孔祥冰

（上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院（集團(tuán)）有限公司，上海市 200092）

0 引言

近幾年，國內(nèi)外地震頻發(fā)。擋土墻作為一種經(jīng)濟(jì)的支護(hù)結(jié)構(gòu)，在交通工程中應(yīng)用普遍，所以擋土墻的抗震設(shè)計(jì)變得越來越重要。評(píng)價(jià)地震條件下土壓力的變化作為擋土墻抗震設(shè)計(jì)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，有著很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。對于地震條件下的擋土墻土壓力，國內(nèi)外很多學(xué)者都進(jìn)行了大量的研究。Okabe[1]和Mononobe等[2]首先進(jìn)行了開創(chuàng)性的工作，他們提出的擬靜力學(xué)方法是在庫倫理論的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，認(rèn)為在地震作用下，整個(gè)破壞土楔作為剛體具有相同的加速度，并采用最大加速度值，將地震作用簡化為一個(gè)慣性力系附加在滑動(dòng)土體上，進(jìn)而計(jì)算其土壓力，這就是著名的Mononobe-Ok ab e理論。之后，Sherif等[3]，Richard 等[4]和Choudhury等[5]在Mononobe-Ok ab e理論的基礎(chǔ)上有所改進(jìn)，進(jìn)而確定了地震條件下主動(dòng)土壓力的大小和分布。另外，Morrison 等[6]，Soubra[7]，Choudhury等[8]也都在擬靜力學(xué)方法的基礎(chǔ)上，研究了地震條件下?lián)跬翂Ρ粍?dòng)土壓力的大小和分布。Kumar[9]則采用對數(shù)螺旋線與直線組成的復(fù)合滑動(dòng)面，對地震被動(dòng)土壓力進(jìn)行了研究。國內(nèi)朱桐浩[10]，王貽蓀等[11]分別推導(dǎo)了復(fù)雜條件下地震總土壓力的一般解。劉忠玉等[12]，王立強(qiáng)等[13]以及楊劍等[14]分別利用水平層分析法，對地震土壓力進(jìn)行了研究。

上述學(xué)者均是采用擬靜力學(xué)方法來分析擋土墻的地震土壓力，沒有考慮時(shí)間和相位的影響以及地震加速度的放大效應(yīng)，不能很好地反映土的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)；而且假定土體為剛性，則剪切模量和剪切波速為無窮大，這與實(shí)際情況不符。為了克服這些缺點(diǎn)，Steedman等[15]采用擬動(dòng)力學(xué)方法，對無黏性土的主動(dòng)土壓力進(jìn)行了研究。該方法假定地震加速度隨著深度和時(shí)間呈正弦變化，并假定剪切模量在滑動(dòng)面范圍內(nèi)為有限的定值。Choudh ury等[16]在擬動(dòng)力學(xué)分析方法的基礎(chǔ)上，考慮豎向加速度系數(shù)，對無黏性土的被動(dòng)土壓力進(jìn)行了研究，但在他們的研究中，并沒有考慮加速度放大系數(shù)對被動(dòng)土壓力分布的影響，也沒有對被動(dòng)土壓力的合力作用點(diǎn)做相應(yīng)的分析。

本文沿用擬動(dòng)力學(xué)分析方法，考慮加速度的放大效應(yīng)，得到了隨時(shí)間和相位變化的地震被動(dòng)土壓力系數(shù)、土壓力合力、土壓力分布強(qiáng)度和合力作用點(diǎn)的理論公式，重點(diǎn)分析了加速度的放大系數(shù)以及地震卓越周期對于最不利工況下滑動(dòng)面傾角、被動(dòng)土壓力系數(shù)和土壓力分布的影響。

1 計(jì)算模型的建立

在擬動(dòng)力學(xué)方法的基礎(chǔ)上，本文采用如下基本假定：

（1）土的剪切模量G沿墻高不變。

（2）地震加速度隨時(shí)間和深度的變化而變化，水平地震加速度主要與地震剪切波有關(guān)，而豎向地震加速度主要與地震縱波有關(guān)。

（3）滑動(dòng)面內(nèi)土體為均質(zhì)各向同性的無黏性土，滑動(dòng)面為平面。

擋土墻地震土壓力計(jì)算模型如圖1所示。

圖1 擋土墻地震土壓力計(jì)算模型

1.1 地震被動(dòng)土壓力系數(shù)

