魯振姣，郭 瑩

（沈陽工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,沈陽110870）

1 引 言

自適應(yīng)濾波算法研究已經(jīng)成為當(dāng)今信號與信息處理領(lǐng)域的熱點，算法直接影響濾波效果的好壞[1]。如文獻[2]所提出的仿射投影算法（Affine Projection Algorithm,APA）及其改進算法是一類重要的自適應(yīng)濾波算法，該類算法在輸入信號相關(guān)性較高的情況下仍具有良好的收斂性能。但是許多系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是稀疏的，即它們的脈沖響應(yīng)絕大部分為零或者是很小的值，一小部分的脈沖響應(yīng)具有顯著幅度。文獻[3]的成比例仿射投影算法（Proportionnate APA,PAPA,）就是針對稀疏系統(tǒng)提出的，其原理是每個系數(shù)通過采用濾波器抽頭權(quán)重成比例的獨步來加快收斂速度，即濾波器抽頭權(quán)重系數(shù)越大，步長越大，抽頭系數(shù)越小，步長越小。成比例算法有效的利用了未知系統(tǒng)的稀疏特性，使算法的收斂速度顯著提高。

但是，在很多實際應(yīng)用系統(tǒng)中，例如網(wǎng)絡(luò)回聲消除和衛(wèi)星連接通信回聲消除，它們的脈沖響應(yīng)是成塊出現(xiàn)的，其余值為零值或者很小的數(shù)，即它們的系統(tǒng)稀疏特性是呈現(xiàn)為成塊的形式。分塊稀疏是最常見也是最簡單的的一種稀疏結(jié)構(gòu)，分塊稀疏意味著稀疏信號中的非零元不再是出現(xiàn)在任意位置，而是成塊出現(xiàn)。因此有必要將塊稀疏性這個問題考慮到傳統(tǒng)的自適應(yīng)濾波算法中，使用具有塊稀疏脈沖響應(yīng)的自適應(yīng)濾波器對此類稀疏系統(tǒng)進行建模，根據(jù)不同情況提出相應(yīng)的塊稀疏自適應(yīng)濾波算法。

然而PAPA 算法沒有考慮未知系統(tǒng)的塊稀疏特性，針對分塊稀疏的系統(tǒng)信道，收斂速度并沒有顯著提升。所以針對這一特性，文獻[4]提出的塊稀疏自適應(yīng)濾波算法，進一步加快了收斂速度。該算法的原理是：在計算對應(yīng)的步長因子時，用混合l2,1范數(shù)約束代替?zhèn)鹘y(tǒng)的l1范數(shù)約束。這樣的約束有效地利用了未知系統(tǒng)的塊分布特性，將自適應(yīng)濾波權(quán)重比例系數(shù)分塊處理，對于成塊出現(xiàn)的脈沖響應(yīng)分配大的系數(shù)，其余的分配小的系數(shù)，使算法速度顯著提升。

為驗證并對比以上算法的性能，將理論分析與仿真相結(jié)合進行研究，結(jié)果表明塊稀疏自適應(yīng)濾波算法有較好的收斂性能。

2 算法分析

2.1 APA算法

以系統(tǒng)辨識[5]為例來分析各類自適應(yīng)濾波算法的性能。圖1 為自適應(yīng)濾波器系統(tǒng)辨識原理圖。

圖1 自適應(yīng)濾波器系統(tǒng)辨識原理圖

設(shè)先驗輸出誤差向量為：

APA 算法利用增加輸入信號矩陣的維度對數(shù)據(jù)進行重用，以改善收斂性能，這里的維度稱為投影階數(shù)M ，所以APA 算法的輸入為：

由于有數(shù)據(jù)重用，那么輸出向量y(n)可以表示如下：

得到的期望響應(yīng)d(n)可用如下線性模型表示：

利用拉格朗日乘子方法，可將帶約束條件最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化問題，即：

令式(8)的導(dǎo)數(shù)值為零，得：

將式(9)代入式(6)中的約束條件，得：

將式(10)代入式(9)中可得APA 算法的權(quán)系數(shù)向量更新公式，并引入步長因子μ，可得：

為了防止自相關(guān)X(n)XT(n)太小，算法中還可以引入一個非常小的正整數(shù)，令A(yù)PA 算法的權(quán)系數(shù)向量更新公式變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

其中，ε 是正則化因子，I 為 M×M 的單位矩陣，εI是為避免對不滿秩方陣求逆而添加的一個對角矩陣。

2.2 PAPA算法

PAPA 算法的濾波器系數(shù)更新公式可由如下約束最優(yōu)化問題獲得：

使得系數(shù)更新后的誤差向量等于零，則有：

利用拉格朗日乘子法，得到PAPA 的系數(shù)向量更新方程：

其中，μ 是步長參數(shù)，δ 是正則化參數(shù)，IM是 M×M 單位矩陣，并且有：

其中，q 是一個很小的正數(shù)，它用來在初始階段所有濾波器系數(shù)都為0 時啟動更新，并且防止所有參數(shù)都為0 時算法凍結(jié)。ρ 用于當(dāng)某個系數(shù)過小時防止該系數(shù)不更新。

PAPA 雖具有快速初始收斂速度，但其后期收斂速度緩慢。此外，如果脈沖響應(yīng)稀疏性不夠高，其收斂速度會大大降低。針對這些問題，基于μ 規(guī)則的PAPA（μ-law PAPA,MPAPA）算法[5]被提出。

