學(xué)建模與振動(dòng)分析方法

實(shí)測(cè)波紋度的軸承動(dòng)力學(xué)建模與振動(dòng)分析流程如圖1所示，主要包括軸承波紋度動(dòng)力學(xué)建模、實(shí)測(cè)波紋度的提取及實(shí)測(cè)波紋度與動(dòng)力學(xué)模型的耦合特征求解。

圖1 基于實(shí)測(cè)波紋度的軸承動(dòng)力學(xué)建模與振動(dòng)特性分析流程Fig.1 Dynamics modeling and vibration characteristics analysis process based on measured waviness of bearing

通過(guò)波紋度檢測(cè)及等角度間隔抽樣獲得內(nèi)、外圈和滾子的原始波紋度序列，確定滿(mǎn)足所需采樣頻率的采樣時(shí)間序列，以對(duì)應(yīng)該采樣時(shí)間序列的角度序列對(duì)原始波紋度序列進(jìn)行插值重采樣處理，獲得升采樣波紋度序列。采用集中參數(shù)法，以?xún)?nèi)、外圈和滾子的波紋度為位移激勵(lì)，建立包含內(nèi)、外圈和滾子波紋度的軸承動(dòng)力學(xué)模型,并利用Lagrange方程得到波紋度軸承的二自由度振動(dòng)方程，耦合插值重采樣得到的軸承升采樣波紋度序列，采用4階Runge-Kutta求解振動(dòng)方程得到軸承的振動(dòng)特征。

1.1 軸承波紋度動(dòng)力學(xué)模型

軸承波紋度振動(dòng)分析模型如圖2所示，測(cè)試軸承安裝在測(cè)振儀的芯軸上，芯軸與內(nèi)圈采用過(guò)盈配合，內(nèi)圈與芯軸可視為剛性固結(jié)，以相同轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，軸承外圈由軸承座支承。以初始時(shí)刻內(nèi)、外圈中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立定坐標(biāo)系Oxy,Oe為外圈中心，坐標(biāo)為 (xe,ye)， 建立隨外圈轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系Oex1y1。Oi為內(nèi)圈中心，坐標(biāo)為(xi,yi)，建立隨內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系Oix2y2。Ok(k=1,2,3,…,Z;Z為滾子數(shù)量)為第k個(gè)滾子中心，坐標(biāo)為(xk,yk)，建立隨第k個(gè)滾子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系Okxkyk。Gk為第k個(gè)滾子與內(nèi)圈接觸點(diǎn)，Hk為第k個(gè)滾子與外圈接觸點(diǎn)。設(shè)第k個(gè)滾子的位置角,即OOk與y軸的夾角為θk；OiGk與y2軸的夾角為αk，OeHk與y1軸的夾角為βk，OkHk與y3軸的夾角為Ψk，OkGk與y3軸的夾角為φk。各位置角為

圖2 軸承波紋度振動(dòng)分析模型Fig.2 Vibration analysis model for waviness of bearing

(1)

(2)

(3)

Ψk=2πnrt，

(4)

φk=2πnrt+π，

(5)

式中：ni為內(nèi)圈轉(zhuǎn)速；nc為保持架轉(zhuǎn)速；nr為滾子自轉(zhuǎn)速度；t為時(shí)間。

在軸承運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，由于波紋度影響，軸承內(nèi)圈中心坐標(biāo)可通過(guò)外圈的中心坐標(biāo)表示[7]，即

，(6)

式中：we(βk)為Hk點(diǎn)在外圈上波紋度；wi(αk)為Gk點(diǎn)在內(nèi)圈上的波紋度；wr(Ψk)為Hk點(diǎn)在第k個(gè)滾子上的波紋度；wr(φk)為Gk在第k個(gè)滾子上的波紋度。

me為外圈質(zhì)量，mi為內(nèi)圈質(zhì)量，忽略滾子質(zhì)量，內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為常數(shù)，由Lagrange方程可得

(7)

式中：F為外圈受到的激勵(lì)力；Fx，F(xiàn)y為F在x，y軸上的分量。

F與內(nèi)圈受力Fi互為作用力與反作用力,Fix，F(xiàn)iy為Fi在x，y軸上的分量，其值可由牛頓第二定律計(jì)算，即

(8)

