彭雨豪，陳超波，黃姣茹

（西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，西安710021）

目前，永磁同步電機(jī)在人們?nèi)粘Ｉ钪斜夭豢缮?，成為整個工業(yè)革命的核心。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，各個領(lǐng)域研究的快速發(fā)展，人們對電機(jī)性能的要求越來越高。然而無論如何使用電機(jī)，都需要精確地掌握電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置，以便監(jiān)測系統(tǒng)的穩(wěn)定性并加以控制。當(dāng)前，在傳統(tǒng)的永磁同步電機(jī)控制中，要檢測到電機(jī)的轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)子位置，就必須在電機(jī)軸上安裝一個速度傳感器[1-2]。如果增加機(jī)械傳感器，會使電機(jī)軸體變大，相關(guān)的維修變得復(fù)雜，且容易受惡劣環(huán)境的影響，導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定性變差。這使得無速度傳感器技術(shù)有了發(fā)展空間[3-4]。

近年來，誕生了多種智能估計算法，文獻(xiàn)[5]提出的動態(tài)轉(zhuǎn)速估計法，包含轉(zhuǎn)子磁通估計和轉(zhuǎn)子反電勢估計2 種方法，存在對電機(jī)的參數(shù)變化敏感等缺點(diǎn)；文獻(xiàn)[6-7]提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，使用誤差反向傳播算法的自適應(yīng)律估計轉(zhuǎn)速，電流模型轉(zhuǎn)子磁鏈觀測器被神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所替代，電機(jī)參數(shù)來源于網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，但計算量大，實現(xiàn)其硬件尚有難度。還有如滑膜觀測器法[8-10]、自適應(yīng)估算法[11-13]等，同樣計算過程較為復(fù)雜，需要具備數(shù)據(jù)處理較好的硬件設(shè)施?；诖?，提出了算法簡便且可保證精度的估算方法，即基于擴(kuò)展卡爾曼濾波方法。

1 無速度傳感器永磁同步電機(jī)系統(tǒng)模型

永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型不僅是一個非線性系統(tǒng)模型，同時也是一個強(qiáng)耦合的多變量系統(tǒng)模型。為建立正弦波永磁同步α-β 軸兩相坐標(biāo)系，必須滿足一定條件，假設(shè)：①忽略電機(jī)鐵心的飽和；②不計電機(jī)中的渦流和磁滯損耗；③電機(jī)的電流為對稱的三相交流正弦波電流。

由電機(jī)數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得永磁同步電機(jī)α-β 軸下的數(shù)學(xué)關(guān)系為

電壓方程

磁鏈方程

式中：uα和uβ，iα和iβ分別為兩相靜止坐標(biāo)系下的定子電壓、定子電流；R 為定子電阻；L 為定子電感；φf為轉(zhuǎn)子磁鏈；ω 為機(jī)械轉(zhuǎn)子角速度；θ 為轉(zhuǎn)子位置角。

式（3）為根據(jù)數(shù)學(xué)建模得出的永磁同步電機(jī)參數(shù)關(guān)系式，將其改寫為卡爾曼濾波模型的形式：

取

式中：X 為狀態(tài)變量；Y 為系統(tǒng)觀測變量。

由于永磁同步電機(jī)系統(tǒng)中受到環(huán)境變化、電壓波動以及存在測量噪聲等干擾因素，因此在系統(tǒng)模型中考慮噪聲Wk和Vk。建立離散化后的系統(tǒng)模型為

其中

葉曉曉看著自己的父親，他暴跳如雷，兩手鮮血淋漓的，他不知道，為了買那只剃須刀，葉曉曉舍棄了三條裙子和一件T恤。那一刻，她心里也有些許的恨意升上來，眼淚也一滴一滴地掉下來，滴到她的膝蓋上，滴到抱著膝蓋的手指上。

式中：Xk為k 時刻的狀態(tài)變量；Yk為k 時刻的觀測變量；f［Xk］為非線性函數(shù)；h［Xk］為線性函數(shù)；np為電機(jī)的極對數(shù)；Wk和Vk分別為系統(tǒng)噪聲和觀測噪聲，且服從均值為零、方差各為Q和S 的不相關(guān)高斯白噪聲。

2 擴(kuò)展卡爾曼濾波算法

在實際情況中，系統(tǒng)總是有不同程度的非線性關(guān)系。針對非線性系統(tǒng)，卡爾曼濾波已不再適用，因此推廣出擴(kuò)展卡爾曼濾波算法。其核心思想是，首先圍繞濾波值X 將非線性函數(shù)f和h 使用泰勒展開，略去二階及以上項，得到一個近似的線性化的模型，然后應(yīng)用卡爾曼濾波完成對目標(biāo)的濾波估計等處理。

在此所提出的估算方法就是基于擴(kuò)展卡爾曼濾波方法，將標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼擴(kuò)展至非線性系統(tǒng)領(lǐng)域，使其可以運(yùn)用到電機(jī)模型中。只需采集電機(jī)的固有信息便可準(zhǔn)確估算出電機(jī)的轉(zhuǎn)速。

