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(1.湖北輕工職業(yè)技術學院 機電工程學院，武漢 430070；2.武漢工程大學 機電工程學院，武漢 430205；3.武漢軟件工程職業(yè)學院 機械工程學院，武漢 430205)

0 引言

計算超高壓圓筒容器爆破壓力公式的精度，是指公式的理論值與實測爆破壓力的符合程度，反映了理論值與實測值的重現(xiàn)性，公式的精度高是指爆破壓力理論值與實測值的符合程度高。

對于設計壓力大于100 MPa的超高壓圓筒容器，可用流變應力公式(Rheological stress formula)或者福貝爾公式(Faupel formula)計算其爆破壓力，并采用不同的爆破安全系數確定容器的壁厚[1-4]。構建超高壓圓筒容器爆破壓力計算公式精度的比較方法，分析流變應力公式與福貝爾公式在其應用范圍的精度，拓展公式應用范圍或者選擇高精度的公式改進超高壓圓筒容器設計方法，是值得學術界與工程界關心的課題。

文中應用數理統(tǒng)計知識[5-6]，構建超高壓容器爆破壓力計算公式精度的比較方法，基于36組超高壓圓筒容器實測爆破壓力范圍為220.7～1 326.3 MPa的試驗數據[4,7-11]，對流變應力公式與福貝爾公式的精度進行分析與比較。

1 建立模型

1.1 總體、樣本與個體

1.1.1 計算超高壓圓筒容器爆破壓力兩個公式

計算超高壓圓筒容器爆破壓力的流變應力公式與福貝爾公式分別為[1-4]:

(1)

(2)

式中u1——爆破壓力的流變應力公式計算值，MPa；

Rm——材料抗拉強度，MPa；

η——材料屈強比，η=Rp0.2/Rm；

Rp0.2——材料屈服強度，MPa；

K——容器徑比；

u2——爆破壓力的福貝爾公式計算值，MPa。

1.1.2 兩個公式的應用范圍

流變應力公式與福貝爾公式的應用范圍是設計壓力不低于100 MPa的超高壓圓筒容器，即P≥100 MPa。超高壓圓筒容器的設計壓力P、爆破壓力Pb與爆破安全系數nb之間存在如下關系：Pb=nbP≥100nbMPa；采用流變應力公式時，爆破安全系數nb≥2.20[2]，對應的爆破壓力Pb≥220 MPa；采用福貝爾公式時，爆破安全系數nb≥2.50[1,4]，對應的爆破壓力Pb≥250 MPa。

根據以上分析，從設計壓力的角度流變應力公式與福貝爾公式的應用范圍是相同的，但是從超高壓圓筒容器爆破壓力的角度，流變應力公式與福貝爾公式的應用范圍不相同，并且流變應力公式的應用范圍比福貝爾公式廣。

1.1.3 總體、樣本與個體及其關系

從概率論的角度，總體是指在公式應用范圍內，所有超高壓容器爆破壓力實測值與理論值的重現(xiàn)性關系；從數理統(tǒng)計角度，個體是指在滿足總體要求時，單個超高壓容器爆破壓力實測值與理論值的重現(xiàn)性關系，可通過試驗得到；符合總體要求的個體集合稱為樣本，其中個體數量稱為樣本容量。

顯然，總體討論的對象是無限的，得到的結論具有普適性；雖然樣本容量有限，但是構成樣本的個體滿足總體的要求，因此，通過樣本可以對總體的性質(概率分布規(guī)律與分布參數等)進行假設檢驗或者估計。

1.1.4 采用比值法構建隨機變量

為了比較流變應力公式與福貝爾公式的精度，在公式應用范圍內采用比值法建立如下隨機變量：

Ri=Pb/ui(i=1,2)

(3)

