朱偉偉

摘 要：利用傳遞矩陣法，在隨荷載移動的動態(tài)坐標(biāo)系下建立了彈性地基上帶阻尼多跨梁的波傳播分析模型，分析了阻尼和失諧各自單獨作用以及同時存在對波動速度帶的影響。研究表明，阻尼和失諧均會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)中發(fā)生波動局部化，隨著阻尼和失諧程度的增大，波動衰減增強。在速度通帶內(nèi)，阻尼和失諧引起的效應(yīng)可以簡單疊加。對于同一阻尼系數(shù)和失諧水平，阻尼引起的衰減效應(yīng)明顯大于失諧所致。

關(guān)鍵詞：周期梁 移動荷載 失諧 阻尼 波動特性

中圖分類號：O327；TH113 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2019）04（c）-0063-03

實際工程中移動荷載經(jīng)常出現(xiàn)，并使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生強烈的振動以及顯著的變形，因此，研究結(jié)構(gòu)中移動荷載引起的波傳播問題得到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，但以往的研究對象主要集中在均勻結(jié)構(gòu)中。

近年來，一些學(xué)者開始致力于研究諧調(diào)周期結(jié)構(gòu)中由移動荷載引起的波動傳播現(xiàn)象。Aldraihem和Baz[1]利用有限單元法和沖量參數(shù)激振法研究了恒定移動荷載作用下諧調(diào)周期階梯梁的動態(tài)穩(wěn)定性，研究發(fā)現(xiàn)通過調(diào)整階梯梁的空間間距可以改變結(jié)構(gòu)的某些振動模態(tài)，從而提高其穩(wěn)定性，且壓電驅(qū)動器的嵌入將會使結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定效果達到更佳。Ruzzene和Baz[2]針對軸對稱諧調(diào)周期加固圓柱殼，計算了傳遞矩陣的特征值，并給出了不同移動荷載速度和結(jié)構(gòu)尺寸變化對波傳播動力學(xué)的影響，指出周期結(jié)構(gòu)在移動荷載作用下存在傳播域和衰減域，周期性地加固結(jié)構(gòu)可以顯著改善殼體的動態(tài)穩(wěn)定性。Yu等[3]將該方法應(yīng)用到彈性地基上由兩種不同材料構(gòu)成的諧調(diào)周期復(fù)合管系統(tǒng)中，研究了恒定移動荷載作用下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)振動波傳播，明確指出類似于頻域，速度域內(nèi)同樣存在振動帶隙，可以利用此特性控制移動載荷下波動的傳播。但是，實際工程結(jié)構(gòu)總是不可避免地同諧調(diào)周期結(jié)構(gòu)存在一定的偏差，稱之為失諧。失諧會顯著地影響周期結(jié)構(gòu)的動力特性[4-5]。對于帶阻尼失諧周期結(jié)構(gòu)，Bouzit和Pierre[6]以及王晶和于桂蘭[7]對比分析了頻域內(nèi)失諧和阻尼對多跨梁動力特性的影響，指出不同激振頻率下，阻尼和失諧引起的梁動力特性的變化規(guī)律相同。而到目前為止，關(guān)于帶阻尼失諧周期結(jié)構(gòu)由移動荷載引起的波傳播問題的研究很少涉及，因此有必要對其進行研究。

本文由彈性地基上梁的垂向波動微分方程，建立了結(jié)構(gòu)中各跨在隨荷載移動的動態(tài)坐標(biāo)系下的動態(tài)剛度矩陣，并利用傳遞矩陣法得到了相鄰各跨的傳遞矩陣，進而采用局部化因子分析了阻尼和失諧對波動局部化特性的影響，為周期多跨梁的振動控制提供了新的思路。

1 多跨梁波動控制方程和傳遞矩陣

圖1為彈性地基上的多跨梁，荷載以速度沿梁移動。相鄰跨間通過線彈簧和抗彎彈簧與基礎(chǔ)相連，線彈簧剛度和抗彎彈簧剛度分別為Ks和Cs。

利用Winkler地基和Timoshenko梁理論[8]，阻尼采用復(fù)阻尼，則移動荷載下第j跨梁的彎曲波動微分方程可寫為

利用傳遞矩陣，可以計算出d對互為相反的Lyapunov指數(shù)[9]，第d個Lyapunov指數(shù)λd即為局部化因子。對于本文中的諧調(diào)多跨梁結(jié)構(gòu)，相鄰跨間的傳遞矩陣Tj保持不變，且其維數(shù)為4×4，因此局部化因子為λ2。利用局部化因子即可分析失諧周期梁的波動局部化現(xiàn)象。

2 算例及分析討論

根據(jù)上述理論模型，分析阻尼和失諧對移動荷載下彈性地基上周期多跨梁波動局部化特性的影響。所用到的幾何和材料參數(shù)如下：跨長為5m，彈性模量為2.11011N/m2，泊松比0.3，截面慣性矩3.05510-5m4，密度7800kg/m3，橫截面面積7.68410-3m2，截面剪切形狀系數(shù)0.4。無量綱地基剛度系數(shù)，彈簧的線剛度和抗彎剛度。本文設(shè)多跨梁的跨長lj發(fā)生失諧，且服從均值為l0=5m，變異系數(shù)為δ的均勻分布。

