譚 馨，鄧光明，b

(桂林理工大學(xué)a.理學(xué)院；b.應(yīng)用統(tǒng)計研究所，廣西 桂林 541006)

一、引言

回歸模型的使用要滿足的基本假定之一是方差齊性，而在大多數(shù)社會經(jīng)濟現(xiàn)象中，存在著大量的異方差數(shù)據(jù)，所以這種假定在實際經(jīng)濟觀測值中常常不成立。因而如何發(fā)現(xiàn)并解決異方差性是建立回歸模型中所關(guān)注的重要問題。在異方差的檢驗方法中，一般假定隨機干擾項的異方差是由解釋變量引起的，故本文針對線性回歸模型中與解釋變量有關(guān)系的這類異方差問題展開探討[1]。

國內(nèi)外學(xué)者關(guān)于這類異方差問題進行了大量的研究，得到了一些檢驗異方差的方法，如圖示檢驗、斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)檢驗、G-Q檢驗、帕克檢驗、格萊舍爾檢驗、懷特檢驗等[2-7]。其中，帕克檢驗方法不僅可以檢驗異方差是否存在，而且可以探測異方差的具體表達式，這有助于進一步研究如何消除異方差性的影響。對于一元線性回歸模型來說，模型中只包含一個解釋變量，利用帕克檢驗?zāi)芸焖俅_定異方差和解釋變量的關(guān)系表達式。然而，對于多元線性回歸模型來說，帕克檢驗仍然有很多不足，主要體現(xiàn)在以下三方面：其一，模型中包含多個解釋變量，需要多次重復(fù)帕克檢驗的步驟來確定異方差和某個解釋變量的具體表達式，這使得帕克檢驗方法的過程繁瑣；其二，異方差可能和多個解釋變量有關(guān)，而在帕克檢驗中每次只能和一個解釋變量建立回歸模型，用該方法就會得到多個異方差模型，這使得帕克檢驗得到的模型復(fù)雜；其三，解釋變量之間可能存在相關(guān)性，利用帕克檢驗構(gòu)造的多個異方差模型就不準(zhǔn)確。因此，本文在傳統(tǒng)的帕克檢驗的基礎(chǔ)上，運用主成分的思想，將所有樣本主成分代替單個解釋變量建立異方差模型，在沒有損失樣本信息的前提下，消除自變量之間的相關(guān)性，再依據(jù)系數(shù)的顯著性，給出新的異方差檢驗方法。為保證研究的完整性，下面先對異方差的定義和傳統(tǒng)的帕克檢驗方法做簡單介紹。

二、傳統(tǒng)的帕克檢驗方法

(一)異方差性的定義

經(jīng)典的線性回歸模型可以表示為：

yi=β0+β1xi1+β2xi2+…+βkxik+μi

(1)

(二)帕克檢驗

對于多元線性回歸模型，帕克檢驗步驟[8]如下：

第二步，取異方差結(jié)構(gòu)的函數(shù)形式為：

(2)

一共構(gòu)建k個異方差模型(j=1，…，k)，其中bj為未知參數(shù)，vij是獨立同方差的隨機變量。則(2)式可以寫成對數(shù)形式：

(3)

(4)

對模型(4)應(yīng)用最小二乘法，得出lnσ2和bj(j=1，…，k)的估計值。

第四步，對bj進行t檢驗。原假設(shè)H0：任意bj=0(j=1，…，k)；備擇假設(shè)H1：至少有一個bj≠0。如果存在bj顯著，就表明原模型存在異方差；如果bj不顯著，則可以接受同方差假設(shè)。

下面對帕克檢驗方法進行改進，使得改進后的方法更準(zhǔn)確更簡便地應(yīng)用到多變量的異方差檢驗過程中。

三、改進的帕克檢驗方法

(一)新的異方差模型

上述傳統(tǒng)的帕克檢驗方法通過構(gòu)造k個異方差結(jié)構(gòu)形式來檢驗原模型中是否存在異方差性，但解釋變量間存在相關(guān)性，這導(dǎo)致構(gòu)造的k個異方差模型不準(zhǔn)確?；诖?，我們提出對解釋變量進行主成分分析。因為異方差與解釋變量x1，x2，…，xk有關(guān)，主成分z1，z2，…，zk又是解釋變量的線性組合，所以異方差與主成分有關(guān)。構(gòu)造一個新的異方差結(jié)構(gòu)的函數(shù)形式為：

