狄勤豐， 吳志浩， 王文昌， 覃光煦， 陳 鋒

（上海大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072）

隨著超深井、定向井、水平井的逐漸增多，復(fù)雜載荷作用下套管的應(yīng)力計算問題越來越受到關(guān)注。目前的研究主要針對居中套管（包括偏磨）在均勻和非均勻地應(yīng)力條件下的強度計算[1-9]，但在非均勻地應(yīng)力條件下無法求得不居中套管應(yīng)力的解析解，W.J.Rodriguez[10]，P.D.Pattillo[11]和A.Nabipour[12]等人利用有限元方法進(jìn)行了研究，只有竇益華[13]討論了解析求解方法，提出了解決此類問題的新思路。在實際工程中，由于所遇情況復(fù)雜多變，常常需要針對不同對象進(jìn)行有限元建模和分析，所需周期長，很難滿足快速、實時解決問題的要求。為此，筆者提出了一種基于支持向量機（support vector machine，SVM）的非均勻地應(yīng)力條件下不居中套管最大von Mises應(yīng)力的快速預(yù)測方法，并對φ311.1 mm垂直井眼中的套管進(jìn)行了分析研究。

1 SVM原理及其Matlab實現(xiàn)

SVM是一種基于統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論的機器學(xué)習(xí)算法，通過尋求結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化來實現(xiàn)實際風(fēng)險的最小化，在有限信息條件下得到最優(yōu)結(jié)果[14]，在解決小樣本、非線性和高維模式識別問題中表現(xiàn)出許多特有的優(yōu)勢。SVM可以作為一種廣義的線性分類器，它的原理是利用非線性變換將輸入空間變換到一個高維的特征空間，并在新的空間尋找最優(yōu)線性分界面。線性可分的情況下，為確保經(jīng)驗風(fēng)險最小，選取最優(yōu)分界線H時不僅需要分類準(zhǔn)確，還要使分類間隔M（H1和H2之間的距離）最大[14]，如圖1所示。

線性不可分情況下，SVM的主要思想是將輸入向量x映射到一個高維的特征向量空間，用特征向量φ(x)來代替，從而得到最優(yōu)分類函數(shù)。由于在運算過程中，無論是目標(biāo)函數(shù)還是決策函數(shù)都只涉及到訓(xùn)練樣本之間的內(nèi)積運算，而原空間的核函數(shù)可以取代該內(nèi)積運算，因此可通過選擇合適的核函數(shù)完成從線性問題到非線性問題的推廣[14]。

支持向量機回歸算法（support vector regression，SVR）是SVM的衍生算法，其本質(zhì)是需要尋求一個最優(yōu)超平面，使所有樣本點與該超平面的總體偏差最小[15]。也就是說，對于一個容量為n的樣本集：

圖1 線性可分情況下的最優(yōu)分類線[14]Fig.1 Optimal classification line in the case of linear separability[14]

式中：i 為樣本序號；d為xi的維數(shù)。

需要尋找一個最優(yōu)回歸函數(shù)f，使f(xi)盡可能接近對應(yīng)的樣本值yi。

通過構(gòu)造Lagrange函數(shù)，將支持向量機回歸問題轉(zhuǎn)化為凸二次規(guī)劃尋優(yōu)的對偶問題[15]：

其中

式中：bo為回歸參數(shù)值。

式（4）即為基于徑向基核函數(shù)的ε-SVR 模型。

ε-SVR模型的回歸效果主要受核函數(shù)參數(shù)σ、不敏感系數(shù)ε及懲罰因子C等參數(shù)的影響[16-17]。通過比較各種參數(shù)優(yōu)選的方法，選用網(wǎng)絡(luò)搜索法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)[18]，以訓(xùn)練樣本均方根誤差（root mean squared error，RMSE）最小作為尋優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)，即：

