張秀玲，訾雪旻

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

利用函數(shù)型數(shù)據(jù)刻畫產(chǎn)品的某些特性，進(jìn)而分析和監(jiān)控此類函數(shù)型數(shù)據(jù)是統(tǒng)計(jì)過程控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題之一。目前，很多研究都是基于傳統(tǒng)最小二乘估計(jì)的方法監(jiān)控模型的回歸系數(shù)，從而建立有效控制圖。然而，相對于僅關(guān)注響應(yīng)變量在解釋變量已知情況下條件期望的變化，在實(shí)際應(yīng)用中監(jiān)控響應(yīng)變量條件中位數(shù)或其他條件分位數(shù)的變化越來越受到學(xué)術(shù)界的重視。如2001年，Abrevaya[1]分析影響低體重新生兒因素問題；2001年，Bassett等[2]評估共同基金的投資類型；2005—2006年，Machado等[3-4]研究勞動力市場、工資結(jié)構(gòu)分布等。假定樣本均值是位置參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)的關(guān)鍵取決于假設(shè)觀測值來自一般的正態(tài)分布。如果觀測值不是來自同一個(gè)分布，如來自不同方差的正態(tài)分布，采用中位數(shù)做估計(jì)明顯比用均值做估計(jì)效果更好。自1978年Koenker等[5]提出的分位數(shù)回歸以來，出現(xiàn)了很多關(guān)于分位數(shù)回歸的研究，然而對于構(gòu)造其應(yīng)用統(tǒng)計(jì)過程控制中相應(yīng)的控制圖這一問題研究相對較少。本文針對上述問題，基于分位數(shù)回歸方法結(jié)合多元指數(shù)加權(quán)移動平均控制圖（MEWMA），給出一種新的函數(shù)型數(shù)據(jù)在線監(jiān)控控制圖，并通過數(shù)值模擬說明該控制圖的有效性。

1 監(jiān)控線性函數(shù)型數(shù)據(jù)的MEWMA控制圖

對一般線性函數(shù)型模型和2007年Zou等[6]基于最小二乘估計(jì)方法建立的MEWMA控制圖進(jìn)行描述。假設(shè)隨著時(shí)間收集第j個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)樣本，則有觀測值（Xj，Yj），其Yj=（y1j，y2j，…，ynjj）′是nj維響應(yīng)變量，Xj是nj×p（nj＞p）矩陣。當(dāng)統(tǒng)計(jì)過程可控時(shí)，假設(shè)基本模型為：

式中：β=（β1，β2，…，βp）′是p維系數(shù)向量；誤差項(xiàng)εj=（ε1j，ε2j，…，εnjj）′都是獨(dú)立同分布于均值為0且協(xié)方差陣為σ2I的nj維多元正態(tài)隨機(jī)向量。

在不失一般性的前提下，假設(shè)Xj的形式是（1，Xj*），其Xj*是正交于1，1是nj維常數(shù)向量且所有分量都是1。否則也可以通過合適的變換得到這種形式。通常nj都是相等的（記作n），假設(shè)對不同時(shí)刻j的解釋變量Xj是固定的（記作X）。

將隨著時(shí)間收集的第j個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)樣本記作{（xi，yij），i=1，2，…，n}。當(dāng)統(tǒng)計(jì)過程可控時(shí)，假設(shè)響應(yīng)變量和解釋變量的關(guān)系為：

Zou等[6]用MEWMA控制圖同時(shí)監(jiān)控模型（2）的截距β0、斜率β1和標(biāo)準(zhǔn)差σ。根據(jù)模型（1）定義：

式中：Φ-1（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)的反函數(shù)；F（·；v）為自由度v的卡方分布函數(shù)即（σ））′是（p+1）維隨機(jī)向量。當(dāng)統(tǒng)計(jì)過程可控時(shí)，Zj服從均值為0且協(xié)方差陣為∑的多元正態(tài)分布，其∑=將EWMA控制圖統(tǒng)計(jì)量定義為：