由(1)～(8)式可得軸承外圈的振動(dòng)響應(yīng)方程為[7]

(9)

1.2 軸承實(shí)測(cè)波紋度提取

圓柱滾子軸承波紋度測(cè)量參照GB/T 32324—2015《滾動(dòng)軸承 圓度和波紋度誤差測(cè)量及評(píng)定方法》，儀器測(cè)量方式為工作臺(tái)旋轉(zhuǎn)式，濾波器類(lèi)型為高斯濾波器，濾波范圍為每轉(zhuǎn)1～50波數(shù)，其測(cè)量結(jié)果輸出為圖形記錄式。通過(guò)該波紋度檢測(cè)方法完成對(duì)軸承內(nèi)圈、外圈、滾子3個(gè)零件實(shí)際波紋度分布的測(cè)量，獲取其對(duì)應(yīng)的記錄圖形，如圖3所示。以角度序列θ′對(duì)波紋度圖形等間隔抽樣，在輪廓上均勻抽樣90點(diǎn)，每點(diǎn)之間間隔角度為4°，得到原始波紋度序列為

圖3 軸承各零件實(shí)測(cè)波紋度圖形Fig.3 Measured waviness diagram of each part of bearing

(10)

式中：Ai為內(nèi)圈原始波紋度序列；Ae為外圈原始波紋度序列；Ar為滾子原始波紋度序列。

根據(jù)采樣頻率獲得時(shí)間序列t，即

(11)

將(11)式代入 (2)～(5)式可得插值重采樣角度序列αk，βk，Ψk和φk。采用分段三次Hermite插值多項(xiàng)式法,以角度序列αk，βk，Ψk和φk對(duì)原始波紋度序列Ai，Ae，Ar插值重采樣獲取軸承升采樣波紋度序列wi，we和wr，即

(12)

wi，we和wr的角域曲線如圖4所示，可為后續(xù)的耦合模型提供輸入條件。

圖4 軸承各零件升采樣波紋度角域曲線Fig.4 Angle domain curve of ascending sampling waviness of each part of bearing

1.3 實(shí)測(cè)波紋度與動(dòng)力學(xué)模型的耦合求解

預(yù)處理實(shí)測(cè)波紋度函數(shù)序列wi，we和wr,代入軸承振動(dòng)響應(yīng)方程(9)式，則可實(shí)現(xiàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)同模型方程的聯(lián)立耦合，采用4階Runge-Kutta解耦合方程即可得到軸承的振動(dòng)響應(yīng)。

2 軸承波紋度動(dòng)力學(xué)仿真試驗(yàn)

以NU307E型圓柱滾子軸承為例分析，仿真參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 主要仿真參數(shù)Tab.1 Main simulation parameters

軸轉(zhuǎn)速n分別取900，1 800，2 700 r/min。設(shè)軸承外圈固定，內(nèi)圈和軸固結(jié)，外圈轉(zhuǎn)速ne=0，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速ni=n。忽略滾子與滾道之間的滑動(dòng)，保持架轉(zhuǎn)速nc和滾子自轉(zhuǎn)速度nr可表示為[10]

(13)

(14)

根據(jù)建立的波紋度軸承動(dòng)力學(xué)模型，耦合軸承內(nèi)、外圈和滾子的實(shí)測(cè)升采樣，在不同軸轉(zhuǎn)速下，采用4階Runge-Kutta法求解即可得到軸承外圈的振動(dòng)加速度時(shí)域信號(hào)，做出振動(dòng)加速度的時(shí)域圖，計(jì)算時(shí)域信號(hào)的均方根(RMS)值，并對(duì)時(shí)域信號(hào)做快速Fourier變換，得到軸承振動(dòng)加速度頻譜。

不同軸轉(zhuǎn)速下x軸方向上振動(dòng)加速度時(shí)域圖和頻域圖分別如圖5和圖6所示。計(jì)算不同軸轉(zhuǎn)速下軸承x軸方向上的振動(dòng)加速度RMS值，并做出軸轉(zhuǎn)速和RMS值的關(guān)系圖，如圖7所示。從圖中可以看出：x軸方向上軸承振動(dòng)加速度的RMS值隨軸轉(zhuǎn)速的增大而增大。

