董志俊

【摘 要】本文通過對經(jīng)典的問題及相關(guān)知識和結(jié)論的剖析，從中提煉關(guān)鍵詞，建構(gòu)思維過程，讓學生不斷積累基本活動經(jīng)驗，在遇到新問題時，可以快速提取關(guān)鍵信息，形成有效的解決策略，促進學生的數(shù)學思維建模的發(fā)展。學生的思維建模有助于學生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，使每個學生形成具有個性特征的數(shù)學思維方法。

【關(guān)鍵詞】經(jīng)典問題;關(guān)鍵詞;思維建模

【中圖分類號】G633.3? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2019）35-0031-04

一、問題提出

筆者在教學中常遇到下述狀況：（1）學生對數(shù)學問題的解題策略體現(xiàn)出“無章法”，學生在解題時的指向性與組織性不強;（2）學生對一些問題的解決過程呈現(xiàn)出“碎片化”，學生不能把涉及問題的相關(guān)知識有效的整合在一起，處在一種似懂非懂的狀態(tài);（3）學生對一些問題的細節(jié)處理揭示出“欠優(yōu)化”，解題時往往事倍功半，容易迷失方向，也很難體現(xiàn)數(shù)學的簡潔美。

以上的狀況說明，當學生遇到問題時，缺乏一套相對完整的應對策略，筆者認為“思維建模”能很好地解決上面提出的問題。

二、國內(nèi)外研究借鑒

“思維建模”的概念最早是由美國密蘇里大學的教育專家喬納森（David Jonassen）教授系統(tǒng)提出。喬納森在《技術(shù)支持的思維建模：用于概念轉(zhuǎn)變的思維工具》一書中認為：思維建模通過思維建模工具幫助學習者具化內(nèi)部的認知概念模型，促使學習者在建模的過程中積極地調(diào)整與修改自我的概念模型結(jié)構(gòu)，并通過多種形式的認知呈現(xiàn)，幫助學習者豐富和拓展內(nèi)部的認知概念模型的意義。有意義的學習需要概念參與，學習的目標就是概念的轉(zhuǎn)變與發(fā)展;對學習者來說，支持有意義學習最有力的策略之一是對他們所學的知識進行模型的建構(gòu)，思維工具的使用可以看作是能引發(fā)和支持概念轉(zhuǎn)變的建模工具。喬納森的這些思想在整個世界產(chǎn)生了很大的影響。

國內(nèi)目前也已有部分學者專家對思維建模的理論進行了關(guān)注及研究。北京師范大學劉儒德在《建模：一種有效的建構(gòu)性學習方式》的文章中提出，建模作為一種建構(gòu)性學習方式，可促使學習者根據(jù)先前的知識經(jīng)驗，使用所給與的物件和工具，來探究當前情境，建構(gòu)起對當前情境的理解，并將自己的這種理解表達出來，從而可促進學生對知識的深層理解和靈活應用。劉教授還具體將建模分為探究性建模和表達性建模兩種形式，并提出了關(guān)于有關(guān)建模的三種抽象水平，即定量、半定量和定性;他同時強調(diào)在教學中，教學者可根據(jù)學生的發(fā)展水平，提供適當?shù)闹С?，幫助學生展開不同形式、水平的建?；顒??！吨行W信息技術(shù)教育》雜志還曾專門發(fā)表郭秀霞研究思維建模的文章《淺析思維建模工具對學習者思維品質(zhì)的培養(yǎng)》，該文著重對思維建模（思維建模也是一種思維工具）和思維品質(zhì)做出理論性的研討。

本文中的“思維建?！睆娬{(diào)通過對經(jīng)典的問題及相關(guān)知識和結(jié)論的剖析，從中提煉關(guān)鍵詞，建構(gòu)思維過程，讓學生不斷積累基本活動經(jīng)驗，在遇到新問題時，可以快速提取關(guān)鍵信息，形成有效的解決策略。

三、探析思維建模途徑

思維建模不是知識建模，是對學生知識內(nèi)化過程的模型，知識建模通常是知識的邏輯體系化過程。如何才能實現(xiàn)知識的最優(yōu)組合與新知識網(wǎng)絡的構(gòu)建，促成學生數(shù)學思維的提升，是每一位教師都值得思考的問題。筆者對此作了一些探究，具體過程如下：

