劉漢蔥，唐家銀，劉 赪，譚啟濤

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 成都 611756)

隨著高可靠性、長(zhǎng)壽命產(chǎn)品的出現(xiàn)，經(jīng)典的可靠性研究方法以產(chǎn)品的壽命數(shù)據(jù)作為研究的對(duì)象，但對(duì)于高、長(zhǎng)壽命產(chǎn)品，在短時(shí)間內(nèi)很難得到產(chǎn)品的壽命數(shù)據(jù)。實(shí)際生活中，高、長(zhǎng)壽命產(chǎn)品在生產(chǎn)和使用過(guò)程中，可利用監(jiān)測(cè)工具獲取大量關(guān)于產(chǎn)品的性能退化數(shù)據(jù)。以性能退化數(shù)據(jù)作為可靠性研究的對(duì)象起源于20世紀(jì)90年代中期，由于性能退化數(shù)據(jù)可以保證不減少產(chǎn)品的使用壽命，更符合實(shí)際需求，因此從20世紀(jì)末開(kāi)始已經(jīng)有許多基于退化數(shù)據(jù)的可靠性研究[1-2]。

目前，基于性能退化數(shù)據(jù)的研究成為可靠性研究的重點(diǎn)[3-8]。系統(tǒng)的性能退化是由內(nèi)部退化和外界隨機(jī)沖擊帶來(lái)的退化這兩部分構(gòu)成。一方面，內(nèi)部退化使得系統(tǒng)抵抗外界沖擊的強(qiáng)度降低，使得系統(tǒng)更容易失效；另一方面，外界沖擊加速了內(nèi)部退化進(jìn)程，表現(xiàn)在兩方面：其一，外界隨機(jī)沖擊帶來(lái)的瞬間退化加快了內(nèi)部退化；其二，沖擊降低了系統(tǒng)的強(qiáng)度進(jìn)而影響了失效閾值。對(duì)于系統(tǒng)性能退化受制于內(nèi)部退化和外界隨機(jī)沖擊的產(chǎn)品而言，其失效可分為軟失效(退化型失效)和硬失效(突發(fā)型失效)。當(dāng)累積退化量超過(guò)失效閾值時(shí)發(fā)生的失效稱(chēng)為軟失效。當(dāng)外界沖擊的強(qiáng)度過(guò)大或者隨機(jī)沖擊次數(shù)的間隔時(shí)間太短發(fā)生的失效稱(chēng)為硬失效。系統(tǒng)的內(nèi)部退化有各種退化模式，而各個(gè)退化模式之間是相關(guān)的。外界沖擊對(duì)各個(gè)退化路徑的失效閾值都會(huì)產(chǎn)生影響，需要建立變失效閾值模型。實(shí)際生活中，各個(gè)退化路徑是相關(guān)的，所以建立相關(guān)性模型很有現(xiàn)實(shí)意義。

近年來(lái)，基于隨機(jī)沖擊和內(nèi)部退化競(jìng)爭(zhēng)失效的可靠性評(píng)估成為研究的熱點(diǎn)。黃文平等[5]基于變失效閾值的競(jìng)爭(zhēng)失可靠性模型，假定退化過(guò)程為線性退化過(guò)程，分別研究了沖擊為極值沖擊、δ沖擊情形下的可靠性模型。Song等[6]研究了在不同部件受到?jīng)_擊時(shí)，基于部件退化對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了可靠性建模，并用仿真驗(yàn)證了模型的實(shí)用性。Hao和Zhao等[9]假定退化為線性伽馬退化過(guò)程，沖擊為泊松過(guò)程，基于競(jìng)爭(zhēng)失效過(guò)程進(jìn)行了多態(tài)相關(guān)的可靠性建模。Fan等[14]基于退化與沖擊相關(guān)競(jìng)爭(zhēng)失效的可靠性建模。