2.1 諧調(diào)帶阻尼梁

圖2給出了不同阻尼系數(shù)下，諧調(diào)周期多跨梁（δ=0）中彎曲波動局部化因子隨荷載移動速度的變化情況。由圖可知，當(dāng)阻尼系數(shù)η=0時，結(jié)構(gòu)中存在明顯的速度通帶和禁帶：如在速度區(qū)間m/s，局部化因子λ2>0，該區(qū)間即為速度禁帶，在速度禁帶內(nèi)，波動將局限在移動荷載附近；在速度區(qū)間m/s，局部化因子λ2=0，該區(qū)間即為速度通帶，在速度通帶內(nèi)，波動能夠自由地傳播。對于帶阻尼多跨梁，原速度通帶內(nèi)局部化因子出現(xiàn)大于零的情況，并且隨著阻尼系數(shù)的增大而增加，波動發(fā)生更大的衰減。在通帶區(qū)域邊界處，阻尼引起的衰減通常更大。同時，在低速度通帶內(nèi)，波動衰減得更加強烈，而在高速度區(qū)，阻尼引起的衰減并不明顯。注意到，局部化因子在495和665 m/s附近時突然增大，這種現(xiàn)象是由于此時兩種波的衰減常數(shù)相等，即兩種波合并形成了一種衰減波，衰減程度增強。因而，可以通過調(diào)整結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)和荷載移動速度來改變結(jié)構(gòu)的波傳播特性。

2.2 失諧無阻尼梁

圖3給出了跨長lj發(fā)生失諧，變異系數(shù)取不同值時，失諧無阻尼梁（η=0）中局部化因子隨荷載移動速度的變化曲線。由圖可見，當(dāng)變異系數(shù)δ>0時，對應(yīng)δ=0為速度域通帶的區(qū)間，局部化因子出現(xiàn)大于零的情況，此時表明波動局部化現(xiàn)象發(fā)生，即彎曲波不能在結(jié)構(gòu)中自由地傳播以致傳遍整個結(jié)構(gòu)，而是局限在移動荷載附近。同時，與諧調(diào)周期多跨梁相比，失諧也使得波動局部化的范圍進一步加寬。隨著變異系數(shù)的增加，通帶內(nèi)局部化因子逐漸增加，該區(qū)間的局部化程度相應(yīng)地增強；而且，除第一個禁帶外，局部化現(xiàn)象使得局部化因子在速度通帶內(nèi)逐漸增加，在速度禁帶內(nèi)降低，當(dāng)變異系數(shù)達到0.05時，第一個通帶完全消失了。因此，在移動荷載作用下，失諧周期多跨梁在特定的速度范圍內(nèi)能控制彎曲波在結(jié)構(gòu)中的傳播。比較圖2和圖3知，失諧和阻尼都會引起結(jié)構(gòu)中波動的幅值發(fā)生空間衰減，且兩種情況下引起的梁動力性能的改變具有相同的趨勢。

2.3 阻尼和失諧共同作用的影響

圖4比較了諧調(diào)帶阻尼梁和失諧無阻尼梁中局部化因子隨荷載移動速度的變化情況。同時，對比分析了失諧和阻尼同時存在引起的局部化效應(yīng)與各自單獨影響之間的關(guān)系。由圖可觀察到，在速度通帶內(nèi)，對于諧調(diào)阻尼梁，小阻尼系數(shù)η=0.02所引起的衰減高于失諧無阻尼梁中失諧水平δ=0.05所致，失諧和阻尼共同作用引起的衰減與各自單獨作用產(chǎn)生效果之和吻合良好，說明阻尼和失諧產(chǎn)生的衰減效果可以簡單疊加。當(dāng)荷載速度接近通帶邊界進入速度禁帶時，這種現(xiàn)象逐漸消失。而且，失諧通常會加強由于結(jié)構(gòu)阻尼所引起的衰減，反之亦然。但是，在速度禁帶區(qū)域，阻尼和失諧相互作用則使得失諧阻尼梁中的局部化因子遠小于兩者單獨作用之和。

3 結(jié)語

本文系統(tǒng)地研究了阻尼和失諧對彈性地基上周期多跨梁波動局部化特性的影響，得出以下結(jié)論。

（1）彈性地基上的諧調(diào)無阻尼多跨梁存在速度通帶和禁帶，阻尼作用會使得原速度通帶內(nèi)的局部化因子大于零，波動發(fā)生衰減。

（2）在移動荷載作用下，失諧多跨梁中存在波動局部化現(xiàn)象，隨著失諧水平的增強，波動局部化程度加強。

（3）當(dāng)阻尼系數(shù)和失諧水平相同時，阻尼引起的衰減效應(yīng)要明顯高于失諧所致。同時，在速度通帶，阻尼和失諧引起的效應(yīng)可以簡單疊加。因此，可以選擇調(diào)整阻尼系數(shù)和失諧水平來實現(xiàn)移動荷載下周期結(jié)構(gòu)的振動控制。

參考文獻

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