武倩倩＊，崔寧劉碧龍岳洪浩，劉榮強

1.青島理工大學 機械與汽車工程學院，青島 2665202.哈爾濱工業(yè)大學 機電工程學院，哈爾濱 150001

航天器在軌運行時，動量輪、制冷機等設(shè)備會產(chǎn)生一種量級較小、頻帶較寬的微振動。這類微振動對空間科學實驗結(jié)果、高分辨率對地觀測精度、重力梯度測量精度等均有較大影響［1－4］。當前應(yīng)用比較廣泛的被動隔振系統(tǒng)對高頻振動具有較好的隔振控制效果，但對低頻振動控制效果不佳［5－6］。磁懸浮隔振技術(shù)能利用磁場與電場產(chǎn)生的洛倫茲力實現(xiàn)空間微振動的隔離與抑制，對低至0.01Hz的微振動仍有良好的隔振效果，在空間微振動隔振領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景［7－9］。

磁懸浮隔振系統(tǒng)具有非線性、強耦合、高響應(yīng)、寬頻帶等特點，并且系統(tǒng)的控制目標與定子和浮子之間的相對位置存在制約關(guān)系，這均增加了系統(tǒng)低頻隔振控制的難度。為了實現(xiàn)隔振控制，國內(nèi)外學者采用經(jīng)典控制方法和現(xiàn)代控制方法開展了大量的研究。Tryggvason［10－11］和 Fenn［12］等以擴大控制帶寬為目的設(shè)計了PID控制器，但未考慮以多自由度系統(tǒng)動力學模型為研究對象的控制響應(yīng)。Zhu等［13］在此基礎(chǔ)上采用PID型雙積分加速度控制方法，增加了系統(tǒng)隔振頻帶，提高了系統(tǒng)的隔振性能，但其僅對單自由度隔振系統(tǒng)進行了控制仿真。Hu等［14］采用串級PID控制算法對一種磁懸浮作動器進行隔振控制，但也未研究由多個作動器驅(qū)動的多自由度隔振系統(tǒng)的控制響應(yīng)。Liu等［15］分別采用經(jīng)典PID控制算法和H∞控制算法對整柜級磁懸浮隔振系統(tǒng)進行了控制仿真，仿真結(jié)果表明兩種算法都有良好的隔振效果，但尚缺少實驗驗證。Li等［16］基于改進的FXLMS（Filtered-X Least-Mean-Square）算法對非線性磁懸浮作動器進行了自適應(yīng)控制，該算法對作動器的非線性有良好的補償特性，但未涉及多自由度隔振系統(tǒng)的非線性控制特性。Yang等［17］考慮到參數(shù)化和動態(tài)不確定性的特點，針對微重力隔振系統(tǒng)g-LIMIT（Glovebox Integrated Microgravity Isolation Technology）設(shè)計了一種自適應(yīng)性控制器，在高頻增益加速度環(huán)和低頻相對位置環(huán)內(nèi)加入兩個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，阻止了自適應(yīng)控制過程中加速度環(huán)與位置環(huán)的相互作用，但文中也僅研究了單自由度隔振系統(tǒng)的仿真結(jié)果。Hampton等［18］將最優(yōu)前饋與后饋控制方法應(yīng)用到 MIM （Microgravity vibration Isolation Mount）微振動隔振系統(tǒng)中，也僅在單自由度隔振模型上實現(xiàn)了較好的控制效果。綜上可知，當前研究大多是在簡化的單自由度模型基礎(chǔ)上進行的，缺少針對六自由度磁懸浮隔振系統(tǒng)的高精度非線性動力學建模以及基于模型的控制策略設(shè)計與控制系統(tǒng)仿真。

針對上述問題，本文首先以定子和浮子之間的相對位姿為變量，建立了面向控制的六自由度磁懸浮隔振系統(tǒng)非線性動力學模型；其次，針對系統(tǒng)的非線性、強耦合、寬頻帶特性，設(shè)計了雙閉環(huán)控制策略，并利用PD定點控制算法，仿真了系統(tǒng)在不同頻帶內(nèi)的隔振性能與跟蹤性能；最后，搭建了磁懸浮隔振樣機測試系統(tǒng)，對建立的系統(tǒng)動力學模型和提出的控制策略進行驗證。

