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        證明二元函數(shù)極限不存在的方法與技巧

        2019-07-22 01:39:34楊萬娟楊子艷木紹良
        山東工業(yè)技術(shù) 2019年19期

        楊萬娟 楊子艷 木紹良

        摘 要:本文主要解決在證明二元函數(shù)極限不存在的問題時(shí)選擇特殊路徑的方法和技巧。

        關(guān)鍵詞:二元函數(shù)極限;無窮小量;無窮小量的階;特殊路徑

        DOI:10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.19.196

        1 二元函數(shù)極限概念分析

        二元函數(shù)的極限存在,是指點(diǎn)沿任意路徑無限接近某一點(diǎn)時(shí),函數(shù)總是無限接近某一固定的數(shù)。此時(shí)稱為二元函數(shù)在時(shí)的極限,記作。

        定理(1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,則;(2)設(shè)函數(shù)在有定義,且,則。

        由定理可知,在求二元函數(shù)極限時(shí),通過選擇特殊的路徑可轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限問題,所以,當(dāng)沿著不同的路徑趨于時(shí)(即當(dāng)時(shí),沿著不同的趨近于)函數(shù)趨于不同的值,那么就可以斷定此函數(shù)的極限不存在。但是找到特殊路徑對學(xué)生來說不是一件容易的事,因此很有必要探究該問題。本文對常見的兩種類型作了討論,其思路為:考慮分母中的最高次冪與分子中的最低次冪保持一致,通過化解可知極限是否與有關(guān),若與有關(guān),則可知極限不存在。

        2 證明二元函數(shù)極限不存在時(shí)找特殊路徑的方法

        2.1 類型一:證明極限不存在時(shí)找特殊路徑的方法

        2.2 類型二:證明極限不存在時(shí)找特殊路徑的方法

        參考文獻(xiàn):

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        [2]薛秋.二元函數(shù)極限求解的部分討論[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2017(19):8.

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        [4]彭乃馳.微積分[M].中國人民大學(xué)出版社,2016(02):127+147.

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