冠狀動脈系統(tǒng)的微分積分終端滑?；煦缫种?/h1>
2019-07-16 08:49:18錢殿偉席亞菲
智能系統(tǒng)學(xué)報(bào) 2019年4期
錢殿偉，席亞菲
（華北電力大學(xué) 控制與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，北京 102206）
近年來，混沌抑制作為生物工程界的關(guān)鍵技術(shù)受到了越來越多的關(guān)注。將混沌抑制原理應(yīng)用到生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域取得了很多理論成果。冠狀動脈是為心臟提供氧氣的肌型血管。血管痙攣是造成心肌梗死、心絞痛等冠狀動脈疾病的根本原因[1-2]。而血管痙攣在數(shù)學(xué)角度上看就是血管的混沌狀態(tài)[3]。血管混沌現(xiàn)象可能會對身體帶來致命威脅[4]。所以，研究冠狀動脈系統(tǒng)的混沌特性，實(shí)現(xiàn)冠狀動脈系統(tǒng)的混沌抑制具有理論意義和實(shí)用價值。
混沌抑制控制方法主要有線性法[5]、非線性方法[6-8]、局部線性方法[9]等。其中線性、局部線性方法只適用于線性或線性化的系統(tǒng)。冠狀動脈系統(tǒng)是一類非線性生物系統(tǒng)，需要設(shè)計(jì)非線性控制器來實(shí)現(xiàn)混沌抑制。采用非線性方法，已經(jīng)提出的混沌抑制方法包括高階自適應(yīng)滑?？刂芠6]、時滯狀態(tài)反饋控制[10]、滑模控制[11]等。
在現(xiàn)實(shí)中，冠狀動脈系統(tǒng)易受體溫、血壓等多種不確定性的影響[1]，這更增大了其混沌抑制的難度。微分積分終端滑模是一種滑?？刂圃O(shè)計(jì)方法，消除了滑動模態(tài)的到達(dá)時間，適用于高相對階系統(tǒng)，這種設(shè)計(jì)方法不存在奇異現(xiàn)象，能精確估計(jì)誤差收斂時間[12]。
雖然滑?？刂圃诨瑒幽B(tài)下對匹配不確定性具有不變性，但是冠狀動脈系統(tǒng)的復(fù)雜性導(dǎo)致其難以滿足滑?？刂频钠ヅ錀l件。已證明，擾動觀測器可以有效地克服非匹配不確定性對滑?？刂葡到y(tǒng)的影響，因此本文結(jié)合微分積分終端滑模控制方法和擾動觀測器來解決不確定性冠狀動脈系統(tǒng)的混沌抑制問題。
1 數(shù)學(xué)模型及問題描述
冠狀動脈本質(zhì)上是一類肌型血管，其動態(tài)集總參數(shù)模型為：
式中：x1是血管內(nèi)徑變化差；x2是血管壓力差；t是時間變量；b、c、λ為冠狀動脈系統(tǒng)的集總參數(shù)；Ecosωt表示系統(tǒng)受到周期性刺激。
圖1表示冠狀動脈系統(tǒng)隨著參數(shù)c變化的分岔圖。其中，初始條件為[x1(0) x2(0)]T=[0.2 0.2]T；其他參數(shù)為 b=0.15、λ=-0.65、E=0.3和 ω=1；時間序列為 2π、4π、6π、10π 和 12π；時間周期為 2π。類似地，冠狀動脈系統(tǒng)隨著λ和b的變化也存在分岔現(xiàn)象。選取參數(shù) b=0.15、λ=-0.65、c=-1.7、E=0.3和ω=1，在同樣的初始條件下，冠狀動脈系統(tǒng)相平面圖如圖2所示。從圖1、圖2可見，冠狀動脈系統(tǒng)在某些參數(shù)下處于混沌狀態(tài)，其混沌抑制問題具有挑戰(zhàn)性。
圖 1 狀態(tài)隨著參數(shù)c變化的分岔圖Fig. 1 Bifurcation diagrams of the states with respect to the change of c
圖 2 冠狀動脈系統(tǒng)的相平面圖Fig. 2 Phase plane of the coronary artery system
定義(1)為標(biāo)稱系統(tǒng)，其不確定性系統(tǒng)為
假設(shè)1系統(tǒng)不確定性d有界，即d*是未知的正實(shí)數(shù)。
假設(shè)2d是慢時變擾動，即。
冠狀動脈系統(tǒng)混沌抑制的目的是通過設(shè)計(jì)控制器使得不確定性系統(tǒng)與標(biāo)稱系統(tǒng)同步，即