(5)

共構(gòu)建k個異方差模型，其中bj(j=1，…，k)為未知參數(shù)，vij是獨立同方差的隨機變量。需要指出，式(5)中對主成分zij(j=1，…，k)取絕對值是因為xij雖然是為正數(shù)的經(jīng)濟數(shù)據(jù)，但xij線性組合后主成分zij中可能出現(xiàn)負數(shù)，而異方差是平方數(shù)，且方差是用來反映數(shù)據(jù)的波動情況，仍然以未加絕對值的主成分zij的均值為基準(zhǔn)值，原本負數(shù)主成分zij負向波動，加上絕對值后變成正向波動，并不影響呈現(xiàn)異方差的效果。

將式(2)和式(5)進行對比可知，在傳統(tǒng)的異方差結(jié)構(gòu)式中，由于解釋變量x1，x2，…，xk存在相關(guān)性，所以構(gòu)造的k個異方差模型中存在重疊信息，且無法把k個異方差模型中有效信息部分提取出來；而式(5)所構(gòu)造的k個新的異方差結(jié)構(gòu)中沒有重疊信息，可以提取異方差的有效部分。但式(5)的異方差結(jié)構(gòu)需要構(gòu)造k個模型，仍然需要大量重復(fù)擬合的工作量。

進一步對異方差結(jié)構(gòu)進行研究，類比概率論知識，對于n個相互獨立的隨機變量X1，X2，…，Xn，如果總體X具有分布函數(shù)F(x)，則隨機變量(X1，X2，…，Xn)具有聯(lián)合分布函數(shù)[9]：

(6)

(7)

對式(7)開k次方根，得到新的異方差函數(shù)結(jié)構(gòu)形式：

(8)

由式(8)可知，如果異方差和某個主成分zij相關(guān)，那么bj≠0(j=1，…，k)顯著，則原模型中存在異方差性。反之，如果異方差和任意一個主成分zij都不相關(guān)，那么bj=0不顯著，則原模型中不存在異方差性。對比在傳統(tǒng)的帕克檢驗中，用式(2)完成異方差檢驗需要構(gòu)造k個異方差模型；而在改進的帕克檢驗方法中，用式(8)只需構(gòu)造1個異方差模型，此方法更為簡便。

(二)改進的帕克檢驗方法的步驟

根據(jù)上述新的異方差模型的構(gòu)造，得到改進的帕克檢驗方法的具體步驟如下：

步驟2：對回歸模型中所有的解釋變量進行主成分分析，主成分可以由原來的解釋變量線性表示，即滿足下式：

(i=1，2，…，n)

(9)

其中k為解釋變量的個數(shù)。

步驟3：取異方差結(jié)構(gòu)的函數(shù)形式如公式(8)，該式可以寫成對數(shù)形式：

(10)

(11)

對比傳統(tǒng)的帕克檢驗，改進的帕克檢驗方法的優(yōu)勢在于：一是直接用殘差序列與所有主成分建立異方差模型，不需要多次重復(fù)帕克檢驗的步驟，大大減少了計算量；二是用所有主成分代替單個解釋變量建立異方差模型，既保留樣本所有的信息，又解決了解釋變量間存在相關(guān)性的問題；三是簡單明了地體現(xiàn)了異方差和哪些主成分有關(guān)，通過主成分和解釋變量前系數(shù)的大小，確定主成分與解釋變量之間的相關(guān)性，繼而確定引起異方差的主要解釋變量，解決了傳統(tǒng)帕克檢驗用多個模型來說明異方差的問題。下面用模擬數(shù)據(jù)對該方法進行驗證。

四、隨機模擬

(一)生成模擬數(shù)據(jù)

生成隨機模擬數(shù)據(jù)[1]。設(shè)定三組樣本變量x1、x2、x3全部是均值為0、方差為1且服從正態(tài)分布的變量，樣本容量為500?？紤]到3個變量間的相關(guān)性可能會對檢驗結(jié)果造成影響，因此在生成數(shù)據(jù)時額外設(shè)定了兩兩之間的協(xié)方差(方差為1，即為皮爾遜相關(guān)系數(shù))，依次為0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9。設(shè)定參數(shù)b0=6，b1=8，b2=2，b3=3，被解釋變量yi生成的表達式為：

yi=6+8xi1+2xi2+3xi3+μi(i=1，…，500)

