任 嵐 黃 靜 趙金洲 賈久波 謝 斌 黃 波

1.“油氣藏地質及開發(fā)工程”國家重點實驗室·西南石油大學 2.中國石油新疆油田分公司

0 引言

受儲層物性與多尺度滲流特征影響，頁巖水平井產(chǎn)量在生產(chǎn)初期將會急劇下降[1]。特別是初次壓裂施工規(guī)模較小、支撐劑濃度低、支撐劑分布差、不合理的壓裂材料選擇和壓裂設計的頁巖氣水平井，難以獲得工業(yè)氣流，大量的頁巖氣仍然會賦存于儲層中而無法得到有效開采[2-7]。通過化學暫堵轉向或者機械封隔等方法對老井進行重復壓裂形成更加復雜的裂縫網(wǎng)絡和更大的改造體積，并恢復或增加水力裂縫網(wǎng)絡的導流能力，能夠有效提高頁巖儲層的單井產(chǎn)量和最終采收率[8-11]。相比于鉆加密井，重復壓裂不僅是一種更加經(jīng)濟的增產(chǎn)手段，而且能消除井間生產(chǎn)干擾[12-16]。重復壓裂技術逐漸在北美的 Barnett、Haynesville、Bakken、Fayetteville、Eagle Ford 和Woodford頁巖儲層得到推廣應用[6,15]。而近年在我國的涪陵和長寧——威遠國家級頁巖氣示范區(qū)也進行了先導性礦場試驗。

產(chǎn)能模擬是頁巖水平井重復壓裂優(yōu)化設計的重要環(huán)節(jié)。頁巖儲層初次壓裂后形成復雜的裂縫網(wǎng)絡，儲層孔隙壓力隨著頁巖氣的采出而逐漸減小，而儲層有效應力隨著孔隙壓力的降低而增加，從而引起固體形變，進一步降低水力裂縫導流能力[17]。這種頁巖儲層生產(chǎn)過程中應力與壓力的動態(tài)變化增加了儲層的產(chǎn)能模擬的難度。前人大多基于線性模型或雙重介質模型進行的頁巖氣水平井重復壓裂產(chǎn)能模擬研究，并不能精確描述初次壓裂形成的增產(chǎn)體積和裂縫網(wǎng)絡中頁巖氣多尺度流動行為[8,11,16,18-19]?；诖耍P者將頁巖儲層考慮為由無機質和干酪根組成的基質系統(tǒng)與天然裂縫構成的三重孔隙介質儲層，頁巖氣在開采過程中將以有機質干酪根——無機質納米孔隙——天然裂縫多尺度空間進行流動傳輸，并考慮儲層滲透率、孔隙度和水力裂縫導流能力動態(tài)變化，建立一種頁巖氣水平井重復壓裂產(chǎn)能預測數(shù)學模型，并使用四川盆地頁巖氣示范區(qū)某實例井礦場生產(chǎn)數(shù)據(jù)對模型的可靠性進行驗證。

1 頁巖重復壓裂產(chǎn)能預測數(shù)學模型

建立的頁巖水平井重復壓裂產(chǎn)能預測數(shù)值模型主要包括多孔頁巖介質形變模型和頁巖氣多尺度流動模型。

1.1 多孔頁巖介質形變模型

（1） 本構方程及邊界條件

假設頁巖為小變形的線彈性材料，其變形行為受有效應力控制。頁巖儲層是由基質和天然裂縫組成的重疊的系統(tǒng)，其中基質包括了有機質干酪根和無機基質，頁巖氣的解吸效應將會引起巖土骨架的應變。頁巖儲層總的應力平衡方程為：

式中G表示剪切模量，MPa；u表示位移，m；λ表示拉梅常數(shù)，MPa；εv表示體積應變，無因次量；εS表示解吸誘導體積應變，無因次量；αk表示干酪根系統(tǒng)中的有效應力系數(shù)，無因次量；αm表示無機質系統(tǒng)中的有效應力系數(shù)，無因次量；αf表示裂縫系統(tǒng)中的有效應力系數(shù)，無因次量；pk表示干酪根系統(tǒng)中的壓力，MPa；pm表示無機質系統(tǒng)中的壓力，MPa，pf表示裂縫系統(tǒng)中的壓力，MPa。