1 磁懸浮隔振平臺的工作原理

磁懸浮隔振平臺由定子、浮子、線纜和洛倫茲力作動器組成，如圖1所示。作動器包含兩組條形永磁體、矩形空心線圈以及磁軛。每個洛倫茲力作動器具有1個自由度，為了實現(xiàn)空間6自由度的微振動隔振，采用8個作動器均布于定子與浮子之間，通過改變作動器的位姿，使8個作動器可以解算六自由度的控制力和控制力矩。當定子受到外界擾動時，通過調(diào)節(jié)線圈電流的大小和方向使作動器產(chǎn)生能抵消外部擾動的洛倫茲力，從而為浮子上的有效載荷提供準靜環(huán)境。為避免浮子與定子在隔振頻帶內(nèi)發(fā)生碰撞，設(shè)計時要求控制行程大于隔振頻帶內(nèi)的最大振幅。為避免由于瞬態(tài)擾動產(chǎn)生幅值過大的情況，在浮子和定子之間設(shè)計限位機構(gòu)?；谏鲜龉ぷ髟?，設(shè)計了控制行程為±3mm的6自由度磁懸浮隔振平臺，其三維模型及尺寸參數(shù)如圖2所示。

圖1 磁懸浮隔振平臺示意圖Fig.1 Diagram of maglev vibration isolation platform

圖2 磁懸浮隔振平臺三維模型Fig.2 Three-dimentional model of maglev vibration isolation platform

2 多維磁懸浮隔振系統(tǒng)動力學建模

高精度的系統(tǒng)動力學模型是實現(xiàn)隔振控制的前提。為保證模型精度，以浮子和定子之間的相對位姿為變量，建立面向控制的6自由度系統(tǒng)動力學方程［19－22］。系統(tǒng)空間幾何模型如圖3所示，其中NIJK為與地面固聯(lián)的慣性坐標系，S為與定子固聯(lián)的坐標系，F(xiàn)ijk為與浮子固聯(lián)的坐標系。定子坐標系的坐標原點位于定子質(zhì)心，浮子坐標系的坐標原點距離其質(zhì)心的位置矢量為rc。假設(shè)在初始狀態(tài)下，定子坐標系與慣性坐標系重合，定子坐標系到浮子坐標系的位置矢量為RSF。根據(jù)牛頓-歐拉方程，浮子的力和力矩方程為

圖3 系統(tǒng)空間幾何模型Fig.3 Space geometry model for system

式中：m為浮子本體與有效載荷的總質(zhì)量；J為浮子的慣量張量；Fd為直接作用于浮子上的外力；Fu為線纜產(chǎn)生的擾動力；Fc（c＝1，2，…，8）為主動控制力；Md為浮子上作用的外力矩；Mu為線纜產(chǎn)生的擾動力矩；Mc（c＝1，2，…，8）為主動控制力矩；a為浮子的絕對加速度；ω為浮子的角速度。

根據(jù)歐拉角和坐標系的轉(zhuǎn)換方式，可得慣性坐標系到浮子坐標系之間的轉(zhuǎn)換矩陣Γ為

式中：θx、θy、θz為浮子相對定子的橫滾、俯仰、偏航運動姿態(tài)。

定義空間列陣X＝ ［x y z θxθyθz］T，其中r＝［x y z］T表示浮子與定子之間的相對位移變化，為了描述浮子的絕對運動狀態(tài)，需要由定子與浮子之間的相對運動狀態(tài)加上定子的絕對運動狀態(tài)得到。由于浮子相對于定子為小角度運動，浮子的角速度量級約10－4～10－3rad／s，而浮子的加速度量級約10－5～10－3m／s2，基于小角度假設(shè)，角速度的平方項或角速度的交叉乘積項可以忽略。另外，忽略定子受到的角位移擾動，假設(shè)定子受到3自由度的線位移擾動¨R0，根據(jù)系統(tǒng)空間幾何模型（圖3）以及坐標變換關(guān)系，代入狀態(tài)空間列陣X，得到浮子6自由度運動微分方程為