式中：f(xi)為預(yù)測值。

基于Matlab軟件，可以實現(xiàn)程序運算，具體運算框圖見圖2。

2 SVM實驗樣本構(gòu)建

為了利用SVM方法實現(xiàn)非均勻地應(yīng)力和套管不居中情況下套管最大應(yīng)力的預(yù)測，必須建立實驗樣本。由于實際的“套管-水泥環(huán)-地層”系統(tǒng)及其受載十分復(fù)雜，這些樣本無法用真正的實驗方法構(gòu)建，為此利用ANSYS有限元方法進(jìn)行“實驗樣本”的構(gòu)建。關(guān)于“套管-水泥環(huán)-地層”系統(tǒng)的有限元分析已十分成熟，也已經(jīng)過實際數(shù)據(jù)的驗證。這種有限元分析的一個特點是在彈性條件下計算套管的應(yīng)力，最后根據(jù)應(yīng)力大小和套管的強度來確定套管是否失效[19]。本文的“實驗樣本”也基于彈性條件進(jìn)行構(gòu)建。

圖2 ε-SVR模型的MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)Fig.2 MATLAB program implementation of the ε-SVR Model

影響“套管-水泥環(huán)-地層”系統(tǒng)套管應(yīng)力的因素很多，包括套管的類型和尺寸、最大及最小水平地應(yīng)力、鉆井液密度、水泥環(huán)的彈性模量及泊松比、地層的彈性模量及泊松比、套管偏心距和偏心角。關(guān)于地應(yīng)力的影響，有不同的觀點，但對于剛鉆穿鹽膏層的井筒來說，由于應(yīng)力釋放需要較長的時間，因此在一定時間段內(nèi)，套管將會承受非均勻地應(yīng)力的作用。同時，研究表明，最大應(yīng)力一般出現(xiàn)在偏心角為90°或270°的方向[20]。為了減少模型變量，提高預(yù)測效率，在構(gòu)建“實驗樣本”時，將偏心角固定為90°。同時，當(dāng)套管給定時，其類型和尺寸都將確定。因此，針對給定套管進(jìn)行應(yīng)力預(yù)測時，將主要包含最大地應(yīng)力、最小地應(yīng)力和水泥環(huán)特性等8個關(guān)鍵影響因素。由于實際情況非常復(fù)雜，很難確定上述影響因素的合理范圍，因此采用了文獻(xiàn)調(diào)研和實際調(diào)查的方法，確定了影響因素的近似取值范圍，見表1[21-22]。

表1 主要影響因素及取值范圍Table 1 Main influencing factors and range of values

某典型的“套管-水泥環(huán)-地層”系統(tǒng)如圖3所示，井眼直徑為311.1 mm，套管內(nèi)徑為219.0 mm，套管外徑為250.8 mm。假設(shè)套管在井眼中的偏心距為δ，偏心方位角為φ，最大水平主應(yīng)力σH沿x方向，最小水平主應(yīng)力σh沿y方向。對幾何模型進(jìn)行單元劃分，單元類型選擇二維四邊形PLANE183單元，按內(nèi)密外疏的方式劃分網(wǎng)格。劃分后的網(wǎng)格如圖4所示，共計6 215單元，18 953節(jié)點。對其施加載荷及約束，偏心方位角固定為90°，分別計算不同偏心距時的套管von Mises應(yīng)力分布及其最大值。

圖3 套管-水泥環(huán)-地層系統(tǒng)幾何模型Fig.3 Geometry model for casing, cement sheath and formation

圖4 套管-水泥環(huán)-地層系統(tǒng)有限元模型Fig.4 Finite element model for casing, cement sheath and formation