式中R1——流變應力公式對應的隨機變量；

R2——福貝爾公式對應的隨機變量；

Pb——容器實際爆破壓力，MPa；

ui——爆破壓力的計算值，MPa，當i=1，2時，u1與u2分別為爆破壓力的流變應力公式計算值與福貝爾公式計算值。

1.1.5 樣本統(tǒng)計

根據以上分析，可將滿足公式應用范圍的所有超高壓容器實際爆破壓力視為總體，其中,單個超高壓容器實測爆破壓力視為個體，若干個個體數據組成樣本。雖然流變應力公式與福貝爾公式的應用范圍都是設計壓力不低于100 MPa的超高壓容器，但是兩個公式的爆破安全系數不一樣，其總體、樣本與個體的實際爆破壓力范圍顯然不一樣。

對于流變應力公式，總體、樣本與個體的實測爆破壓力必須滿足：Pb≥220 MPa；對于福貝爾公式，總體、樣本與個體的實測爆破壓力必須滿足：Pb≥250 MPa。

用r1與r2分別表示R1與R2的樣本，對于第j個個體實測爆破壓力，根據式(1)～(3)可得統(tǒng)計量：

ri,j=Pj/ui,j

(4)

式中Pj——第j個個體實測爆破壓力，MPa；

ui,j——用第i個公式得到的第j個個體爆破壓力的理論值，MPa。

對于容量為mi的樣本ri進行統(tǒng)計，可得到樣本的準確度及精密度，即:

(5)

(6)

mi——樣本ri的容量;

Si——樣本ri的精密度。

1.2 公式精度的評價

1.2.1 評價指標

公式精度根據總體的性質,即R1和R2的概率分布規(guī)律與分布參數進行評價。當R1與R2基本符合正態(tài)分布時，R1的分布參數分別為均值μ1、標準差σ1與變異系數C1，其中：

C1=σ1/μ1

(7)

R2的分布參數分別為均值μ2、標準差σ2與變異系數C2，其中:

C2=σ2/μ2

(8)

準確性與集中性是評價計算公式在其應用范圍內精度的兩個方面；均值μ1與μ2分別是式(2)與式(3)準確性度量指標，其期望值為“1”；變異系數C1與C2分別是式(1)與式(2)集中性度量指標，其期望值為“0”，由于各種因素的影響，其實際期望值只能是接近“0”的某個正數。變異系數小是均值接近“1”的前提，即其是評價公式精度的最重要指標。

1.2.2 標準差無顯著差異的假設檢驗

根據數理統(tǒng)計知識，用樣本r1和r2的統(tǒng)計數據與F假設檢驗[5-6,12-14]，可判斷流變應力公式與福貝爾公式在其應用范圍的標準差是否有顯著差異。顯著度為α時，比較σ1與σ2是否有顯著差異的檢驗統(tǒng)計量F為:

(9)

假設R1與R2的標準差無顯著差異：σ1=σ2；若F滿足:

F1-0.5α(m1-1,m2-1)≤F≤F0.5α(m1-1,m2-1)

(10)

接受標準差無顯著差異即σ1=σ2的假設。其中:

(11)

當α=0.02時，文中所用F臨界值見表1[5-6]。

表1 分布系數

1.2.3 均值無顯著差異的假設檢驗

當R1與R2的標準差無顯著差異時，根據數理統(tǒng)計知識，采用樣本數據與t假設檢驗[5-6]，可判斷R1與R2的均值是否有顯著差異。在公式相同應用范圍內及雙側置信度為1-α時，比較均值μ1與μ2是否有顯著差異的檢驗統(tǒng)計量t為：

(12)

假設均值無顯著差異：μ1=μ2；如果t滿足:

∣t∣

(13)

接受μ1與μ2無顯著差異即μ1=μ2的假設。

當α=0.01時,文中所用t臨界值見表1[5-6]。

1.2.4 兩個隨機變量同一性評價

當R1與R2的分布參數同時滿足式(10)與式(13)時，表明其標準差σ1與σ2和均值μ1與μ2分別無顯著差異，由式(7)與式(8)可知，R1與R2的變異系數也無顯著差異，即式(1)與式(2)在相同應用范圍的精度相等。