考慮離散系統(tǒng)的動態(tài)方程式（7），將非線性函數(shù)f（*）圍繞濾波值X?k做一階Taylor 展開，得到

令，

因此經(jīng)過線性化處理的狀態(tài)方程為

同理，可得線性化的觀測方程為：

其中

對線性化后的模型（9）和（10）應(yīng)用卡爾曼濾波基本方程，可得擴(kuò)展卡爾曼濾波遞推方程，遞推公式如式（11）～式（15）：

式中：I 為n 維的單位矩陣。

擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的流程如圖1所示。

該算法的狀態(tài)估計分為預(yù)測和校正2 部分，最優(yōu)濾波估計值=預(yù)測估計值+修正值。算法的第1 部分，通過給定系統(tǒng)的初始狀態(tài)變量，以及初始協(xié)方差矩陣進(jìn)行一步預(yù)測，得出k+1 時刻狀態(tài)和協(xié)方差的估計值；第2 部分，通過測量得到的觀測值修訂一步預(yù)測所得到的估計值，計算出k+1 時刻的濾波值。其中包含狀態(tài)與協(xié)方差的更新以及卡爾曼增益的計算。如此循環(huán)2 個部分，最終得出系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計值。

3 仿真與分析

所使用的永磁同步電機(jī)參數(shù)見表1。永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)速估計的仿真模型如圖2所示。

圖1 擴(kuò)展卡爾曼濾波算法流程Fig.1 Flow chart of extended Kalman filter algorithm

表1 永磁同步電機(jī)系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System parameters of permanent magnet synchronous motor

圖2 由上下2 部分組成：上半部分為永磁同步電機(jī)模型；下半部分為擴(kuò)展卡爾曼濾波算法部分，其左端輸入的是電機(jī)2 項靜止坐標(biāo)軸下的定子電壓和電流，經(jīng)過擴(kuò)展卡爾曼算法估算（S 函數(shù)形式），最終在最右端的綜合示波器表示電機(jī)真實波形與卡爾曼估計的波形作對比。

擴(kuò)展卡爾曼濾波器的參數(shù)如下：

1）初始狀態(tài)向量

2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

圖2 擴(kuò)展卡爾曼濾波仿真模型Fig.2 Extended Kalman filter simulation model

3）觀測矩陣

4）初始協(xié)方差矩陣

5）方差

基于表1所給電機(jī)參數(shù)，對算法進(jìn)行仿真驗證。結(jié)果顯示，電機(jī)的電角速度為314 rad/s，由于仿真所采用的永磁同步電機(jī)的極對數(shù)為4，因此電機(jī)的機(jī)械轉(zhuǎn)速為78．5 rad/s。

電機(jī)轉(zhuǎn)速對比的仿真結(jié)果如圖3所示。由圖可見，當(dāng)轉(zhuǎn)速上升時擴(kuò)展卡爾曼濾波估計值稍有延時，短暫時間后，估計轉(zhuǎn)速與真實轉(zhuǎn)速幾乎重合，由此可見擴(kuò)展卡爾曼濾波算法可以很好地估算電機(jī)的轉(zhuǎn)速。當(dāng)噪聲較小時，估計值能迅速地跟蹤真實值，從而盡早給出可靠的轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)值。電機(jī)轉(zhuǎn)速誤差如圖4所示。由圖可見，轉(zhuǎn)速的誤差在0．1 s 時基本無誤差，估計值幾乎等于真實值。

圖3 電機(jī)轉(zhuǎn)速對比Fig.3 Comparison of motor speed

圖4 電機(jī)轉(zhuǎn)速誤差Fig.4 Motor speed error

基于此可以看出，采用卡爾曼濾波算法可以對電機(jī)的轉(zhuǎn)速進(jìn)行很好的預(yù)估，從而省去了速度傳感器的安裝，簡化了電機(jī)結(jié)構(gòu)。

此外，設(shè)定電機(jī)在0．1 s 時突然提高轉(zhuǎn)速，并在0．25 s 時降至原值。以此測試當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速有所變化時，擴(kuò)展卡爾曼濾波算法是否可以精確地估算出電機(jī)參數(shù)。轉(zhuǎn)速突變估計及電機(jī)轉(zhuǎn)速誤差的仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 轉(zhuǎn)速突變估計Fig.5 Speed mutation estimation

圖6 電機(jī)轉(zhuǎn)速誤差Fig.6 Motor speed error

由圖可見，即使電機(jī)在途中調(diào)速，而且估計誤差波動的范圍很小，該濾波器依然可以精確地估算出轉(zhuǎn)速。由此驗證了在系統(tǒng)多變的情況下濾波器精準(zhǔn)且高效的估算能力。

4 結(jié)語

在該濾波算法的設(shè)計中，永磁同步電機(jī)是一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。針對這類系統(tǒng)，將卡爾曼濾波算法進(jìn)行擴(kuò)展，使其可以解決與非線性系統(tǒng)的相關(guān)問題。該算法不但估計精確而且運(yùn)算簡便。擴(kuò)展卡爾曼濾波著實為最優(yōu)估計濾波，對于永磁同步電機(jī)系統(tǒng)，依舊可以很好地估算出電機(jī)轉(zhuǎn)速。因此，采用無速度傳感器，可以取代傳統(tǒng)機(jī)械傳感器，簡化數(shù)據(jù)的測量過程。