本文從相關(guān)性的角度出發(fā)，對(duì)于伴隨隨機(jī)沖擊及內(nèi)部退化的系統(tǒng)，考慮各退化路徑相關(guān)的情形下，建立了系統(tǒng)可靠性模型。通過(guò)Copula相關(guān)內(nèi)容，刻畫(huà)了各退化路徑之間的相關(guān)性。為了計(jì)算方便，本文假設(shè)性能退化過(guò)程均為線性退化過(guò)程，沖擊過(guò)程為極值沖擊模型，且各參數(shù)均服從正態(tài)分布。最后結(jié)合仿真案例，證明了模型的可行性、有效性和較高的工程應(yīng)用價(jià)值。

1 符號(hào)說(shuō)明和系統(tǒng)描述

1.1 符號(hào)說(shuō)明

1.2 系統(tǒng)描述與模型假設(shè)

假設(shè)系統(tǒng)只存在性能退化失效，但外界存在多個(gè)隨機(jī)沖擊，總退化量由兩部分構(gòu)成：系統(tǒng)的連續(xù)性能退化導(dǎo)致的退化量(簡(jiǎn)稱(chēng)內(nèi)部退化)和每次外界沖擊導(dǎo)致系統(tǒng)性能的退化量的突然增加。

為了模型建立的合理性，進(jìn)行如下假設(shè)：

1) 系統(tǒng)存在k種性能退化模式，且內(nèi)部退化過(guò)程為線性退化過(guò)程；

2) 外界存在m種沖擊，其到達(dá)率為λm的齊次泊松過(guò)程；

3) 同一沖擊對(duì)不同的性能退化造成不同的影響。

當(dāng)系統(tǒng)的任意一種性能退化量Xl(t)超過(guò)失效閾值Hl時(shí)，發(fā)生性能退化失效。假定第l(l=1,…,k)種性能退化模式的退化過(guò)程為

Xl(t)=φl(shuí)+βlt

(1)

(2)

因此系統(tǒng)第l(l=1,…,k)種退化模式的總性能退化量為

(3)

圖1為競(jìng)爭(zhēng)失效的圖解。

圖1 競(jìng)爭(zhēng)失效圖解

2 Copula定義及相Sklar定理

定義1[17]n維Copula是一個(gè)函數(shù)C：[0,1]n→[0,1]，且滿足：

當(dāng)ui,i≠k,i=1,2,…,n=1，對(duì)任意0≤uk≤1，則

定理1[17](n維Sklar定理)H(x1,x2,…,xn)是n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)，其邊際分布分別是F(x1),F(x2),…,F(xn)，那么存在唯一的n維Copula函數(shù)C(u1,u2,…,un)，使得對(duì)任意的(x1,x2,…,xn)∈Rn有

H(x1,x2,…,xn)=Cθ(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))

(4)

其中：θ是相關(guān)程度參數(shù)；Cθ解析形式因相關(guān)結(jié)構(gòu)各異。

3 基于隨機(jī)沖擊的系統(tǒng)可靠性建模

3.1 相關(guān)性失效下伴隨單隨機(jī)沖擊、多退化模式下的可靠度模型

假設(shè)系統(tǒng)存在k種性能退化模式，伴隨一種隨機(jī)沖擊，并且各性能退化之間相互影響。則系統(tǒng)第l(l=1,…,k)種性能退化模式的總性能退化量為

(5)

當(dāng)各性能退化模式失效相關(guān)時(shí)，XS1(t),XS2(t),…,XSk(t)不再獨(dú)立，因此評(píng)估任意t時(shí)刻的可靠度函數(shù)涉及各性能退化模式在t時(shí)刻的聯(lián)合密度函數(shù)f(x1,x2,…,xn;t)。由n維Sklar定理，XS1(t),XS2(t),…,XSk(t)的聯(lián)合密度函數(shù)為

(6)

當(dāng)然XS1(t),XS2(t),…,XSk(t)的時(shí)變相關(guān)結(jié)構(gòu)C(u1,…,un;θt)可以通過(guò)本文后續(xù)第6節(jié)的方法，依據(jù)樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)擬合得到。因此，系統(tǒng)的可靠度函數(shù)為：