1.挖掘關(guān)鍵詞，形成知識鏈。

數(shù)學是一門非常嚴謹?shù)膶W科，每一個字、每一詞都有確切的含義。在高中數(shù)學教學中，教師要“字斟句酌”，將每一個字、每一詞的意義講清楚。例如，在教學“函數(shù)”概念時，通過對“非空”“任意”“唯一”等幾個關(guān)鍵詞的分析，能進一步加深學生對函數(shù)概念的理解。

提煉關(guān)鍵詞除了可以幫助學生認識到數(shù)學語言的嚴謹性，也可以讓學生構(gòu)建解決問題的知識鏈。學生在學習新知識和練習時，首先要進行讀文、讀圖。在讀的過程中要找關(guān)鍵詞，把所找到的關(guān)鍵詞進行勾畫、批注。這一步可操作性強，通過長期落實，學生自主閱讀能力自然提高。關(guān)鍵詞的提煉是思維建模的前提，學生整合以往所學數(shù)學知識和數(shù)學經(jīng)驗，制訂解決本題解題思路從知識、方法和思想三個維度去探索問題的解決方案。具體如圖1所示。

2.剖析經(jīng)典，設(shè)計題組。

哲學家?guī)於髡J為學生正是通過學習范例，通過做習題等活動來掌握一門科學知識及其方法，沒有范例，科學知識就不能清楚地表達出來。設(shè)計題組是思維建模的關(guān)鍵。題組是具有內(nèi)在聯(lián)系的一組習題，一般先易后難，問題背景可以不同，但核心知識是相同的。思維建模需經(jīng)歷“感知—感受—感悟”一系列過程，在題組設(shè)計上充分考慮學生思維的最近發(fā)展區(qū)，切合教學實際。在課堂實施中要注重學生的主體性和教師的主導性，讓學生積極主動參與教與學的全過程，從而促成各個層次學生思維的最優(yōu)發(fā)展。

例如，在人教版高中數(shù)學必修二中有如下3道習題。

（1）已知點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離的比為，求M的軌跡方程。（P124）

（2）已知點P（2，0），Q（8，0），點M與點P距離是它與點Q的距離的，用《幾何畫板》探究點M的軌跡，并給出軌跡方程。（P140）

（3）已知點M（x，y）與兩定點M1，M2的距離之比是一個正數(shù)m，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形。（考慮m=1和m≠1兩種情形）（P144）

它們都涉及平面到到兩個定點的距離之比是不等于1的正常數(shù)的點的軌跡，其共同的數(shù)學背景就是經(jīng)典的軌跡——阿波羅尼斯圓。教學中可以在分析三道題目共性的基礎(chǔ)上，歸納引出阿波羅尼斯圓，并設(shè)計如下兩個引申習題。

問題1：已知平面向量a，b，c滿足|a|=3，b+c=2a，且|b|=|b-c|，若對每一個確定的向量b，記|b-ta|（λ∈R）的最小值為dmin，則b變化時，dmin的最大值為。

問題2：四棱錐P-ABCD滿足：AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB則四棱錐P-ABCD的體積最大值為。

設(shè)計這樣的類似題組，能讓學生學會對經(jīng)典題型和知識點的歸類，可提升學生的數(shù)學思維建模能力。

3.理清思維脈絡，構(gòu)建邏輯框圖。

學生的數(shù)學認知過程是一個建構(gòu)的過程，在數(shù)學認知方面需要培養(yǎng)建構(gòu)思維，建構(gòu)數(shù)學概念、定理、公式、命題以及蘊涵其中的思想方法的思維，建構(gòu)的結(jié)果應符合學生的基本知識與基本技能。為此，提升學生構(gòu)建數(shù)學思維建模能力的第3個策略，是幫助學生形成邏輯框圖，理順解題思路與策略。

例如，如圖2，已知拋物線x2=y，點A（-，），B（，）拋物線上的點P（x，y）（-

在教學時要引導學生通過關(guān)鍵詞“垂直”，縱橫鏈接相關(guān)知識點，構(gòu)建解題邏輯框圖。如圖3。

綜上，數(shù)學思維建模能力的提升是一個逐步的過程。學生的思維建模有助于學生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，讓每個學生都有個性特征的數(shù)學思維方法，實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的目標。