(12)

其中μi為500個來自均值為0的正態(tài)隨機項，設(shè)定的該隨機項形式為

μ=x1ξ

(13)

其中ξ為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的、相互獨立的隨機變量。顯然，μ這類隨機項的形式極易產(chǎn)生異方差問題，且異方差和解釋變量x1有關(guān)。

(二)異方差性檢驗

用R軟件按上述機制生成模擬數(shù)據(jù)，對生成的數(shù)據(jù)分別進行傳統(tǒng)的帕克檢驗和改進的帕克檢驗。

1.傳統(tǒng)的帕克檢驗。對解釋變量x1、x2、x3與μ2進行對數(shù)處理，根據(jù)(4)式分別建立3個異方差模型：

(14)

(15)

(16)

對模型(14)～(16)使用最小二乘法實現(xiàn)系數(shù)估計。用P值檢驗?zāi)Ｐ椭邢禂?shù)b1，b2，b3的顯著性。將得到的P值與α=0.05 比較，如果b1，b2，b3中存在系數(shù)顯著，就表明模型存在異方差性，反之，滿足同方差假定。

2.改進的帕克檢驗。對解釋變量x1、x2、x3做主成分分析，將得到的所有主成分與μ2進行對數(shù)處理，根據(jù)(11)式對新數(shù)據(jù)建立異方差模型：

(17)

表1 模型中系數(shù)的顯著性檢驗(1次模擬)表

從兩方面來看表1中系數(shù)檢驗的結(jié)果：

進一步在每個相關(guān)系數(shù)場合下進行10000次隨機模擬實驗，并用模擬數(shù)據(jù)進行異方差檢驗，將傳統(tǒng)的帕克檢驗與改進的帕克檢驗進行對比，檢驗結(jié)果如表2：

表2 模型中系數(shù)的顯著性檢驗(10 000次模擬)表

從表2中得到如下結(jié)論：

綜上，可以看出這兩種方法的差別：當(dāng)解釋變量間的相關(guān)程度越高，傳統(tǒng)的帕克檢驗得到顯著的系數(shù)個數(shù)越多，而改進的帕克檢驗得到顯著的系數(shù)個數(shù)就越少，這是因為傳統(tǒng)的帕克檢驗要對x1、x2、x3這3個解釋變量分別建立異方差模型，設(shè)定的隨機變量又與x1有關(guān)，即異方差與x1有關(guān)，隨著解釋變量x1與x2、x3相關(guān)程度越高，隨機變量也與x2、x3相關(guān)，這使得異方差也與x2、x3有關(guān)，繼而得到的每一個異方差模型中的系數(shù)都顯著；而改進的帕克檢驗將變量進行主成分分析，得到幾個相互無關(guān)的綜合變量，隨著解釋變量間的相關(guān)程度越高，重疊的信息就越多，進而得到的綜合變量中第一主成分就包含了絕大部分的信息，剩下的主成分只包含很小一部分信息，即得到的顯著的系數(shù)個數(shù)就越少。從表2也能看出，隨著解釋變量間的相關(guān)程度達到0.8時，傳統(tǒng)的帕克檢驗得到的檢驗結(jié)果為異方差與x1、x2、x3都有關(guān)，這與設(shè)定的隨機變量與x1有關(guān)這一結(jié)論存在偏差；而改進的帕克檢驗隨著解釋變量間的相關(guān)程度越高，得到的檢驗結(jié)果為異方差與第一主成分有關(guān)，通過第一主成分和解釋變量之間的相關(guān)性，繼而確定引起異方差的主要解釋變量，這一過程將在下一部分實例分析中得以具體展示。綜上所述，改進的帕克檢驗不僅簡化了傳統(tǒng)帕克檢驗的步驟，而且隨著解釋變量間的相關(guān)性增強，其得到的檢驗結(jié)果要優(yōu)于傳統(tǒng)的帕克檢驗。