土體剪切波速Vs和縱波波速VP由下式得到：

式中： ρ為墻后填土密度；v為泊松比。

地震加速度為矢量，將其分為水平和豎向2個(gè)分量來考慮。當(dāng)?shù)卣鸺羟胁ê涂v波接近地面時(shí)，無黏性土中的振動(dòng)會(huì)被放大。本文假定從擋土墻底部基礎(chǔ)到地面，振動(dòng)加速度的幅值呈線性放大，則存在：

式中：kh為水平加速度系數(shù)；kv為豎向加速度系數(shù)；fa為土體放大系數(shù)；H為擋土墻高度。

假定在地震時(shí)擋土墻下部土體振動(dòng)形式為正弦式穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，ω定義為擋土墻下部土體振動(dòng)角頻率，T為周期，ω=2π/T，則在深度z和時(shí)間t下的地震水平加速度和豎向加速度可表示為：

式中：g為重力加速度。

土楔重力W為：

式中：θ為滑動(dòng)面傾角；γ 為土體重度，γ=ρg。

在深度z處取一薄層單元，厚度為dz，其質(zhì)量為：

則作用在滑動(dòng)土體內(nèi)部的水平地震慣性力Qh（t）可以通過下式積分得到：

將式（5）和式（8）代入式（9），積分得到：

式中：λ=TVs，為水平傳播的剪切波波長；ζ=t-H/Vs。

同理，可以得到豎向地震慣性力Qv（t）的表達(dá)式：

式中：η=TVp，為垂直傳播的縱波波長；ψ=t-H/Vp。

若假定土體為剛性，即G→∞，且不考慮加速度的放大作用，即fa=1，則剪切波速和縱波波速均趨于無窮大，此時(shí)存在：

這與著名的Mononobe-Okabe方法中假定的作用于滑動(dòng)土體的慣性力相同。可以看出，擬靜力學(xué)方法是擬動(dòng)力學(xué)方法的特例。

如圖1中所示，考慮滑動(dòng)面內(nèi)三角形土體水平方向力的平衡，可得到：

式中：δ為墻面摩擦角；φ為填土內(nèi)摩擦角；Ppe為擋土墻反力；F為不動(dòng)土體作用在滑動(dòng)面處的反力。

考慮豎直方向力的平衡，得到：

聯(lián)合求解式（14）和式（15），解得：

地震被動(dòng)土壓力系數(shù)可定義為：

將式（7）、式（10）、式（11）和式（16）代入式（17），可得地震條件下無黏性土的被動(dòng)土壓力系數(shù)公式：

其中：

從式（18）中可以看出，地震被動(dòng)土壓力系數(shù)Kpe是無量綱參數(shù)H/λ，H/η，t/T和滑動(dòng)面傾角 θ的函數(shù)。對于實(shí)際工程，一般H、Vs、Vp可以通過實(shí)際測量而得到，而周期可以取地震信號(hào)中的卓越周期。則Kpe實(shí)際上是θ和無量綱參數(shù)t/T的函數(shù)。對應(yīng)地震的某一時(shí)刻t和某一個(gè)卓越周期T，均存在一個(gè)滑動(dòng)面傾角值和一個(gè)被動(dòng)土壓力系數(shù)，其中被動(dòng)土壓力系數(shù)的最小值即為地震時(shí)對應(yīng)該卓越周期T的最不利工況下無黏性土的被動(dòng)土壓力系數(shù)，對應(yīng)的θ值即為最危險(xiǎn)滑動(dòng)面的傾角。被動(dòng)土壓力系數(shù)的最小值可以通過對θ和無量綱參數(shù)t/T的優(yōu)化求解而得到。

1.2 地震被動(dòng)土壓力分布

總的地震被動(dòng)土壓力可以定義為：

式中：Pps為靜力狀態(tài)下由于土體重力引起的作用在墻身的壓力；Pphd是因水平地震慣性力的存在而減少的動(dòng)土壓力；Ppvd是因豎向地震慣性力的存在而減少的動(dòng)土壓力。

所以，地震狀態(tài)下，無黏性土的被動(dòng)土壓力可以看做是由于土體自重引起的側(cè)土壓力，在克服水平和豎向地震慣性力后得到的。

將式（18）代入式（17），并將H全部替換為z，則可以通過對式（17）中的總土壓力求導(dǎo)而得到地震被動(dòng)土壓力分布強(qiáng)度，如式（20）所示：