假設氣井在原始地層條件下并沒有被擾動。因此，頁巖巖體位移為0，初始條件為：

由于求解區(qū)域足夠大且儲層的滲透率極低，因此假設邊界條件沒有發(fā)生擾動，即邊界沒有位移：

（2）儲層物性參數(shù)動態(tài)方程

基于Biot的孔隙彈性理論，對于三重孔隙介質的頁巖儲層，其有效應力可以表示為[20]：

式中 σij表示總應力，MPa；σ'ij表示儲層有效應力，MPa；δij表 示 Kroneker符 號（ 當 i≠ j， 則

進一步地，基于實驗和數(shù)值模擬結果，頁巖儲層孔隙度和滲透率隨有效應力的變化關系滿足指數(shù)關系[21]：

1. 2 頁巖氣多尺度滲流模型

（1）干酪根中氣體滲流方程

頁巖氣在干酪根中的流動主要是通過解吸然后擴散進入無機質宏觀孔隙，而擴散主要是包括Knudsen擴散和表面擴散。不考慮干酪根中氣體的空間傳導，得到干酪根中氣體質量守恒方程：

單位體積干酪根中的吸附氣量qa表示為：

干酪根中的表觀滲透率Kkapp定義為：

式中σkm表示瞬態(tài)形狀因子，1/m2；ρg表示氣體密度，m3/kg；μg表示氣體黏度，mPa·s；εkp表示干酪根孔隙占總基質孔隙的比例，無因次量；φ表示基質總孔隙度，無因次量；φm表示基質孔隙度，無因次量；φf表示裂縫系統(tǒng)孔隙度，無因次量；εks表示頁巖骨架體積中干酪根的骨架體積，無因次量；VL表示朗格繆爾體積，m3/kg；Vstd表示標準情況下的氣體體積，m3/mol；Mg表示氣體分子質量，kg/mol；pL表示朗格繆爾壓力，MPa；Dkk表示干酪根中Knudsen擴散系數(shù)，m2/s；Kk0表示干酪根本征滲透率，mD；Cμs表示頁巖單位體積的最大吸附氣摩爾濃度，mol/m3；Ds表示表面擴散系數(shù)，m2/s；Ck表示干酪根中氣體摩爾濃度，mol/m3；Z表示偏差因子，無量綱；Rg表示氣體常數(shù)，Rg=8.314 J/(K·mol)。

（2） 無機質中氣體滲流方程

無機質系統(tǒng)中自由氣的流動存在兩個交換項，一方面干酪根中氣體解吸擴散進入無機質系統(tǒng)，另一方面無機質又向裂縫系統(tǒng)補給氣體。考慮無機質中氣體傳輸?shù)幕撔?、Knudsen擴散和黏性流，基于質量守恒的原理得到頁巖無機質中的氣體連續(xù)性方程：

無機質的表觀滲透率（Kmapp）定義為：

滑脫因子（Fm）定義為：

Knudsen擴散系數(shù)（Dkm）定義為：

根據(jù)Warren-Root模型，無機質與裂縫之間的氣體質量交換量Wmf表示為：

形狀因子（σmf）定義為[22]：

式中Dkm表示無機質中的Knudsen擴散系數(shù)，m2/s；Fm表示無機質的因子，無因次量；Cg表示無機質中氣體壓縮系數(shù)，MPa-1；rm表示無機質中納米孔隙半徑，m；Wkm表示干酪根與無機質之間的質量傳遞項，mol/（m3·s）；Wmf表示無機質與天然裂縫之間的質量傳遞項，mol/（m3·s）；Kmapp表示無機質表觀滲透率，mD；σmf表示擬穩(wěn)態(tài)形狀因子，1/m2； Lfx，Lfy分別為裂縫在x和y方向上的間距，m。