為保證模擬的嚴(yán)謹(jǐn)性與完整性，筆者還擬合了皮爾遜相關(guān)系數(shù)為-0.1、-0.2、-0.3、-0.4、-0.5、-0.6、-0.7、-0.8、-0.9等9種情況，證明正負關(guān)系不影響最終結(jié)論，文中沒有列出相關(guān)系數(shù)為負數(shù)的情形，以節(jié)約篇幅。

五、實例分析

從國家統(tǒng)計局中收集2017年31個地區(qū)人均地區(qū)生產(chǎn)總值y、人均居民消費支出x1、人均社會消費品零售總額x2(社會消費品零售總額除以年末常住人口)和人均地方財政一般預(yù)算支出x3(地方財政一般預(yù)算支出除以年末常住人口)數(shù)據(jù)，單位均為萬元。為了更有效地觀察殘差和擬合值之間的相關(guān)性，對所有數(shù)據(jù)按人均地區(qū)生產(chǎn)總值升序進行排序。

首先，構(gòu)建用于研究影響人均地區(qū)生產(chǎn)總值因素的回歸模型，利用31個地區(qū)數(shù)據(jù)估計出的模型為：

0.194 4xi3

(18)

圖1a 原模型的殘差擬合圖

圖1b原模型的大小位置圖

如圖1a和圖1b，點的分布都隨著擬合值的增大而往外擴散，且殘差和標(biāo)準(zhǔn)化殘差均方都隨著擬合值的增大而增大。這兩幅圖表明隨著擬合值的增大，殘差的波動幅度變大，初步判定模型中存在異方差性，下面對該模型分別進行傳統(tǒng)的帕克檢驗和改進的帕克檢驗。

1.傳統(tǒng)的帕克檢驗。根據(jù)(4)式得到3個異方差模型表達式分別為：

(19)

(20)

(21)

(19)～(21)式中l(wèi)nxi1、lnxi2進行t檢驗的P值分別為0.008 257、0.012，小于0.05，lnxi3進行t檢驗的P值為0.853 6，大于0.05，表明原模型存在異方差性，且該異方差與解釋變量xi1，xi2有關(guān)。

2.改進的帕克檢驗。根據(jù)(9)式得到主成分的表達式為：

(22)

由公式(11)建立異方差模型，得到該異方差結(jié)構(gòu)回歸模型表達式為：

0.043 1ln|zi2|-0.155 9ln|zi3|

(23)

(23)式中l(wèi)n|zi1|的t檢驗的P值為0.040 5，小于0.05，ln|zi2|、ln|zi3|的t檢驗的P值分別為0.878 2、0.587 7，大于0.05，表明原模型存在異方差性，且異方差與第一主成分有關(guān)。由(22)式中第一主成分表達式的解釋變量前系數(shù)的大小，表明第一主成分主要與xi1，xi2有關(guān)，繼而確定引起異方差的主要解釋變量為xi1，xi2。

對比傳統(tǒng)的帕克檢驗方法和改進的帕克檢驗方法可知，傳統(tǒng)的帕克檢驗通過3個異方差模型得到原模型存在異方差性，而改進的帕克檢驗只需建立1個異方差模型得到原模型存在異方差性，改進的方法避免了傳統(tǒng)帕克檢驗重復(fù)擬合的工作量，并且模型更為簡單。同時，改進的帕克檢驗得到異方差與xi1，xi2有關(guān)，這與傳統(tǒng)的帕克檢驗得到的結(jié)論一致，說明改進的方法可以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的帕克檢驗方法。

六、結(jié)論

改進的帕克檢驗方法用全部主成分代替單個解釋變量建立異方差模型，消除解釋變量間相關(guān)性的同時，減少了傳統(tǒng)帕克檢驗在多元線性回歸模型中重復(fù)擬合的工作量。這不僅繼承了傳統(tǒng)帕克檢驗的優(yōu)點，而且能表達出多元線性回歸模型下的異方差具體形式，使建立的異方差模型更為準(zhǔn)確簡便。模擬數(shù)據(jù)和實證分析表明，該方法的檢驗效果良好。目前，對傳統(tǒng)帕克檢驗方法的更進一步的探究極少，此方法是在傳統(tǒng)的帕克檢驗方法基礎(chǔ)上對多元線性回歸模型進行異方差檢驗的一次成功改進，但在異方差模型的構(gòu)造方面還有待進一步研究。