式（20）即為地震條件下無黏性土被動(dòng)土壓力分布公式。

地震被動(dòng)土壓力的合力作用點(diǎn)可以通過下式得到：

式（21）可以通過數(shù)值解法求解。

2 結(jié)果與分析

運(yùn)用上述計(jì)算方法，對于地震狀態(tài)下?lián)跬翂箴ば酝恋淖钗ｋU(xiǎn)滑動(dòng)面傾角、動(dòng)土壓力系數(shù)、動(dòng)土壓力分布、合力作用點(diǎn)進(jìn)行求解，同時(shí)分析內(nèi)摩擦角、墻土摩擦角、水平及豎向地震加速度系數(shù)、土體放大系數(shù)和墻面傾角等對以上各求解量的影響。為便于分析，以下算例所選取的部分計(jì)算參數(shù)均為 γ=18 kN/m3，H=10m，H/λ=0.3，H/η=0.16。

2.1 最危險(xiǎn)滑動(dòng)面傾角

處于被動(dòng)極限狀態(tài)時(shí)，最危險(xiǎn)滑動(dòng)面對應(yīng)的被動(dòng)土壓力合力是最小的。利用式（18），要得到地震被動(dòng)土壓力系數(shù)Kpe，需要對時(shí)間比值t/T和滑動(dòng)面傾角θ進(jìn)行優(yōu)化求解，則可得到對應(yīng)某一個(gè)卓越周期T的最危險(xiǎn)滑動(dòng)面傾角值。

圖2 為對應(yīng)不同的放大系數(shù)fa時(shí)最危險(xiǎn)滑動(dòng)面傾角隨內(nèi)摩擦角的變化規(guī)律。其中，所選取的計(jì)算參數(shù)為H/λ=0.3，H/η=0.16，kh=0.3，kv=0.15，δ=φ/2。從圖2中可看出，隨著φ值的增大，最危險(xiǎn)滑動(dòng)面傾角θ先增后減，大致在φ取25°～30°時(shí)取得最大值。當(dāng)φ值一定時(shí)，隨著放大系數(shù)fa的增大，θ值逐漸減小，并且φ值越大，fa對最危險(xiǎn)滑動(dòng)面傾角的影響越小，當(dāng)φ=45°時(shí)，θ值基本不隨fa變化。

圖3 為對應(yīng)不同的卓越周期T時(shí)最危險(xiǎn)滑動(dòng)面傾角隨水平地震加速度系數(shù)的變化規(guī)律。其中，選取的計(jì)算參數(shù)為kv=kh/2，φ=30°，δ=φ/2，H=10m，Vs=109m/s，Vp=200m/s，fa=1.3。由圖 3 中可看出，隨著水平地震加速度系數(shù)的增大，最危險(xiǎn)滑動(dòng)面傾角呈減小的趨勢，并且kh越大，減小越明顯。當(dāng)kh為定值時(shí)，θ值隨著卓越周期T的增大而減小，并且T越大，減小幅度越小。

圖2 最危險(xiǎn)滑動(dòng)面傾角隨φ值變化

圖3 最危險(xiǎn)滑動(dòng)面傾角隨 k h值變化

2.2 被動(dòng)土壓力系數(shù)

利用式（18），對于不同的t/T和滑動(dòng)面傾角θ，分別有相應(yīng)的Kpe值，選取其中最小值，即為對應(yīng)卓越周期T時(shí)最不利工況下的地震被動(dòng)土壓力系數(shù)。

圖4 地震被動(dòng)土壓力系數(shù)隨φ值變化

圖4 為對應(yīng)不同的放大系數(shù)fa時(shí)地震被動(dòng)土壓力系數(shù)隨內(nèi)摩擦角的變化規(guī)律。選取的計(jì)算參數(shù)為H/λ=0.3，H/η=0.16，kh=0.3，kv=0.15，δ=φ/2。由圖4中可看出，隨著φ值的增大，Kpe逐漸增大，并且φ值越大，Kpe增大的趨勢越大。相反，隨著fa的增大，Kpe的增速有減小的趨勢，但是并不明顯；由此可看出，放大系數(shù)對地震被動(dòng)土壓力系數(shù)的影響較小。