（3）裂縫系統(tǒng)中氣體滲流方程

裂縫系統(tǒng)的孔徑在微米或者毫米尺度，裂縫系統(tǒng)中不存在Knudsen擴散，僅考慮裂縫系統(tǒng)中氣體的黏性流動?？紤]無機質和天然裂縫質量交換以及生產(chǎn)井的存在，基于質量守恒原理得到裂縫系統(tǒng)中的連續(xù)性方程為：

Qgwell表示裂縫產(chǎn)量項，對于存在生產(chǎn)井的網(wǎng)格點，基于Peaceman模型可以計算得到[23]：

式中pwf表示井底流壓，MPa；Vb表示網(wǎng)格體積大小，m3；rw表示井半徑，m；re表示等效井半徑，m。

（4）初始邊界條件

模型的定解條件包括裂縫和基質系統(tǒng)的邊界條件和初始條件，假設裂縫和基質的初始壓力系統(tǒng)相同，得到的初始條件為：

將頁巖儲層視為封閉單元，因此模型的外邊界封閉，而內(nèi)邊界采用井底流壓生產(chǎn)。則模型內(nèi)邊界條件為：

外邊界條件為：

1.3 壓裂增產(chǎn)網(wǎng)格處理

（1）人工主裂縫的表征

對于頁巖儲層體積壓裂，水力主裂縫是地層中的高滲帶，通常采用固定裂縫導流能力，適當放大裂縫寬度而達到降低裂縫滲透率的目的。在實際計算過程中將裂縫所在網(wǎng)格x和y方向上的滲透率進行調整：

式中Kfe表示水力裂縫等效滲透率，mD；Wfe表示水力裂縫等效寬度，m；FCD表示水力裂縫導流能力，D·cm。

（2）儲層分區(qū)表征

基于頁巖儲層體積壓裂“支撐主縫+復雜縫網(wǎng)”的改造模式，將壓裂后的頁巖儲層分區(qū)表征為支撐主裂縫、壓裂縫改造區(qū)和未改造區(qū)[24]?？紤]到增產(chǎn)改造區(qū)裂縫網(wǎng)絡的復雜性，采用雙重連續(xù)介質等效表征，而儲層未改造區(qū)等效為單一的基質系統(tǒng)，在系統(tǒng)進行網(wǎng)格劃分之后，可以通過網(wǎng)格滲透率來表征增產(chǎn)改造區(qū)（圖1）。

1.4 模型耦合求解

整個數(shù)學模型具有高度非線性特征，因此選用有限差分法進行數(shù)值求解，主要步驟包括：①采用不均勻矩形網(wǎng)格系統(tǒng)對頁巖儲層的增產(chǎn)區(qū)域和主裂縫進行網(wǎng)格劃分；②分別計算干酪根系統(tǒng)、無機質系統(tǒng)和裂縫系統(tǒng)中的壓力場；③將計算得到的壓力場帶入固體形變模型計算網(wǎng)格點的體積應變，再進一步求出平均有效應力后更新儲層物性參數(shù)并傳遞給氣體流動模型，一直計算至重復壓裂時間節(jié)點；④更新水力裂縫和儲層參數(shù)進行重復壓裂生產(chǎn)模擬。程序具體求解步驟如圖2所示。

圖2 重復壓裂產(chǎn)能模擬流程圖

2 計算結果與討論

使用四川盆地某頁巖氣作業(yè)區(qū)實例井生產(chǎn)數(shù)據(jù)進行模型驗證。該井395 m水平井段初次分為6段壓裂，生產(chǎn)初期平均日產(chǎn)氣量達到2.5×104m3，在生產(chǎn)4年后平均日產(chǎn)氣量低于0.5×104m3。由于不能滿足臨界攜液流量而關井，并對該井進行了4級重復壓裂施工。模型的長、寬、高為500 m×400 m×50 m，基于區(qū)塊基礎地質數(shù)據(jù)和國內(nèi)外已發(fā)表的文獻中的參數(shù)賦值[25-29]，輸入模型的儲層和水力裂縫基本參數(shù)（表1）。