圖5 不同軸轉(zhuǎn)速下x方向軸承振動(dòng)加速度時(shí)域圖Fig.5 Time domain spectrum of bearing vibration acceleration in x direction under different shaft speeds

圖6 不同軸轉(zhuǎn)速下x方向軸承振動(dòng)加速度頻域圖Fig.6 Frequency domain spectrum of bearing vibration acceleration in x direction under different shaft speeds

圖7 x軸方向上軸承振動(dòng)加速度的RMS值隨軸轉(zhuǎn)速的變化趨勢(shì)Fig.7 Variation of RMS value of bearing vibration acceleration in x direction with shaft speed

在不同軸轉(zhuǎn)速下y軸方向上軸承振動(dòng)加速度時(shí)域圖和頻域圖分別如圖8和圖9所示。計(jì)算不同軸轉(zhuǎn)速下y軸方向上軸承振動(dòng)加速度RMS值，并做出轉(zhuǎn)速和RMS值的關(guān)系圖，如圖10所示。從圖中可以看出：y方向上軸承振動(dòng)加速度的RMS值隨軸轉(zhuǎn)速增大而增大。

圖8 不同軸轉(zhuǎn)速下y方向軸承振動(dòng)加速度的時(shí)域圖Fig.8 Time domain spectrum of bearing vibration acceleration in y direction under different shaft speeds

圖9 不同軸轉(zhuǎn)速下y方向軸承振動(dòng)加速度的頻域圖Fig.9 Frequency domain spectrum of bearing vibration acceleration in y direction under different shaft speeds

圖10 y軸方向上軸承振動(dòng)加速度的RMS值隨軸轉(zhuǎn)速的變化趨勢(shì)Fig.10 Variation trend of RMS value of bearing vibration acceleration in y direction with shaft speed

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證模型的正確性與有效性，搭建了試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，其中軸承振動(dòng)加速度測(cè)試試驗(yàn)臺(tái)及測(cè)點(diǎn)布置示意圖如圖11所示。試驗(yàn)臺(tái)加載方式為氣動(dòng)加載，通過(guò)加載塊1和加載塊2對(duì)軸承施加相同的力F1，合力在x軸方向上相互抵消，可等效為在軸承y軸負(fù)方向上施加徑向力F，即

圖11 測(cè)點(diǎn)布置圖Fig.11 Layout diagram of measuring point

(15)

兩測(cè)點(diǎn)分別布置在軸承的x，y方向，以測(cè)試軸承運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中x，y方向的振動(dòng)，使用LMS測(cè)試儀采集軸承的振動(dòng)信息，并使用筆記本電腦記錄和分析數(shù)據(jù)。其中采用的軸承以及試驗(yàn)參數(shù)設(shè)置均與仿真計(jì)算條件相同，參照GB/T 32333—2015《滾動(dòng)軸承 振動(dòng)(加速度)測(cè)量方法及技術(shù)條件》要求:外圈固定，內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)，軸轉(zhuǎn)速為1 800 r/min。

試驗(yàn)結(jié)果經(jīng)處理后，x，y軸方向上的振動(dòng)加速度包絡(luò)解調(diào)譜如圖12所示。仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表2。由表2可知：仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果誤差小于5%，在誤差允許的范圍之內(nèi)，驗(yàn)證了提出的基于實(shí)測(cè)波紋度的動(dòng)力學(xué)耦合模型的正確性。

圖12 轉(zhuǎn)速1 800 r/min時(shí)軸承振動(dòng)加速度包絡(luò)解調(diào)譜Fig.12 Envelope demodulation spectrum of bearing vibration acceleration under speed of 1 800 r/min

表2 仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison between simulation results and test results Hz

4 結(jié)束語(yǔ)

建立了內(nèi)、外圈和滾子實(shí)測(cè)波紋度的軸承動(dòng)力學(xué)模型，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了該模型的正確性。軸承實(shí)測(cè)波紋度動(dòng)力學(xué)模型較虛擬波紋度模型更加接近實(shí)際，可為軸承波紋度的振動(dòng)特征預(yù)測(cè)提供一種新的方法。