式中：W0為（p+1）維初始向量；λ為光滑參數(shù)且0＜λ≤1。若：

控制圖就會報(bào)警。

式中：L為控制限且L＞0。

Zou等[6]通過比較失控平均運(yùn)行長度說明MEWMA控制圖比Kim等[7]3 個(gè)EWMA結(jié)合的控制圖能更有效地探測截距、斜率和標(biāo)準(zhǔn)差發(fā)生的漂移。

2 分位數(shù)回歸方法

式中：τ為下分位數(shù)且τ∈（0，1）。

式（9）是xi的線性函數(shù)，即：

式中：xi′=（xi1，xi2，…，xip）；β（τ）=（β1（τ），β2（τ），…，βp（τ））′為p維τ分位數(shù)系數(shù)向量且β（τ）取決于τ。對第j個(gè)時(shí)刻的{yij，i=1，2，…，n；j=1，2，…}，可用簡單優(yōu)化問題的解將yij的經(jīng)驗(yàn)條件分位數(shù)函數(shù)定義為：

式中：u為觀測值與其估計(jì)值的殘差。

在模型（2）中通過對yij與xi′β的殘差的估計(jì)損失和函數(shù)進(jìn)行最小化求解可得β（τ）。假設(shè)R（τ）是最小化估計(jì)損失和函數(shù)，即：

式（13）根據(jù)式（12）可寫成：

根據(jù)Koenker等[8-9]，式（11）于τ的左導(dǎo)數(shù)?？梢酝ㄟ^單純形法、內(nèi)點(diǎn)法和平滑法等對式（14）進(jìn)行求解

3 基于分位數(shù)回歸方法的MEWMA控制圖

對一般線性函數(shù)型模型基于分位數(shù)回歸方法，結(jié)合MEWMA控制圖，給出一種新的MEWMA控制圖在線監(jiān)控回歸系數(shù)分位數(shù)。通過τ=0.5即中位數(shù)說明基于分位數(shù)回歸方法建立MEWMA控制圖。

根據(jù)式（2）和式（9），則yij的條件分位數(shù)函數(shù)也可以寫成：

式中：Qεij（τ）為εij的τ分位數(shù)函數(shù)。

模型（2）中εij均是獨(dú)立同分布于均值為0且方差為σ2的正態(tài)分布，則Qεij（0.5）=0；再根據(jù)式（10）可得β（τ）=β。假設(shè)εij的分布函數(shù)記作F（x），其概率密度函數(shù)記作f（x）。因?yàn)镼εij（0.5）=0，則F（x）的中位數(shù)為0，εij在中位數(shù)的概率密度為f（0）。根據(jù)Koenker等[5]定理，若σ2和f（0）相比滿足條件[2f（0）]-1＜σ，則最小絕對誤差估計(jì)（LAE）的漸近方差比最小二乘估計(jì)（LSE）的方差小；則LAE估計(jì)即回歸中位數(shù)（（0.5））比LSE回歸系數(shù)更有效。

當(dāng)統(tǒng)計(jì)過程可控時(shí)，根據(jù)Bassett等[10]的定理可知的極限分布是正態(tài)分布；其均值為0且協(xié)方差陣為是來自F（x）的隨機(jī)樣本的樣本中位數(shù)的漸近方差即ω=[2f（0）]-1。

對模型（2）在線監(jiān)控p個(gè)回歸系數(shù)中位數(shù)，給出新的MEWMA控制圖。

式中：Zj為p維隨機(jī)向量。當(dāng)統(tǒng)計(jì)過程可控時(shí)，Zj服從均值為0且協(xié)方差陣為（Q*）-1的多元正態(tài)分布，其Q*=nQ。將MEWMA控制圖統(tǒng)計(jì)量定義為：

式中：W0為p維初始向量。

若

控制圖就會報(bào)警。

4 模擬研究控制圖表現(xiàn)