2.3 MPAPA算法

MPAPA 算法是通過定量分析自適應(yīng)濾波器系數(shù)的收斂過程，來得到最優(yōu)的比例步長計算方法。MPAPA 的比例步長參數(shù)計算方法注重大、小系數(shù)之間的平衡，使大、小系數(shù)同時收斂于最優(yōu)值，克服了PAPA 過分強調(diào)大系數(shù)收斂的缺點。因此，MPAPA從根本上解決PAPA 后期收斂速度緩慢的問題。MPAPA 算法的比例步長矩陣G(n)可用如下一組公式進行描述：

2.4 BS-PAPA算法

然而，MPAPA 并沒有考慮塊稀疏特性。由塊稀疏 PNLMS（BS-PNLMS）算法推動，文獻[4]提出了一系列新的塊稀疏PAPA（BS-PAPA）算法，進一步提高了其在塊稀疏脈沖系統(tǒng)下的識別性能。

BS-PAPA 將l2,1范數(shù)引入到成本函數(shù)中，從而使優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

進而使得系數(shù)更新后的誤差向量等于零：

根據(jù)文獻[6]、[7]，可知：

利用拉格朗日乘子法，可以得到的BS-PAPA的系數(shù)向量更新方程：

其中：

當(dāng) P ＝ 1 時，BS-PAPA 算法等同于 PAPA 算法;當(dāng) P＝L 時，BS-PAPA 算法等同于 APA 算法。

3 仿真實驗

3.1 仿真條件

仿真中輸入的有色信號均由零均值高斯白噪聲通過一階AR 系統(tǒng)產(chǎn)生，這里假設(shè)自適應(yīng)濾波器的長度和未知系統(tǒng)的長度相等，均為120。

實驗中各個算法的投影階數(shù)M ＝4，BS-PAPA算法中的塊數(shù)P＝4，且算法的比較都在公平原則下進行。每個仿真均是30 次實驗的平均結(jié)果，且迭代次數(shù)為20000 次。信道由圖2所示，使用兩種塊稀疏信道，其中圖2(a)為單簇塊稀疏信道，圖2(b)為雙簇塊稀疏信道。

圖2 仿真實驗選用的信道

3.2 性能指標及參數(shù)設(shè)置

實驗是使算法在等效步長的條件下，以歸一化均方偏差（Normalized MSD,NMSD）的收斂曲線來評價算法的收斂性能，即利用NMSD 來度量自適應(yīng)濾波器與目標系統(tǒng)的逼近程度。

仿真參數(shù)是在等效步長[8]的條件下設(shè)定的，具體如表1所示。

表1 實驗中的參數(shù)設(shè)置

3.3 仿真結(jié)果與分析

將需要仿真的算法應(yīng)用到系統(tǒng)辨識系統(tǒng)中，仿真實驗采用MATLAB 進行，步驟如下：

1）在單簇塊稀疏信道中比較各算法性能

各算法在單簇塊稀疏信道中的仿真對比結(jié)果由圖3所示?？梢姡琍APA 算法在稀疏信道中收斂速度明顯優(yōu)于APA 算法；MPAPA 算法比PAPA 算法收斂速度加強；BS-PAPA 算法由于是在塊稀疏信道中，收斂速度明顯優(yōu)于PAPA 算法和MPAPA 算法。

2）比較各類算法在雙信道中的跟蹤性能

圖4所示為 APA 算法、PAPA 算法、MPAPA 算法和BS-PAPA 算法分別在單簇塊稀疏信道與雙簇塊稀疏信道下的跟蹤性能比較圖。當(dāng)?shù)螖?shù)n≤20000 時，所使用的信道是稀疏度為0.83333 的單簇塊稀疏信道（對應(yīng)圖2(a)）；當(dāng)?shù)螖?shù)n ≥20000時，所使用的信道是稀疏度為0.79166 的雙簇塊稀疏信道（對應(yīng)圖2(b)）。由圖4 中可以看出，BS-PAPA算法在信道突變時仍具有穩(wěn)定的跟蹤性能，相比其他算法更為優(yōu)越。

圖3 各算法在單簇塊稀疏信道中的性能比較

圖4 各算法在不同信道下的跟蹤性能比較

3) BS-PAPA 算法不同塊數(shù)與PAPA 算法比較

圖5 為 PAPA 算法、P=3 的 BS-PAPA 算法、P=4 的 BS-PAPA 算法和 P=10 的 BS-PAPA 算法分別在單簇塊稀疏信道與雙簇塊稀疏信道下的跟蹤性能比較圖。當(dāng)?shù)螖?shù)n≤10000 時，所使用的信道是稀疏度為0.83333 的單簇塊稀疏信道（對應(yīng)圖2(a)），當(dāng)?shù)螖?shù) n ≥10000 時，所使用的信道是稀疏度為0.79166 的雙簇塊稀疏信道（對應(yīng)圖2(b)）。

圖5 BS-PAPA 算法不同塊數(shù)與PAPA 算法比較

由圖5 可以看出，BS-PAPA 算法在塊稀疏信道中收斂速度明顯優(yōu)于PAPA 算法，且不同的塊數(shù)影響B(tài)S-PAPA 算法的收斂速度。對于此次仿真，塊數(shù)P=4 時，收斂速度最快。

4 結(jié)束語

分塊稀疏自適應(yīng)濾波算法利用了塊稀疏信道這一特質(zhì)，加快了算法的收斂特性。與傳統(tǒng)的稀疏自適應(yīng)濾波算法相比有較快的收斂性和跟蹤性能。通過計算機仿真實驗也表明塊稀疏算法在分塊稀疏信道中具有更佳的收斂速度。