式中：02×1=[0 0]T，e=[e1e2]T，和。
根據(jù)式(3)的誤差定義，由式(1)、(2)可得
式中：d=-cd2+λ(1+c)d1；B=[0 -c]T；；假設(shè)3和光滑且李導(dǎo)數(shù)存在。
2 控制設(shè)計(jì)
本文采用微分積分終端滑?？刂品椒ㄒ种乒跔顒用}系統(tǒng)的混沌狀態(tài)，設(shè)計(jì)微分積分終端滑模面為
定理1若定義式(9)為滑模平面，則狀態(tài)變量將在有限時間內(nèi)收斂至02×1，其中為：
式中t11是滑模的到達(dá)時間。
證明所設(shè)計(jì)的滑動模態(tài)開始于t=0，所以成立。由于，所以
進(jìn)一步，對式(9)求導(dǎo)并將式(8)代入可得
為了獲取微分積分終端滑?？刂坡桑x取李雅普諾夫函數(shù)V0=s2/2，對其求導(dǎo)可得，并代入式(15)，令可得微分積分終端滑?？刂坡?/p>
定義估計(jì)誤差ed為
假設(shè)4 ed有界，即|ed|≤，其中是未知的正實(shí)數(shù)。
解式(20)可得
可見，通過選取向量L保證LB2是正常數(shù)，可保證估計(jì)誤差ed在t→∞時指數(shù)收斂。因此，可由擾動觀測器輸出代替式(16)中的。
定理2在假設(shè)1至4下，針對冠狀動脈系統(tǒng)模型(2)，利用輸入-輸出動態(tài)方程(8)，定義微分積分終端滑模面(9)，采用擾動觀測器(18)，設(shè)計(jì)微分積分終端滑?？刂坡?22)，則閉環(huán)混沌抑制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。
證明采用同樣的李雅普諾夫函數(shù)V0=s2/2,對其求導(dǎo)并將式(15)代入，可得
將式(22)代入式(23)得
由于 p11＞0，q11＞0，且 p11＞q11，所以式 (24)中所有滿足。式(24)中的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)滿足不等式(25)：
選擇 ke＞(1-φ)進(jìn)而。
進(jìn)一步，式(24)中第3項(xiàng)可描述為：
3 仿真結(jié)果
在標(biāo)稱系統(tǒng)(1)和不確定性系統(tǒng)(2)中，系統(tǒng)集總參數(shù)取為 b=0.1、λ=-0.65、c=-1.7、E=0.3和ω=1。初始狀態(tài)為[x1(0) x2(0)]T=[0.2 0.2]T。所設(shè)計(jì)的微分積分終端滑模器參數(shù)為α=2、β=2、p11=p21=11、q11=q21=13、ke=2、η=0.1、k=2；所設(shè)計(jì)的擾動觀測器參數(shù)為L=[0 5]T。
式(2)、式(5)中，d1屬于非匹配擾動而d2屬于匹配擾動。由于滑?？刂圃诨瑒幽B(tài)下對匹配擾動具有不變性，因此在仿真中僅考慮非匹配擾動的對系統(tǒng)性能的影響，取d1=2sin(t)和d2=0。
采用文獻(xiàn)[6]中的高階自適應(yīng)滑模控制方法、微分積分終端滑模控制方法以及本文提出的控制方法進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖3 ～ 7所示。如定理2所證，采用所設(shè)計(jì)的控制策略，冠狀動脈系統(tǒng)在非匹配不確定性的影響下能夠?qū)崿F(xiàn)混沌抑制。
圖 3 狀態(tài)軌跡Fig. 3 Trajectories of the states
從圖3可知，微分積分終端滑模控制方法和擾動觀測器可以有效地抑制冠狀動脈系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象，具有較高的跟蹤精確度。而高階自適應(yīng)滑?？刂葡到y(tǒng)受非匹配不確定性的影響較大，動態(tài)響應(yīng)時間較長。圖4表示滑模平面變量，如定理1所證，微分積分終端滑?？刂品椒軌虮ＷC系統(tǒng)誤差在有限時間內(nèi)收斂到零。擾動觀測器的估計(jì)誤差示于圖5。標(biāo)稱系統(tǒng)(1)、不確定性系統(tǒng)(2)和誤差系統(tǒng)(5)的相平面圖示于圖7。