由于R1與R2的標準差σ1與σ2、均值μ1與μ2以及變異系數無顯著差異，因此，R1與R2是同一個基本符合正態(tài)分布的隨機變量。

1.3 概率分布

R1與R2分別基本符合正態(tài)分布,是進行公式精度評價的基礎，分析其概率分布包括3個內容:一是試驗個體的有效性;二是根據樣本r1與r2的統(tǒng)計數據，分析R1與R2的分布規(guī)律;三是分析R1與R2的分布參數。

1.3.1 試驗個體的有效性

試驗個體有效性的比較依據[15-16]為:

(14)

式中ti,j——第i個公式第j個個體有效性的比較依據。

雙側置信度為1-α時，試驗個體有效性的判據為：

∣ti,j∣

(15)

如果ti,j滿足式(15)，則ri,j在雙側置信度為1-α時有效。

當α=0.005時,文中所用的t分布臨界值見表1[5-6]。

1.3.2 分布規(guī)律

假設檢驗是判斷R1與R2分布規(guī)律的常用方法，具體步驟見參考文獻[5-6,17-23]。

1.3.3 分布參數

在自由度為m-1與雙側置信度為1-α時，可根據樣本r1與r2的統(tǒng)計數據分析隨機變量R1與R2分布參數的取值區(qū)間。

(1)R1分布參數取值區(qū)間。

R1均值μ1的取值區(qū)間[5-6]為：

μ1∈[μ1min,μ1max]

(16)

其中:

(17)

(18)

式中t1-0.5α,m1-1——單側置信度為1-0.5α時的t分布系數。

r1標準差σ1的取值區(qū)間[5-6]為:

σ1∈[σ1min,σ1max]

(19)

其中:

(20)

(21)

當α=0.02時，文中所用的t與χ2分布系數見表1[5-6]。

(2)R2分布參數取值區(qū)間。

R2均值μ2的取值區(qū)間[5-6]為:

μ2∈[μ2min,μ2max]

(22)

其中：

(23)

(24)

式中t1-0.5α,m2-1——單側置信度為1-0.5α時的t分布系數。

R2標準差σ2的取值區(qū)間[5-6]為:

σ2∈[σ2min,σ2max]

(25)

其中:

(26)

(27)

(3)分布參數的優(yōu)化。

當R1與R2的分布參數同時滿足式(10)與式(15)時，表明R1與R2是同一個基本符合正態(tài)分布的隨機變量R，R分布參數的取值區(qū)間應是R1與R2取值區(qū)間的公共部分。

根據以上分析，R均值μ的取值區(qū)間為：

μ∈[μmin,μmax]

(28)

其中:

μmin=max(μ1min,μ2min)

(29)

μmax=min(μ1max,μ2max)

(30)

R標準差σ的取值區(qū)間為:

σ∈[σmin,σmax]

(31)

其中:

σmin=max(σ1min,σ2min)

(32)

σmax=min(σ1max,σ2max)

(33)

R變異系數C的取值區(qū)間為:

C∈[Cmin,Cmax]

(34)

其中：

Cmin=σmin/μmax

(35)

Cmax=σmax/μmin

(36)

2 試驗樣本與個體有效性

2.1 試驗樣本與統(tǒng)計

文獻[4，7-11]中提供的36組超高壓圓筒容器實測爆破壓力范圍為220.7～1 326.3 MPa的樣本，依次按實測爆破壓力從小到大列入表2。

表2 超高壓圓筒容器爆破壓力試驗樣本及統(tǒng)計

2.2 個體有效性分析

對于流變應力公式，將36組試驗數據的準確度與精密度數據代入式(14)與式(15)，可知∣t1,j∣

對于福貝爾公式，將序號為4～36的33組試驗數據的準確度與精密度數據代入式(14)與式(15)，可知∣t2,j∣

3 分布規(guī)律

表3 分布規(guī)律的統(tǒng)計

取顯著度為0.05，由自由度3查表1，可得到皮爾遜統(tǒng)計量臨界值為7.815。

由于樣本r1與r2的皮爾遜統(tǒng)計量之和分別為6.690 8與6.023 5，均小于臨界值7.815，因此假設成立，即R1與R2分別是基本符合正態(tài)分布的隨機變量。

