摘要:Lagrange中值定理在《數(shù)學(xué)分析》一書中起承上啟下作用,它的引入方面可以與圖片旋轉(zhuǎn)模式對其幾何意義一目了然,通過輔助函數(shù)證明其定理。
關(guān)鍵詞:Lagrange中值定理;圖片旋轉(zhuǎn);幾何意義;輔助函數(shù);證明
一、教材背景分析
在數(shù)學(xué)分析中,Lagrange中值定理是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分,為后面Cauchy中值定理具有重大影響作用;同時,在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用也起著橋梁的作用。
Lagrange中值定理,建立了函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)之間的定量聯(lián)系,成為我們討論怎樣由導(dǎo)數(shù)的已知性質(zhì)推斷函數(shù)所具有的性質(zhì)的有效工具。
二、教學(xué)目標(biāo)
1.知識目標(biāo)
掌握Lagrange中值定理及對應(yīng)的幾何意義,掌握基本的一些推論。
2.能力目標(biāo)
首先讓同學(xué)們了解四大定理(Roll定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,泰勒定理),然后通過前期學(xué)習(xí)的Roll定理,類比學(xué)習(xí)Lagrange中值定理,培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象、概括和遷移的學(xué)習(xí)能力。
3.情感態(tài)度與價值觀
在教學(xué)的過程中,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)教學(xué)知識的融會貫通,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想,以及嚴(yán)密的思維方法,從而親近數(shù)學(xué),愛上數(shù)學(xué)。
三、教學(xué)重難點(diǎn)分析
重點(diǎn):Lagrange中值定理的引入及其證明。
難點(diǎn):Lagrange中值定理滿足條件的探求,Lagrange中值定理的應(yīng)用。
四、教學(xué)目標(biāo)
1.通過上節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的Roll中值定理,類比學(xué)習(xí)和理解Lagrange中值定理,培養(yǎng)數(shù)學(xué)分析,抽象,概括,遷移的學(xué)習(xí)能力。
2.通過學(xué)習(xí)定理,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的融會貫通,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想,以及嚴(yán)密的思維方法。
五、新課講解
1.Roll定理的回顧與Lagrange中值定理的引入
①在閉區(qū)間[a,b]連續(xù);
②在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo);
③ .
Roll定理的幾何意義已經(jīng)講過,如下所示
現(xiàn)在我們將這個圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn),請同學(xué)們注意發(fā)生的變化大家看看有什么不同。通過旋轉(zhuǎn)得到的圖形和原來的圖形只是位置發(fā)生了改變,但是它的作用也發(fā)生了一些變化,通過旋轉(zhuǎn)得到的圖形幾何意義就是本節(jié)課探討的內(nèi)容,Lagrange中值定理。
2. Lagrange中值定理
類比前面Roll定理的幾何意義猜想出Lagrange中值定理滿足的條件
若函數(shù)f滿足如下條件:
①f在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù);
②f在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo),
則在(a,b)上至少存在一點(diǎn)ξ,使得
稱為Lagrange中值定理.
顯然,特別當(dāng)f(a)=f(b)時,為Roll定理.
3. Lagrange中值定理的證明
具體證明通過借助輔助函數(shù)可以證明
證明:作輔助函數(shù)
顯然,①
②F(x)在[a, b]連續(xù),
③F[x]在(a,b)可導(dǎo)
可得: 命題得證.
4. Lagrange中值定理的幾何意義
我們從幾何的角度看一個問題,如下:
設(shè)連續(xù)函數(shù) ,a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(diǎn)( ),假定此函數(shù)在(a,b)上處處可導(dǎo),也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖象上處處有不垂直與x軸的切線,那么我們從旋轉(zhuǎn)的圖容易看到,差商 就是割線AB的斜率,若我們把割線AB作平行于自身的移動,那么至少有一次機(jī)會會達(dá)到離割線最遠(yuǎn)的一點(diǎn) 處成為曲線的切線,爾切線的斜率為 ,由于切線與割線是平行的,因此 成立.
補(bǔ)充說明:
它有幾種常用的等價形式,可以根據(jù)不同問題的特點(diǎn),在不同場合靈活采用:
參考文獻(xiàn):
[1]數(shù)學(xué)分析上冊/華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.—4版.—北京:高等教育出版社,2010.7(2015.5重?。?
[2]數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法/裴禮文.—2版.—北京:高等教育出版社,2006.4(2017.3重?。?
[3]微分中值定理的證明及應(yīng)用中的輔助函數(shù)構(gòu)造/余麗.重慶三峽學(xué)院學(xué)報.2014.3.
作者簡介:向曉鳳(1998—),女,漢族,重慶巫溪人,重慶三峽學(xué)院在校學(xué)生,研究方向:數(shù)學(xué)教育和計算數(shù)學(xué)。