圖5 為對應(yīng)不同的卓越周期T時(shí)地震被動(dòng)土壓力系數(shù)隨水平地震加速度系數(shù)的變化規(guī)律。其中，選取的計(jì)算參數(shù)為kv=kh/2，φ=30°，δ=φ/2，H=10m，Vs=109m/s，Vp=200m/s，fa=1.3。由圖 5 中可看出，隨著kh的增大，kpe逐漸減小，并且kh越大，其減小趨勢越大。另外，當(dāng)kh為定值時(shí)，Kpe隨著T的增大而減小，并且kh越大，其減小幅度越大。

圖5 地震被動(dòng)土壓力系數(shù)隨k h值變化

2.3 被動(dòng)土壓力分布

根據(jù)式（20），可以得到任意時(shí)刻的地震土壓力分布，對應(yīng)最危險(xiǎn)滑動(dòng)面的即為被動(dòng)土壓力分布。

圖6 為取不同的放大系數(shù)fa時(shí)地震被動(dòng)土壓力的分布情況。選取的計(jì)算參數(shù)為H/λ=0.3，H/η=0.16，kh=0.3，kv=0.15，δ=φ/2。其中，墻高和被動(dòng)土壓力均被無量綱化。由圖6中可看出，土壓力呈非線性分布。隨著放大系數(shù)fa的增大，土壓力分布呈減小的趨勢，并且深度越大，減小的趨勢越明顯。

圖6 地震被動(dòng)土壓力分布隨f a值變化

圖7 為取不同的卓越周期T時(shí)地震被動(dòng)土壓力的分布情況。選取的計(jì)算參數(shù)為kv=kh/2，φ=30°，δ=φ/2，H=10 m，Vs=109 m/s，Vp=200 m/s，fa=1.3。其中，墻高和被動(dòng)土壓力均被無量綱化。從圖7中可以發(fā)現(xiàn)，T=0.2 s時(shí)，土壓力呈明顯的“S”型分布，之后隨著T的增大，土壓力分布逐漸減小，并且T越大，減小的趨勢越小；曲線形狀也逐漸趨于平緩?？梢钥闯?，卓越周期T對土壓力分布的影響較小。

圖7 地震被動(dòng)土壓力分布隨T值變化

2.4 與擬靜力學(xué)方法計(jì)算結(jié)果對比

用擬動(dòng)力學(xué)方法分析地震被動(dòng)土壓力的研究還很少。本文用擬動(dòng)力學(xué)方法計(jì)算被動(dòng)土壓力系數(shù)值，并與 D a v i e s等（1986）基于 Mononobe-Ok ab e理論，運(yùn)用擬靜力學(xué)方法計(jì)算出的被動(dòng)土壓力系數(shù)值進(jìn)行對比，結(jié)果見圖8。選取的計(jì)算參數(shù)為kv=kh/2，δ=φ/2，H=10 m，Vs=109 m/s，Vp=200 m/s，fa=1.0。從圖8中可以看出，運(yùn)用擬動(dòng)力學(xué)方法得出的最小地震被動(dòng)土壓力系數(shù)值更安全。

圖8 地震被動(dòng)土壓力系數(shù)隨T值變化

3 結(jié)語

（1）本文考慮地震加速度的放大效應(yīng)，運(yùn)用擬動(dòng)力學(xué)的方法，得到隨時(shí)間和深度變化的地震加速度，進(jìn)而推導(dǎo)了地震被動(dòng)土壓力系數(shù)、土壓力分布強(qiáng)度和土壓力合力作用點(diǎn)的理論公式，得知擬靜力學(xué)方法是擬動(dòng)力學(xué)方法的特例。

（2）fa增大，θ值減小，并且φ值越大，fa對θ的影響越小；θ值隨著卓越周期T的增大而減小，并且T越大，其減小幅度越小。fa增大，Kpe的增速有減小的趨勢，但是并不明顯；Kpe隨著T的增大而減小，并且kh越大，減小幅度越大。隨著fa和T的增大，被動(dòng)土壓力分布均呈減小的趨勢；其中，T對土壓力分布的影響較小。

（3）地震加速度減少了作用在墻體的被動(dòng)土壓力，其放大效應(yīng)又進(jìn)一步減小了土壓力值，所以不考慮加速度的放大效應(yīng)是偏于不安全的。

（4）與擬靜力學(xué)方法的對比表明，擬動(dòng)力學(xué)方法得出了更安全的最小地震被動(dòng)土壓力系數(shù)值。