圖 4 滑模面Fig. 4 Sliding surface
圖 5 擾動誤差Fig. 5 Estimate error
圖 6 控制量Fig. 6 Control input
圖 7 標(biāo)稱系統(tǒng)、不確定系統(tǒng)與誤差系統(tǒng)的相平面圖Fig. 7 Phase plane trajectories of the error system, the nominal system and the uncertain system
4 結(jié)束語
本文針對冠狀動脈系統(tǒng)的混沌抑制問題，提出了微分積分終端滑?？刂品椒?，建立了冠狀動脈系統(tǒng)的混沌同步動力學(xué)模型，采用擾動觀測器克服系統(tǒng)中不確定性的不利影響，利用李雅普諾夫理論分析了所設(shè)計(jì)混沌抑制控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通過與高階自適應(yīng)滑模的仿真對比，驗(yàn)證了所提出的控制方法的有效性與可行性。
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混沌抑制控制方法主要有線性法[5]、非線性方法[6-8]、局部線性方法[9]等。其中線性、局部線性方法只適用于線性或線性化的系統(tǒng)。冠狀動脈系統(tǒng)是一類非線性生物系統(tǒng)，需要設(shè)計(jì)非線性控制器來實(shí)現(xiàn)混沌抑制。采用非線性方法，已經(jīng)提出的混沌抑制方法包括高階自適應(yīng)滑?？刂芠6]、時滯狀態(tài)反饋控制[10]、滑模控制[11]等。
在現(xiàn)實(shí)中，冠狀動脈系統(tǒng)易受體溫、血壓等多種不確定性的影響[1]，這更增大了其混沌抑制的難度。微分積分終端滑模是一種滑?？刂圃O(shè)計(jì)方法，消除了滑動模態(tài)的到達(dá)時間，適用于高相對階系統(tǒng)，這種設(shè)計(jì)方法不存在奇異現(xiàn)象，能精確估計(jì)誤差收斂時間[12]。
雖然滑?？刂圃诨瑒幽B(tài)下對匹配不確定性具有不變性，但是冠狀動脈系統(tǒng)的復(fù)雜性導(dǎo)致其難以滿足滑?？刂频钠ヅ錀l件。已證明，擾動觀測器可以有效地克服非匹配不確定性對滑?？刂葡到y(tǒng)的影響，因此本文結(jié)合微分積分終端滑模控制方法和擾動觀測器來解決不確定性冠狀動脈系統(tǒng)的混沌抑制問題。
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圖 1 狀態(tài)隨著參數(shù)c變化的分岔圖Fig. 1 Bifurcation diagrams of the states with respect to the change of c
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式中：02×1=[0 0]T，e=[e1e2]T，和。
根據(jù)式(3)的誤差定義，由式(1)、(2)可得
式中：d=-cd2+λ(1+c)d1；B=[0 -c]T；；假設(shè)3和光滑且李導(dǎo)數(shù)存在。
2 控制設(shè)計(jì)
本文采用微分積分終端滑?？刂品椒ㄒ种乒跔顒用}系統(tǒng)的混沌狀態(tài)，設(shè)計(jì)微分積分終端滑模面為
定理1若定義式(9)為滑模平面，則狀態(tài)變量將在有限時間內(nèi)收斂至02×1，其中為：
式中t11是滑模的到達(dá)時間。
證明所設(shè)計(jì)的滑動模態(tài)開始于t=0，所以成立。由于，所以
進(jìn)一步，對式(9)求導(dǎo)并將式(8)代入可得
為了獲取微分積分終端滑?？刂坡桑x取李雅普諾夫函數(shù)V0=s2/2，對其求導(dǎo)可得，并代入式(15)，令可得微分積分終端滑?？刂坡?/p>
定義估計(jì)誤差ed為
假設(shè)4 ed有界，即|ed|≤，其中是未知的正實(shí)數(shù)。
解式(20)可得
可見，通過選取向量L保證LB2是正常數(shù)，可保證估計(jì)誤差ed在t→∞時指數(shù)收斂。因此，可由擾動觀測器輸出代替式(16)中的。