RS(t)=P(XS(t)

(7)

3.2 相關(guān)性失效下伴隨多隨機(jī)沖擊、多退化模式下的可靠度模型

假設(shè)系統(tǒng)存在k種性能退化模示，伴隨m種隨機(jī)沖擊，并且各性能退化之間相互影響。則根據(jù)上小結(jié)的思想，系統(tǒng)的可靠度函數(shù)為：

RS(t)=P(XS(t)

(8)

4 基于極值沖擊的系統(tǒng)可靠性建模

當(dāng)外界沖擊為極值沖擊模型，且沖擊到來(lái)的強(qiáng)度服從參數(shù)為λ的泊松過(guò)程時(shí)，假設(shè)系統(tǒng)有一種沖擊兩種退化路徑，其中沖擊均為極值沖擊，退化路徑均為線性退化路徑，沖擊量大小為Wi，所有的Wi為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。在性能退化量小于L1時(shí)，其失效閾值為D1；性能退化量大于L1小于H1時(shí)，其失效閾值為D2。在性能退化量小于L2時(shí)，其失效閾值為D1；性能退化量大于L2小于H2時(shí)，其失效閾值為D2。則在不同失效閾值條件下，系統(tǒng)不發(fā)生突發(fā)失效的概率為

P(Wi

(9)

(10)

其中Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的分布函數(shù)。則系統(tǒng)在(0,t]時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)的可靠度可以表示為

(11)

由于R(t|N(t)=i)的計(jì)算過(guò)于復(fù)雜，以下分5種情況進(jìn)行討論：

1) 系統(tǒng)在(0,t]時(shí)間內(nèi)沒(méi)有發(fā)生外界沖擊，則系統(tǒng)可靠度為

R1(t)=R(t|N(t)=0)·P(N(t)=0)=

P(X1(t)

(12)

2) 系統(tǒng)在(0,t]時(shí)間內(nèi)，發(fā)生外界沖擊大于等于1次，且兩種性能退化量均小于Lp(p=1,2)，則系統(tǒng)可靠度為

(13)

3) 系統(tǒng)在(0,t]時(shí)間內(nèi)，發(fā)生外界沖擊大于等于1次，且第1種性能退化量大于L1小于H1，第2種性能退化量小于L1，則系統(tǒng)可靠度為

(14)

其中RS(t|N(t)=i)為在沖擊次數(shù)為N(t)=i的條件下系統(tǒng)不發(fā)生突發(fā)失效的可靠度函數(shù)。

由于系統(tǒng)在時(shí)刻t的性能退化量大于L1，令u(u

由泊松過(guò)程的獨(dú)立增量性可得

(15)

令FX1(k,L1,t)表示在外界沖擊次數(shù)為N(t)=k且第一種退化性能退化量小于L1的分布函數(shù)。則

(16)

故其密度函數(shù)為

(17)

由此可得：

(18)

4) 系統(tǒng)在(0,t]時(shí)間內(nèi)，發(fā)生外界沖擊大于等于1次，且第一種性能退化量小于L1；第二種性能退化量大于L1小于H1,則系統(tǒng)可靠度的計(jì)算類(lèi)似于 3)，就不再具體給出。

(19)

5) 系統(tǒng)在(0,t]時(shí)間內(nèi)，發(fā)生外界沖擊大于等于1次，且兩種性能退化量均大于Hq(q=1,2)，則系統(tǒng)的可靠度函數(shù)為

(20)

由于系統(tǒng)在時(shí)刻t的性能退化量大于L1，令u1(u1

(21)

(22)

令FX1(k,L1,t)表示在外界沖擊次數(shù)為N(t)=k1且第1種退化性能退化量小于L1的分布函數(shù);FX2(k,L2,t)表示在外界沖擊次數(shù)為N(t)=k2且第1種退化性能退化量小于L2的分布函數(shù)，則

(23)

(24)

故其密度函數(shù)為

(25)

(26)

由此可得

(27)

