☉江蘇省睢寧縣第二中學 朱 振

學生進入初三，中考備考隨之而來，在初三下學期數(shù)學學科基本上都是復習了.為了科學備考，讓學生進一步明確考向，學校近期舉行了一次關(guān)于圖形與幾何的公開課，經(jīng)過集體備課后讓青年教師曬課，再集體打磨，讓我校初三數(shù)學備課組形成了合力.

一、分析近年來數(shù)學試卷的特點，研究課堂教學的程序

集體備課時，我們帶來了近三年的中考數(shù)學試卷.展開這些中考試卷不難發(fā)現(xiàn)，試題重視對學生發(fā)展必需的核心知識、基本技能的考查的同時，還注重對數(shù)學思考、解決問題能力和數(shù)學活動過程的考查.其中，圖形與幾何方面的綜合考題植根于圓的性質(zhì)等知識的整合，以及平面幾何圖形的有關(guān)計算問題等方面.為此，本節(jié)內(nèi)容選定為圓和圓的位置關(guān)系，從學習目標、知識再現(xiàn)和試題突破等環(huán)節(jié)進行教學，由激情四射的青年教師劉老師曬課.

二、課堂實錄

1.教師通過電子白板向?qū)W生展示學習的三維目標并解讀

（1）知識目標：通過相交兩圓、相切兩圓的復習，發(fā)展學生對概念與性質(zhì)的認知能力；

（2）能力目標：通過相交兩圓、相切兩圓的性質(zhì)探究，提升學生的讀圖能力和動手操作能力；

（3）情感與價值觀目標：體驗數(shù)學活動充滿著探究與創(chuàng)新，感受中考數(shù)學命題蘊含著科學的數(shù)學思想.

2.通過圖像展示，讓學生明確兩個圓的位置關(guān)系的概念，并進行展示

［電子白板展示］在圖1中，⊙O與⊙O′是什么位置關(guān)系？

⊙O與⊙O′的圓心連線OO′與公共弦AB是什么關(guān)系？

圖1

學生在紙上用圓規(guī)畫出兩個圓，尋找A、B兩點的關(guān)系.然后由生甲進行展示：

在圖中，⊙O與⊙O′的位置是相交關(guān)系；⊙O與⊙O′的圓心連線OO′與公共弦AB是垂直關(guān)系.如圖2.

師：建立下列概念并展示相關(guān)知識體系網(wǎng)絡（知識回顧），在學生再次重溫知識體系之后思考兩個圓相切的性質(zhì)規(guī)律并進行討論交流.

圖2

圖3

學生分組討論并交流“當兩個圓相切時，切點一定在圓心的連線上”的證明過程.

師：通過上面的一些關(guān)系，你們可以發(fā)現(xiàn)兩個圓相交或相切時一般能作哪些輔助線？

（學生舉手回答）

生乙：兩圓相交時常常作的輔助線有：（1）兩圓的公共弦，（2）兩圓圓心的連線，（3）創(chuàng)設由半徑、公共弦的一半組成的直角三角形；兩圓相切時常引輔助線有：（1）公共切線，（2）兩圓圓心的連線，（3）創(chuàng)設由半徑的延長線、公共弦在內(nèi)的直角三角形等.

3.通過電子白板展示例題

例題：如圖4，用半徑R=30mm、r=20mm的玻璃球測量一內(nèi)直徑為d的圓柱形筆筒.測得玻璃球頂點與圓柱形筆筒口所在平面的距離分 別為a=20mm，b=60mm，則圓柱形筆筒的內(nèi)直徑d是多少？

圖4

設計目的：通過身邊的常見文具創(chuàng)設問題情境，有利于激發(fā)學生探究的動力.本例題旨在讓學生認識兩圓相交常常作的第（3）種輔助線，“創(chuàng)設由半徑延長線、公共弦在內(nèi)的直角三角形”.再用體現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換數(shù)學思想的勾股定理來進行運算推理，從而達成幫助學生數(shù)學建模的目的.在課堂上，本例題是在教師的引導后學生自主探究完成的.最后由學生通過投影展示結(jié)果：

在圖中作輔助線，如圖5，創(chuàng)設直角△O1O2A.

則斜邊O1O2=R+r=50（mm），直角邊O2A=r+b-a-R=30（mm）.

根據(jù)勾股定理，另一條直角邊O1A=40mm.

故d=40+R+r=90（cm）.

圖5

3.通過導學案分組做課堂練習

習題1：（江蘇南京）如圖6，⊙O1、⊙O2的圓心O1、O2均在直線l上，⊙O1的半徑為2cm，⊙O2的半徑為3cm，O1O2=8cm.圓O1以1cm/s的速度沿直線l向右運動，7s后停止運動，在此過程中，圓O1與圓O2沒有出現(xiàn)的位置關(guān)系是（ ）.

A.外切 B.相交 C.內(nèi)切 D.內(nèi)含

圖6

選題目的：旨在讓學生理解兩個圓的關(guān)系：外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.而這些關(guān)系需要學生通過兩個圓心的距離進行判斷.

習題2：（江蘇南通）如圖7，三個半圓依次相外切，它們的圓心都在x軸上，并與直線相切.設三個半圓O1、O2和O3的半徑依次為r1、r2和r3，則當r1=2時，r3是多少？

選題目的：旨在讓學生靈活運用相切圓和圓的相切直線的關(guān)系，通過相似三角形或勾股定理解決數(shù)學問題.試題涵蓋了一次函數(shù)的性質(zhì)、相切圓的性質(zhì)，讓學生通過一次函數(shù)的解析式得出直線與x軸的夾角是30°，可以通過作輔助線“三個圓與直線的切點分別與各圓心的連線”，組成三個直角三角形，再進行推理計算.

圖7

圖8

習題3：（江蘇泰安）如圖8，AB、CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點O1、O2、O3、O4分別是OA、OB、OC、OD的中點，若⊙O的半徑為2，則陰影部分的面積為（ ）.

A.8 B.4 C.4π+4 D.4π-4

選題目的：通過圓與圓相交的位置關(guān)系，和相關(guān)扇形面積的計算，培養(yǎng)學生的數(shù)形轉(zhuǎn)換思想，培養(yǎng)學生能夠根據(jù)已知條件推斷正方形內(nèi)空白面積的建模能力.由扇形COB中兩空白面積相等，思考陰影部分面積.在建模過程中，要強化輔助線的作法，讓學生在解題過程中熟悉如圖9所示的方法.

圖9

三、課后打磨

本課是圓和圓的位置關(guān)系復習課.在教學過程中，教師注重對學生參與數(shù)學活動的潛力和自信心的挖掘，培養(yǎng)學生合作交流的意識，以及獨立思考的習慣，在針對性較強的中考試題的引領下，讓學生瞄準中考考向，是一節(jié)符合學生心理發(fā)展的示范課.

教師能夠及時發(fā)現(xiàn)問題、引導學生解決問題，從而進行正向評價，尤其是對學生出現(xiàn)的獨特的想法或結(jié)論給予鼓勵性評價，讓學生信心滿滿，積極參與探究活動.

本節(jié)課是建立在激勵學生學習興趣的基礎之上的，以促進學生思維發(fā)展為目的，更多體現(xiàn)新課程的三維目標.

本課美中不足的是所選試題過于經(jīng)典，都來自5年前的江蘇省試題，而近年來的試題學生基本上已經(jīng)練習過，建議備課組在近年來江蘇省之外的中考試題中選取，這樣更能拓寬學生的視野，培養(yǎng)學科素養(yǎng).F