定理2在假設(shè)1至4下，針對冠狀動脈系統(tǒng)模型(2)，利用輸入-輸出動態(tài)方程(8)，定義微分積分終端滑模面(9)，采用擾動觀測器(18)，設(shè)計(jì)微分積分終端滑?？刂坡?22)，則閉環(huán)混沌抑制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。
證明采用同樣的李雅普諾夫函數(shù)V0=s2/2,對其求導(dǎo)并將式(15)代入，可得
將式(22)代入式(23)得
由于 p11＞0，q11＞0，且 p11＞q11，所以式 (24)中所有滿足。式(24)中的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)滿足不等式(25)：
選擇 ke＞(1-φ)進(jìn)而。
進(jìn)一步，式(24)中第3項(xiàng)可描述為：
3 仿真結(jié)果
在標(biāo)稱系統(tǒng)(1)和不確定性系統(tǒng)(2)中，系統(tǒng)集總參數(shù)取為 b=0.1、λ=-0.65、c=-1.7、E=0.3和ω=1。初始狀態(tài)為[x1(0) x2(0)]T=[0.2 0.2]T。所設(shè)計(jì)的微分積分終端滑模器參數(shù)為α=2、β=2、p11=p21=11、q11=q21=13、ke=2、η=0.1、k=2；所設(shè)計(jì)的擾動觀測器參數(shù)為L=[0 5]T。
式(2)、式(5)中，d1屬于非匹配擾動而d2屬于匹配擾動。由于滑?？刂圃诨瑒幽B(tài)下對匹配擾動具有不變性，因此在仿真中僅考慮非匹配擾動的對系統(tǒng)性能的影響，取d1=2sin(t)和d2=0。
采用文獻(xiàn)[6]中的高階自適應(yīng)滑模控制方法、微分積分終端滑模控制方法以及本文提出的控制方法進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖3 ～ 7所示。如定理2所證，采用所設(shè)計(jì)的控制策略，冠狀動脈系統(tǒng)在非匹配不確定性的影響下能夠?qū)崿F(xiàn)混沌抑制。
圖 3 狀態(tài)軌跡Fig. 3 Trajectories of the states
從圖3可知，微分積分終端滑模控制方法和擾動觀測器可以有效地抑制冠狀動脈系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象，具有較高的跟蹤精確度。而高階自適應(yīng)滑?？刂葡到y(tǒng)受非匹配不確定性的影響較大，動態(tài)響應(yīng)時間較長。圖4表示滑模平面變量，如定理1所證，微分積分終端滑?？刂品椒軌虮ＷC系統(tǒng)誤差在有限時間內(nèi)收斂到零。擾動觀測器的估計(jì)誤差示于圖5。標(biāo)稱系統(tǒng)(1)、不確定性系統(tǒng)(2)和誤差系統(tǒng)(5)的相平面圖示于圖7。
圖 4 滑模面Fig. 4 Sliding surface
圖 5 擾動誤差Fig. 5 Estimate error
圖 6 控制量Fig. 6 Control input
圖 7 標(biāo)稱系統(tǒng)、不確定系統(tǒng)與誤差系統(tǒng)的相平面圖Fig. 7 Phase plane trajectories of the error system, the nominal system and the uncertain system
4 結(jié)束語
本文針對冠狀動脈系統(tǒng)的混沌抑制問題，提出了微分積分終端滑?？刂品椒?，建立了冠狀動脈系統(tǒng)的混沌同步動力學(xué)模型，采用擾動觀測器克服系統(tǒng)中不確定性的不利影響，利用李雅普諾夫理論分析了所設(shè)計(jì)混沌抑制控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通過與高階自適應(yīng)滑模的仿真對比，驗(yàn)證了所提出的控制方法的有效性與可行性。
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