式中：（）～表示括號中向量的反對稱矩陣。

定義8個作動器的力向量為

式中：下標中的數(shù)字表示作動器的標號，字母表示洛倫茲力的方向。

為了進行矢量疊加，定義洛倫茲力的方向矩陣為

利用坐標系之間的變換矩陣Γ，任意浮子坐標系中的向量q都可以轉(zhuǎn)換為慣性坐標系中的向量，即建模時變量均統(tǒng)一轉(zhuǎn)換到慣性坐標系中。

8個作動器作用于浮子的合力在慣性系中可以表示為

式中：I1＝I2＝…I8＝I3×3。

定義浮子坐標系下作動器的質(zhì)心到浮子質(zhì)心的位置矢量為rFcM（c＝1，2，…，8），則作動器的合力對浮子質(zhì)心產(chǎn)生的力矩為

把浮子與定子之間的兩組主要連接線纜等效為彈簧和阻尼系統(tǒng)，定義線纜的剛度系數(shù)為Kui（i＝1，2），阻尼系數(shù)為Cui（i＝1，2），浮子上線纜接口的位置向量為rui（i＝1，2），定子上線纜接口的位置向量為Rui（i＝1，2），線纜的原始長度為d0i（i＝1，2），變形量為dui（i＝1，2），則

線纜產(chǎn)生的擾動力為

線纜產(chǎn)生的擾動力矩為

式中：rFui為浮子上線纜作用點到浮子質(zhì)心的位置向量。

假設(shè)外部擾動力fd直接作用于浮子，并且距離質(zhì)心rd，浮動平臺上外力作用點到平臺質(zhì)心的位置向量為rFd，則擾動力和擾動力矩在慣性坐標系中可以寫成

把式（6）、式（7）、式（9）～式（12）代入式（3），最終得到面向控制的6自由度磁懸浮隔振系統(tǒng)非線性動力學模型為

定義以下參數(shù)：

式（13）可寫成通用運動微分方程的形式：

3 控制策略設(shè)計與控制仿真分析

磁懸浮隔振系統(tǒng)不僅要隔離來自定子的擾動，還要滿足浮子與定子之間的位置約束。因此，對磁懸浮隔振系統(tǒng)實施控制時需考慮兩個方面：① 使傳遞到浮子的振動最?。虎?使浮子與定子之間的相對位姿保持不變。為實現(xiàn)上述控制要求，設(shè)計了包含相對運動狀態(tài)環(huán)和絕對運動狀態(tài)環(huán)的雙閉環(huán)控制策略，其中相對運動狀態(tài)控制器的設(shè)計原則是在低于隔振頻帶內(nèi)實現(xiàn)浮子的運動跟蹤，而絕對運動狀態(tài)控制器的設(shè)計原則是在隔振頻帶內(nèi)對擾動進行抑制。磁懸浮隔振系統(tǒng)雙閉環(huán)控制策略框圖如圖4所示。

圖4 雙閉環(huán)控制策略框圖Fig.4 Block diagram of double-closed-loop control strategy

以0.01～100Hz頻帶內(nèi)的振動為研究對象，為了實現(xiàn)0.01～100Hz頻帶內(nèi)的隔振控制，設(shè)置浮子的絕對速度、絕對加速度目標為0，設(shè)置絕對位移目標為與系統(tǒng)初始參數(shù)有關(guān)的常量。當振動頻率低于0.01Hz時，設(shè)置定子與浮子的相對速度、相對加速度目標為0，設(shè)置相對位移目標為與系統(tǒng)初始參數(shù)有關(guān)的常量，實現(xiàn)跟蹤控制。在建立的6自由度系統(tǒng)動力學模型的基礎(chǔ)上，采用PD定點控制方法，在 MATLAB／Simulink環(huán)境下，開發(fā)6自由度磁懸浮隔振系統(tǒng)控制仿真程序，獲得系統(tǒng)在不同頻帶內(nèi)的隔振效果與跟蹤效果。

3.1 PD定點控制器設(shè)計

取ea＝X0Λ－XΛ（上標Λ表示在絕對坐標系下的變量）為隔振前后的絕對位移誤差，速度誤差和加速度誤差分別是為常量。

為了便于分析，把擾動寫為6×1的矩陣形式，則位移擾動為R0＝ ［R003×1］T，速度擾動為 R0＝ ［R003×1］T，加 速 度 擾 動 為 ¨R0＝［¨R003×1］T。根據(jù)絕對變量與相對變量之間的關(guān)系得到