根據(jù)Qi等[11-15]理論，通過平均運(yùn)行長度（ARL）研究本文推薦的MEWMA控制圖監(jiān)控表現(xiàn)。在可控模型中τ=0.5、0.9，n=4，p=2，λ=0.2，β0（0.5）=3，β1（0.5）=2，β0（0.9）=3，β1（0.9）=2，σ2=1和xi=2，4，6，8。在參數(shù)已知的前提下，考慮其MEWMA控制圖的可控平均運(yùn)行長度（IC ARL）大約為200。通過數(shù)值模擬得到失控平均運(yùn)行長度（OC ARL），分析其MEWMA控制圖監(jiān)控表現(xiàn)。模型（2）中截距和斜率中位數(shù)及0.9分位數(shù)分別發(fā)生漂移時(shí)MEWMA控制圖的ARL如表1所示。

表1 模型（2）中截距和斜率中位數(shù)及0.9分位數(shù)分別發(fā)生漂移時(shí)MEWMA控制圖的ARL

表1中，其MEWMA 控制圖的IC ARL 為199.8，則將第I 類型錯(cuò)誤概率控制在0.5%左右。在此基礎(chǔ)上截距和斜率中位數(shù)分別發(fā)生漂移，即β（00.5）漂移到β0（0.5）+δ1σ 和 β（10.5）漂移到 β（10.5）+δ2σ；其0.9 分位數(shù)發(fā)生同樣的漂移。截距或斜率中位數(shù)及0.9 分位數(shù)發(fā)生的漂移越大，其OC ARL 越小，則其MEWMA控制圖探測漂移的速度越快。它們分別發(fā)生0.15、0.02小漂移的 OC ARL 分別是 84.5、87.1、40.3 和 65.8；分別發(fā)生 0.3、0.05 中等漂移的 OC ARL 分別是 24、19.7、9.9 和14.7；則其MEWMA 控制圖可以有效地探測截距或斜率中位數(shù)及0.9 分位數(shù)發(fā)生的中小漂移。分別發(fā)生0.8、0.15 大漂移的OC ARL 都在2 步以內(nèi)，則其MEWMA 控制圖可快速探測到截距或斜率中位數(shù)及0.9 分位數(shù)發(fā)生的大漂移。分別發(fā)生0.1、0.01 小漂移的 OC ARL 分別是 124.8、138.9、67.5 和 114.4；使用漸近控制限而不是精確控制限，會導(dǎo)致其MEWMA 控制圖探測漂移的速度推遲。模型（2）中截距和斜率中位數(shù)及0.9 分位數(shù)同時(shí)發(fā)生漂移時(shí)MEWMA 控制圖的OC ARL 如表2所示。

表2 模型（2）中截距和斜率中位數(shù)及0.9 分位數(shù)同時(shí)發(fā)生漂移時(shí)MEWMA 控制圖的OC ARL

表2中，截距和斜率中位數(shù)及0.9 分位數(shù)同時(shí)發(fā)生漂移時(shí)，二者漂移同時(shí)變大或者任一個(gè)發(fā)生的漂移固定，另一個(gè)發(fā)生的漂移越大，其OC ARL 越小，則其MEWMA 控制圖探測漂移的速度越快。它們同時(shí)發(fā)生0.1 和 0.01 小漂移的 OC ARL 是 71.5 和 38.6，同時(shí)發(fā)生 0.25 和 0.025 中等漂移的 OC ARL 是 10.7 和 5.8；則其MEWMA 控制圖可以有效地探測截距和斜率中位數(shù)及0.9 分位數(shù)同時(shí)發(fā)生的中小漂移。同時(shí)，發(fā)生0.4和0.045 大漂移的OC ARL 是2.3 和1.7，則其MEWMA控制圖可快速探測到截距和斜率中位數(shù)及0.9 分位數(shù)同時(shí)發(fā)生的大漂移甚至OC ARL 在2 步以內(nèi)。

5 結(jié) 語

本文基于MEWMA 控制圖對統(tǒng)計(jì)過程的可控和失控情況進(jìn)行研究，研究結(jié)果表明：其可以有效地同時(shí)在線監(jiān)控函數(shù)型模型的截距和斜率中位數(shù)及0.9 分位數(shù)并能夠探測到它們發(fā)生的中小漂移。今后將研究基于分位數(shù)回歸方法建立累積和（CUSUM）等其他控制圖。