王柳

摘?要：基于現(xiàn)金流的內(nèi)部收益率計算是投資項目評估中的一個重要問題。利用高等數(shù)學(xué)方法提供了有限和無限現(xiàn)金流的內(nèi)部收益率計算的統(tǒng)一、高效方法，并對不同類型的理財產(chǎn)品進行了分析。

關(guān)鍵詞：內(nèi)部收益率;高等數(shù)學(xué);二分法

中圖分類號：F23?????文獻標識碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.17.033

在財務(wù)管理中，內(nèi)部收益率（Internal rate of return，IRR，又稱內(nèi)含收益率），是指滿足

∑Tt=1Ct（1+r）t=C0

的r，其中Ct是t時刻流入的現(xiàn)金。

本文利用高等數(shù)學(xué)方法給出一種計算r的方法：二分法。

命

f（r）=∑Tt=1Ct（1+r）t

則問題等價于尋找r滿足f（r）=C0.假設(shè)f（0）>C0，f（a）

x=0，y=0

取z=x+y2，如果f（z）=0，則r=z，停止;否則如果f（z）<0，則保持x不變，命y=z;如果f（z）>0，則保持y不變，命x=z。不斷重復(fù)這個過程，由介值定理可以知道，z最終會無限趨近于r。

[例1]市場上有一種36年期理財產(chǎn)品，每購買10000元，接下來的36年每年可以領(lǐng)取500元，求該理財產(chǎn)品的內(nèi)部收益率IRR。

[解]假設(shè)內(nèi)部收益率IRR為r，則有

∑36t=1500（1+r）t=10000

利用等比數(shù)列求和公式有

g（r）=1-1（1+r）36-20r=0

有g(shù)（0）=0，g（1）=-19<0，下面用二分法求解。r

取z1=12（0+1）=12，g（z1）=-9<0;

取z2=12（0+z1）=14，g（z2）=-4<0;

取z3=12（0+z2）=18，g（z3）=-1.514<0;

取z4=12（0+z3）=116，g（z4）=-0.362<0;

取z5=12（0+z4）=132，g（z5）=0.044>0;

取z6=12（z4+z5）=164，g（z6）=-0.129<0;

取z7=12（z5+z6）=1128，g（z7）=-0.032<0;

取z8=12（z7+z8）=1256，g（z8）=0.008>0;

取z9=12（z8+z9）=1512，g（z9）=-0.011<0;

取z10=12=371024，g（z10）=-0.001<0;

所以r=z10=3.61%

高等數(shù)學(xué)中的無窮級數(shù)可以用來處理無限期現(xiàn)金流問題。

[例2]市場上有一種無限期理財產(chǎn)品，每購買10000元，第一年可領(lǐng)取100元，以后可領(lǐng)取的金額逐年遞增200元（即第2年可領(lǐng)取100元，第3年可領(lǐng)取300元，依次類推），求該理財產(chǎn)品的內(nèi)部收益率IRR。

[解]假設(shè)內(nèi)部收益率IRR為r，則有

100∑∞k=1k（1+r）k=10000

命

f（x）=∑∞k=1kxk，x∈（0，1）

則

f（x）x=∑∞k=1kxk-1=ddx∑∞k=1xk=ddx1（1-x）=1（1-x）2

所以

f（x）=x（1-x）2

所以

11+r1+11+r2=1001+rr2=100

解得

r=2401-1=10.5%

參考文獻

[1]艾蔚，朱萌.基本養(yǎng)老保險個人賬戶內(nèi)部收益率問題研究[J].海南金融， 2017，（7）：22-27.

[2]吳博文.職工基本養(yǎng)老保險制度不同繳費基數(shù)參保者收入再分配效應(yīng)的實證研究——基于內(nèi)部收益率的測算[D].杭州：浙江大學(xué)，2016：22-41.

[3]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第7版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4]張維全.內(nèi)部收益率的計算及其在投資決策中的應(yīng)用[J].工業(yè)技術(shù)經(jīng)濟，2005，（06）.

[5]關(guān)繼芳.內(nèi)部報酬率法新解[J].襄樊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2003，（04）.