把式（15）代入式（14）可得

式中：KxXΛ0是一個常量，可以通過調(diào)節(jié)控制參數(shù)補償該常量，因此式（17）可以寫成

其中：Fx包括主動控制力Fa和外部擾動力Fd。

定義控制規(guī)律為

式中：Kp1和Kd1分別為比例控制系數(shù)和微分控制系數(shù)。

則式（16）可以簡化為

取Lyapunov函數(shù)為

由Mx和Kp1的正定性可知，V全局正定，則

由式（20）和式（22）可得

隔振控制需要滿足阻尼比大于1，則Cx＋Kd1正定，此時有V≤0，即系統(tǒng)可達到穩(wěn)定。當V≡0時，有ea≡0，從而¨ea≡0，ea≡0，所以控制也是收斂的。

為了實現(xiàn)低頻運動跟蹤，取ep＝X0－X為隔振前后的相對位移誤差，則速度誤差和加速度誤差 分別為ep＝ X0－X，¨ep＝ ¨X0－¨X，其 中 ¨X0＝［00 … 0］T，則運動微分方程可以轉(zhuǎn)換為

定義控制規(guī)律為

式中：Kp2和Kd2分別為比例控制系數(shù)和微分控制系數(shù)?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性證明同上。

3.2 控制仿真分析

根據(jù)圖2所示的磁懸浮隔振平臺三維模型，獲得仿真所需的系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。此外，浮子的轉(zhuǎn)動慣量張量為

表1 磁懸浮隔振平臺系統(tǒng)參數(shù)Table 1 System parameters of maglev vibration isolation platform

對磁懸浮隔振系統(tǒng)中的連接線纜進行參數(shù)辨識，線纜的剛度矩陣和阻尼矩陣可近似等效為［13］

為了簡化運算過程，假設(shè)定子受到的擾動為正弦擾動，忽略直接作用在浮子上的外力。給定子施加沿水平軸x方向，幅值分別為2mm、2mm、2μm，頻率分別為0.005、0.01、100Hz的正弦擾動，得到了系統(tǒng)的6自由度控制仿真結(jié)果。下面以系統(tǒng)沿著x方向和繞著x方向的隔振控制仿真結(jié)果（圖5、圖6）和跟蹤控制仿真結(jié)果（圖7）為例進行說明。

由圖5和圖6可知，當頻率分別為0.01Hz和100Hz時，浮子的絕對位移、速度、加速度以及絕對角度、角速度、角加速度均在短時間迅速收斂至0，表明系統(tǒng)具有良好的隔振控制效果。由圖7可以看出，當頻率為0.005Hz時，浮子與定子之間的相對位移、速度、加速度以及相對角度、角速度、角加速度也迅速收斂至0，表明系統(tǒng)具有良好的跟蹤控制效果。

圖5 0.01Hz時有／無控制隔振性能對比Fig.5 Comparison of vibration isolation performance with and without control at 0.01Hz

圖7 0.005Hz時有／無控制跟蹤性能對比Fig.7 Comparison of tracking performance with and without control at 0.005Hz

由上述仿真結(jié)果可知，設(shè)計的控制策略是有效的。通過仿真結(jié)果驗證了系統(tǒng)在低頻帶到高頻帶內(nèi)的隔振功能，以及系統(tǒng)在極低頻帶內(nèi)的跟蹤功能，滿足磁懸浮隔振系統(tǒng)的設(shè)計要求。