在模擬該井重復壓裂產(chǎn)能的過程中，首先模擬該井生產(chǎn)前4年的產(chǎn)能，然后更新儲層參數(shù)和水力裂縫參數(shù)，其中水力裂縫導流能力從最初的0.1 D·cm提升至0.4 D·cm，代表重復壓裂的過程，然后繼續(xù)模擬該井重復壓裂后的產(chǎn)能。由該井重復壓裂生產(chǎn)6年后儲層壓力分布（圖3），由圖可知，相比于未進行重復壓裂的壓裂井段，重復壓裂的井段儲層壓力明顯下降，靠近井筒的區(qū)域壓力最低，下降至7.5 MPa。這是由于重復壓裂增加了原有水力裂縫的導流能力，再次為頁巖氣的流動提供快速通道，提高頁巖儲層的采收率（圖4）。而對于未進行重復壓裂的井段，初次壓裂增產(chǎn)區(qū)域儲層壓力下降至14 MPa且均勻分布，這是由于隨著頁巖氣的不斷采出，水力裂縫的導流能力隨著有效應力的增加而減?。▓D5）。對于該區(qū)塊的頁巖儲層，當進行3年生產(chǎn)后，水力裂縫的滲透率減小趨勢變緩且趨于平穩(wěn)，該現(xiàn)象也可作為重復壓裂時機選擇的參考因素。

表1 儲層與水力裂縫基本參數(shù)表

圖3 氣井重復壓裂生產(chǎn)6年后儲層壓力分布圖

圖4 氣井重復壓裂生產(chǎn)6年后儲層吸附氣含量分布圖

圖5 儲層壓裂后平均有效應力與裂縫滲透率隨時間變化規(guī)律圖

由該井的日產(chǎn)氣量和累產(chǎn)氣量與模擬結果擬合（圖6、圖7），在生產(chǎn)的第一年內(nèi)，氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)與模型的模擬結果擬合較好（圖6）；而在后期的2～4年內(nèi)，生產(chǎn)數(shù)據(jù)要略高于模擬結果，這可能是由于該井中途多次關井引起的。總體而言，該模型模擬結果與礦場生產(chǎn)數(shù)據(jù)具有較好的擬合結果，能夠模擬頁巖氣水平井初次壓裂和重復壓裂生產(chǎn)后的產(chǎn)能。

圖6 氣井日產(chǎn)氣量與模擬結果擬合圖

圖7 氣井累產(chǎn)氣量與模擬結果擬合圖

3 結論

1）基于頁巖儲層壓后多重孔隙介質特征，考慮頁巖氣在開采過程中“有機質干酪根——無機質納米孔隙——天然裂縫”的多尺度空間流動行為，以及儲層參數(shù)和水力裂縫導流能力隨生產(chǎn)的動態(tài)變化，建立了頁巖氣水平井重復壓裂產(chǎn)能預測數(shù)學模型，并給出具體求解方法，使用四川盆地某頁巖氣作業(yè)區(qū)實例井礦場生產(chǎn)數(shù)據(jù)驗證了該模型的可靠性。

2）探討了初次壓裂后有效應力和水力裂縫滲透率變化規(guī)律，對于目標區(qū)域的頁巖儲層，初次壓裂后形成復雜縫網(wǎng)，在頁巖氣的生產(chǎn)過程中儲層有效應力不斷增大，水力裂縫滲透率隨之減小；當生產(chǎn)3年后，水力裂縫的滲透率減小趨勢變緩且趨于平穩(wěn)，儲層壓力分布相對均勻且緩慢下降，為重復壓裂時間節(jié)點優(yōu)化提供參考。

3）重復壓裂模擬結果表明，重復壓裂通過恢復或增加原有水力裂縫的導流能力，再次為頁巖氣的流動提供快速通道，提高頁巖儲層吸附氣的采出程度。