某一工況下對應(yīng)的計算參數(shù)：偏心距為1.5 mm，σH為92.0 MPa，σh為59.0 MPa，地層彈性模量和泊松比分別為30 GPa和0.27，水泥環(huán)的彈性模量和泊松比分別為35 GPa和0.17，套管的彈性模量和泊松比分別為210 GPa和0.30，鉆井液密度為1.64 kg/L，對應(yīng)井深為4 995.00 m，鉆井液靜液柱產(chǎn)生的內(nèi)壓約8.03 MPa。地層用以井筒為中心、邊長為3.00 m的正方形代替，該工況下的套管內(nèi)壁von Mises應(yīng)力云圖見圖5。從圖5可以看出，套管內(nèi)壁沿y方向（即最小水平主應(yīng)力方向）的von Mises應(yīng)力最大達(dá)321 MPa。

圖5 套管內(nèi)壁von Mises應(yīng)力云圖Fig.5 von Mises stress cloud diagram on the casing inner wall

類似地，可計算得到其他99個“實驗樣本”數(shù)據(jù)的最大von Mises應(yīng)力，因樣本數(shù)量較大，只給出了1～10號和91～100號樣本計算結(jié)果（見表2），并將1～95號樣本作為訓(xùn)練樣本，96～100號樣本作為測試樣本。為了避免人為干擾，計算過程中，每一個因素的取值都采用隨機方法。

3 套管最大von Mises應(yīng)力預(yù)測及精度分析

基于SVM的非均勻地應(yīng)力條件下不居中套管最大應(yīng)力預(yù)測，關(guān)鍵在于確定ε-SVR模型的3個核心參數(shù)，即σ、ε和C的尋優(yōu)，這需要在一定范圍內(nèi)對3個參數(shù)進(jìn)行搜索。筆者選擇σ的范圍為[0.1，3.0]，搜索步長為0.01；ε的范圍為[0.01，3.05]，搜索步長為0.05；C的范圍為[1，10]，搜索步長為0.1。經(jīng)參數(shù)尋優(yōu)，最佳的σ、ε和C值分別為2.01、0.01和3.00?；谶@3個模型參數(shù)，預(yù)測得到表2中96～100號參數(shù)對應(yīng)的最大應(yīng)力值（見表3和圖6）。為了比較，同時列出了對應(yīng)的樣本值。

表2 SVM“實驗樣本”數(shù)據(jù)Table 2 Data of the SVM “experimental samples”

表3 測試樣本的預(yù)測結(jié)果Table 3 Predictive effect of test samples

圖6 預(yù)測值和樣本值對比結(jié)果Fig.6 Comparison of predicted and sample values

從圖6可以看出，95個訓(xùn)練樣本的預(yù)測結(jié)果和樣本值基本重合，表明訓(xùn)練樣本的擬合精度很高。5個測試樣本的相對誤差分別為2.76%、0.70%、1.00%、-0.12%和-2.01%，平均相對誤差僅為1.32%?？梢?，利用SVM方法，可以快速預(yù)測非均勻地應(yīng)力條件下不居中套管的最大von Mises應(yīng)力。

4 結(jié)論與建議

1）非均勻地應(yīng)力條件下，目前主要采用有限元分析方法求解不居中套管的應(yīng)力，缺少數(shù)值解，給套管強度校核帶來了不便。利用基于SVM的智能預(yù)測方法可以解決這一難題，為實際套管應(yīng)力預(yù)測提供了一種新的方法。

2）基于徑向基函數(shù)的ε-SVR 模型的預(yù)測精度較高，測試樣本預(yù)測值與“實驗樣本”“真實值”的平均相對誤差僅為1.32%。

3）在已知影響因素合理范圍內(nèi)，利用有限元分析方法可以獲得大量的“實驗樣本”，不但成本低，而且速度快，為利用SVM方法解決套管應(yīng)力預(yù)測難題提供了有效手段。

4）本文僅以一種套管為例進(jìn)行了最大von Mises應(yīng)力SVM預(yù)測，對于其他種類套管，需要重新進(jìn)行“實驗樣本”計算和ε-SVR模型關(guān)鍵參數(shù)尋優(yōu)。在保證計算獲得的“實驗樣本”準(zhǔn)確可靠的前提下，可以采用該方法預(yù)測各種套管的最大von Mises應(yīng)力。