系統(tǒng)在運(yùn)行到時(shí)刻t時(shí)，其狀態(tài)是上述5種狀態(tài)之一，且它們?yōu)榛コ馐录?，因此系統(tǒng)在時(shí)刻t時(shí)的可靠度為上述5種之和，由此可得：

R(t)=R1(t)+R2(t)+R3(t)+R4(t)+R5(t)

(28)

5 時(shí)變Copula的選擇

假設(shè)存在k種退化模式，觀測(cè)時(shí)間為t1,t2,…,tm，共有N個(gè)試驗(yàn)樣本，獲得觀測(cè)數(shù)據(jù)：

為計(jì)算系統(tǒng)的可靠度，需對(duì)相關(guān)結(jié)構(gòu)進(jìn)行選擇，具體步驟如下：

步驟3記選出的Copula函數(shù)(共M=M1+M2+…+Mm個(gè))集合為：{C1(u1,u2,…,uk,β1),C2(u1,u2,…,uk,β2),…,CM(u1,u2,…,uk,βM)}

步驟4根據(jù)每一備擇Cf(u1,u2,…,un,βf)(f=1,…,M)在tj(j=1,2,…,m)時(shí)刻，得到對(duì)應(yīng)似然函數(shù)：

步驟5將tj(j=1,2,…,m)時(shí)刻k種退化模式的觀測(cè)數(shù)據(jù)按列變量排序：

6 仿真算例

基于微電子機(jī)械系統(tǒng)疲勞機(jī)制，這些研究中強(qiáng)調(diào)的微電子機(jī)械系統(tǒng)器件是Sandia開(kāi)發(fā)的微型發(fā)動(dòng)機(jī)，其正交靜電線性致動(dòng)器連接到輪轂上的齒輪。齒輪主要失效機(jī)理是接觸區(qū)域的磨損，還使用滑動(dòng)梁上試驗(yàn)結(jié)構(gòu)來(lái)測(cè)量不同表面涂層和環(huán)境的摩擦系數(shù)和磨損形態(tài)。其參數(shù)如表1所示。

表1 仿真算例參數(shù)

將表1中的值代入式(28)得到了微電子的可靠性曲線。表中的參數(shù)可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整。

圖2 微電子產(chǎn)品的可靠度函數(shù)

通過(guò)可靠性曲線，得到微電子產(chǎn)品在兩種退化下受到極值沖擊時(shí)，產(chǎn)品的可靠度的一般規(guī)律。隨著時(shí)間的推移，在產(chǎn)品的初期和末期，可靠性曲線下降比較快，而在中期比較平穩(wěn)，這與熟知的產(chǎn)品失效率“浴盆”狀是吻合的。從圖中還可得到受到同一種沖擊的產(chǎn)品，在不同的退化路徑下，其可靠性下降趨勢(shì)是不同的，這與前文得到的結(jié)論是一致的。

7 結(jié)論

對(duì)系統(tǒng)經(jīng)歷性能退化和外界沖擊過(guò)程造成的退化，建立了競(jìng)爭(zhēng)失效可靠性模型。通過(guò)仿真案例，驗(yàn)證了模型的合理性和有效性。

本文基于線性退化軌跡下，有如下結(jié)論：

1) 一般情形下系統(tǒng)可靠性表達(dá)的解析式；

2) 通過(guò)時(shí)變Copula選擇方法，得到了相關(guān)性退化、極值沖擊下系統(tǒng)可靠性表達(dá)式，并具體給出了兩種退化路徑，一種極值沖擊下的可靠度函數(shù)表達(dá)式；

3) 結(jié)合競(jìng)爭(zhēng)失效的理論知識(shí)，在給定參數(shù)下，得到了案例的可靠度函數(shù)，加強(qiáng)了理論知識(shí)。

本文只考慮了退化過(guò)程為線性退化，在后續(xù)的研究中可以考慮多沖擊及其他形式退化過(guò)程下系統(tǒng)競(jìng)爭(zhēng)失效的可靠性建模。