4 磁懸浮隔振系統(tǒng)樣機隔振功能試驗

研制磁懸浮隔振系統(tǒng)原理樣機，搭建如圖8所示的試驗系統(tǒng)。為獲取樣機定子受到的擾動參數(shù)以及浮子受到的外部作用力，在定子和浮子上分別安裝3個三維加速度傳感器，在定子和浮子之間安裝4個二維相對位置傳感器。其中，加速度傳感器選用Silicon Design的Model2422，相對位置傳感器選用DL400-7-PCBA。驅(qū)動器選用Trust Automation的TA115。數(shù)據(jù)采集、處理及控制軟件在 WinCE系統(tǒng)下利用EVC4.0編寫，通過數(shù)據(jù)采集卡提供C接口控制A／D卡（阿爾泰科技的 ART2153）和D／A卡（阿爾泰科技的ART2003），實現(xiàn)傳感器數(shù)據(jù)的采集和控制信號的輸出，并在處理器ARM8019中進行濾波處理。設(shè)置振動臺產(chǎn)生沿水平方向的正弦振動，將磁懸浮隔振系統(tǒng)樣機的定子固定在振動臺上，分別提取定子和浮子的加速度信息和相對位移信息。振動的加速度頻譜分析結(jié)果如圖9所示（圖中g(shù)為重力加速度）。由圖9可知，該正弦振動頻率主要包含5.4、16.22、26.93、37.74、48.55和59.36Hz等多個主頻成分以及多個干擾頻帶。根據(jù)提出的雙閉環(huán)控制策略，采用PD定點控制算法，分別從時域和頻域?qū)Ρ瓤刂魄昂蟾∽拥募铀俣人?，驗證系統(tǒng)的隔振功能。

控制后浮子上沿著振動方向的加速度與擾動加速度對比如圖10所示。取相同時間段內(nèi)擾動加速度峰-峰值（147.82×10－3g）與隔振控制后穩(wěn)態(tài)響 應(yīng)峰-峰值（9.53×10－3g）進行對比，結(jié)果表明系統(tǒng)在振動方向上的隔振百分比可達93.5%，驗證了系統(tǒng)的隔振功能。

圖8 樣機隔振功能測試Fig.8 Vibration isolation performance test of prototype

隔振控制后浮子的加速度與擾動加速度頻譜分析結(jié)果如圖11所示，在0～70Hz頻帶范圍內(nèi)，不同頻率的擾動都得到了有效抑制。

圖9 振動的加速度頻譜Fig.9 Acceleration spectrum of vibration

圖10 沿著振動方向的加速度測試結(jié)果Fig.10 Test results of acceleration along vibration direction

圖11 控制前后頻域結(jié)果對比Fig.11 Comparison of frequency domain results before and after control

把測試得到的擾動加速度作為輸入添加到仿真程序中，在相同控制參數(shù)的作用下，獲得基于系統(tǒng)動力學模型的控制仿真結(jié)果，并與實際測試結(jié)果對比，如圖12所示。結(jié)果表明，基于仿真模型獲得的加速度控制響應(yīng)與實際模型的響應(yīng)趨勢一致，驗證了系統(tǒng)動力學模型的正確性。

圖12 模型仿真結(jié)果與測試結(jié)果對比Fig.12 Comparison of simulation results and test results of model

5 結(jié) 論

1）為提高控制精度，獲得高保真的控制響應(yīng)，基于牛頓-歐拉方程，建立了面向控制的6自由度磁懸浮隔振系統(tǒng)非線性動力學模型。

2）針對低中頻帶內(nèi)的隔振控制目標和極低頻帶內(nèi)的跟蹤控制目標，設(shè)計了包含相對運動狀態(tài)環(huán)和絕對運動狀態(tài)環(huán)的雙閉環(huán)控制策略。

3）在MATLAB／Simulink環(huán)境中開發(fā)了控制系統(tǒng)仿真程序，采用PD定點控制算法，通過隔振控制仿真和跟蹤控制仿真，表明系統(tǒng)在隔振頻帶內(nèi)具有良好的隔振效果，在極低頻帶內(nèi)具有良好的跟蹤效果，驗證了控制策略的有效性。

4）研制了磁懸浮隔振系統(tǒng)樣機，搭建了樣機試驗系統(tǒng)，通過試驗測試，系統(tǒng)沿振動方向的隔振百分比可達93.5%；頻域響應(yīng)結(jié)果表明系統(tǒng)能有效抑制0～70Hz頻帶內(nèi)的擾動。通過對比測試結(jié)果與仿真結(jié)果，驗證了系統(tǒng)動力學模型的正確性。

在未來的研究中，擬建立多自由度振動激勵系統(tǒng)，驗證磁懸浮隔振系統(tǒng)在多自由度擾動耦合作用下的隔振性能。