4 精度的比較與評價

根據以上分析，在顯著度為0.05時，R1與R2是基本符合正態(tài)分布的隨機變量，可用式(9)～(13)進行R1與R2均值與標準差比較。

4.1 精度比較

4.1.1 標準差比較

假設R1與R2的標準差無顯著差異：σ1=σ2；將表2統(tǒng)計數據代入式(9)，可得:F=0.896。

由m1=36與m2=33，查表1得F0.99(35,32)=0.443，F(xiàn)0.01(35,32)=2.290，因此，F(xiàn)滿足式(10)，即:

F0.99(35,32)

在α=0.02,即雙側置信度為98%時，接受假設，R1與R2的標準差σ1與σ2無顯著差異。

4.1.2 均值比較

因為R1與R2的標準差無顯著差異，由式(12)可得:t=1.290。

由m1=36與m2=33以及α=0.01，查表1可得：t0.99,67=2.654；均值μ1與μ2是否存在顯著差異比較依據t滿足判據式(13)，即滿足∣t∣≤2.654，因此，在α=0.01，即雙側置信度為98%時，R1與R2的均值μ1與μ2無顯著差異。

4.2 精度評價

在雙側置信度為98%時，用流變應力公式與福貝爾公式計算超高壓圓筒容器的爆破壓力，隨機變量R1與R2的均值μ1與μ2以及標準差σ1與σ2分別無顯著差異。根據式(7)，(8)可知，其變異系數C與C1或C2無顯著差異，因此，在對應的應用范圍內，流變應力公式與福貝爾公式的精度相同。

以上分析還表明，R1與R2是同一個基本符合正態(tài)分布的隨機變量。

5 分布參數的取值區(qū)間及其優(yōu)化

將表1，2數據代入式(16)～(27)，在雙側置信度為98%時，可得到R1與R2分布參數的取值區(qū)間。

R1均值與標準差的取值區(qū)間分別為：

μ1∈[1.004 4，1.069 0]

(37)

σ1∈[0.061 24，0.107 8]

(38)

R2均值與標準差的取值區(qū)間分別為:

μ2∈[0.975 4，1.047 2]

(39)

σ2∈[0.064 05，0.115 8]

(40)

由于R1與R2可視為基本符合正態(tài)分布的同一隨機變量R，因此，將式(37)～(40)代入式(28)～(36)，可分別得到R均值、標準差與變異系數的取值區(qū)間:

μ∈[1.004 4，1.047 2]

(41)

σ∈[0.061 24，0.107 8]

(42)

C∈[0.058 48，0.107 3]

(43)

6 結語

應用數理統(tǒng)計與概率論知識，構建了超高壓圓筒容器爆破壓力計算公式精度的評價指標與比較方法?；?6組超高壓圓筒容器實測爆破壓力樣本，分析比較了流變應力公式與福貝爾公式在其應用范圍的精度。

(1)雙側置信度為99.5%時，對于流變應力公式，文中超高壓圓筒容器實測爆破壓力范圍為220.7～1 326.3 MPa的樣本,36組個體試驗數據是有效的；對于福貝爾公式，文中超高壓圓筒容器實測爆破壓力范圍為255.1～1 326.3 MPa的樣本,33組個體試驗數據是有效的。

(2)顯著度為0.05時，36組超高壓圓筒容器實測爆破壓力與流變應力公式之比，以及33組超高壓圓筒容器實測爆破壓力與福貝爾公式理論值之比，分別是基本符合正態(tài)分布的隨機變量。

(3)雙側置信度為98%時，以上兩個隨機變量分布參數的均值與標準差分別無顯著差異，可視為同一個基本符合正態(tài)分布的隨機變量；該隨機變量的均值位于1.004 4～1.047 2之間，標準差位于0.061 24～0.107 8之間，變異系數位于0.058 48～0.107 3之間。

(4)對于設計壓力不低于100 MPa的超高壓圓筒容器，采用流變應力公式(爆破安全系數不小于2.20)與福貝爾公式(爆破安全系數不小于2.50)進行基于爆破壓力的壁厚設計計算具有相同的精度。