魯振姣，郭 瑩

（沈陽工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,沈陽110870）

1 引 言

自適應(yīng)濾波算法研究已經(jīng)成為當(dāng)今信號(hào)與信息處理領(lǐng)域的熱點(diǎn)，算法直接影響濾波效果的好壞[1]。如文獻(xiàn)[2]所提出的仿射投影算法（Affine Projection Algorithm,APA）及其改進(jìn)算法是一類重要的自適應(yīng)濾波算法，該類算法在輸入信號(hào)相關(guān)性較高的情況下仍具有良好的收斂性能。但是許多系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是稀疏的，即它們的脈沖響應(yīng)絕大部分為零或者是很小的值，一小部分的脈沖響應(yīng)具有顯著幅度。文獻(xiàn)[3]的成比例仿射投影算法（Proportionnate APA,PAPA,）就是針對(duì)稀疏系統(tǒng)提出的，其原理是每個(gè)系數(shù)通過采用濾波器抽頭權(quán)重成比例的獨(dú)步來加快收斂速度，即濾波器抽頭權(quán)重系數(shù)越大，步長(zhǎng)越大，抽頭系數(shù)越小，步長(zhǎng)越小。成比例算法有效的利用了未知系統(tǒng)的稀疏特性，使算法的收斂速度顯著提高。

但是，在很多實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)中，例如網(wǎng)絡(luò)回聲消除和衛(wèi)星連接通信回聲消除，它們的脈沖響應(yīng)是成塊出現(xiàn)的，其余值為零值或者很小的數(shù)，即它們的系統(tǒng)稀疏特性是呈現(xiàn)為成塊的形式。分塊稀疏是最常見也是最簡(jiǎn)單的的一種稀疏結(jié)構(gòu)，分塊稀疏意味著稀疏信號(hào)中的非零元不再是出現(xiàn)在任意位置，而是成塊出現(xiàn)。因此有必要將塊稀疏性這個(gè)問題考慮到傳統(tǒng)的自適應(yīng)濾波算法中，使用具有塊稀疏脈沖響應(yīng)的自適應(yīng)濾波器對(duì)此類稀疏系統(tǒng)進(jìn)行建模，根據(jù)不同情況提出相應(yīng)的塊稀疏自適應(yīng)濾波算法。

然而PAPA 算法沒有考慮未知系統(tǒng)的塊稀疏特性，針對(duì)分塊稀疏的系統(tǒng)信道，收斂速度并沒有顯著提升。所以針對(duì)這一特性，文獻(xiàn)[4]提出的塊稀疏自適應(yīng)濾波算法，進(jìn)一步加快了收斂速度。該算法的原理是：在計(jì)算對(duì)應(yīng)的步長(zhǎng)因子時(shí)，用混合l2,1范數(shù)約束代替?zhèn)鹘y(tǒng)的l1范數(shù)約束。這樣的約束有效地利用了未知系統(tǒng)的塊分布特性，將自適應(yīng)濾波權(quán)重比例系數(shù)分塊處理，對(duì)于成塊出現(xiàn)的脈沖響應(yīng)分配大的系數(shù)，其余的分配小的系數(shù)，使算法速度顯著提升。

為驗(yàn)證并對(duì)比以上算法的性能，將理論分析與仿真相結(jié)合進(jìn)行研究，結(jié)果表明塊稀疏自適應(yīng)濾波算法有較好的收斂性能。

2 算法分析

2.1 APA算法

以系統(tǒng)辨識(shí)[5]為例來分析各類自適應(yīng)濾波算法的性能。圖1 為自適應(yīng)濾波器系統(tǒng)辨識(shí)原理圖。

圖1 自適應(yīng)濾波器系統(tǒng)辨識(shí)原理圖

設(shè)先驗(yàn)輸出誤差向量為：

APA 算法利用增加輸入信號(hào)矩陣的維度對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行重用，以改善收斂性能，這里的維度稱為投影階數(shù)M ，所以APA 算法的輸入為：

由于有數(shù)據(jù)重用，那么輸出向量y(n)可以表示如下：

得到的期望響應(yīng)d(n)可用如下線性模型表示：

利用拉格朗日乘子方法，可將帶約束條件最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化問題，即：

令式(8)的導(dǎo)數(shù)值為零，得：

將式(9)代入式(6)中的約束條件，得：

將式(10)代入式(9)中可得APA 算法的權(quán)系數(shù)向量更新公式，并引入步長(zhǎng)因子μ，可得：

為了防止自相關(guān)X(n)XT(n)太小，算法中還可以引入一個(gè)非常小的正整數(shù)，令A(yù)PA 算法的權(quán)系數(shù)向量更新公式變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

其中，ε 是正則化因子，I 為 M×M 的單位矩陣，εI是為避免對(duì)不滿秩方陣求逆而添加的一個(gè)對(duì)角矩陣。

2.2 PAPA算法

PAPA 算法的濾波器系數(shù)更新公式可由如下約束最優(yōu)化問題獲得：

使得系數(shù)更新后的誤差向量等于零，則有：

利用拉格朗日乘子法，得到PAPA 的系數(shù)向量更新方程：

其中，μ 是步長(zhǎng)參數(shù)，δ 是正則化參數(shù)，IM是 M×M 單位矩陣，并且有：

其中，q 是一個(gè)很小的正數(shù)，它用來在初始階段所有濾波器系數(shù)都為0 時(shí)啟動(dòng)更新，并且防止所有參數(shù)都為0 時(shí)算法凍結(jié)。ρ 用于當(dāng)某個(gè)系數(shù)過小時(shí)防止該系數(shù)不更新。

PAPA 雖具有快速初始收斂速度，但其后期收斂速度緩慢。此外，如果脈沖響應(yīng)稀疏性不夠高，其收斂速度會(huì)大大降低。針對(duì)這些問題，基于μ 規(guī)則的PAPA（μ-law PAPA,MPAPA）算法[5]被提出。

2.3 MPAPA算法

MPAPA 算法是通過定量分析自適應(yīng)濾波器系數(shù)的收斂過程，來得到最優(yōu)的比例步長(zhǎng)計(jì)算方法。MPAPA 的比例步長(zhǎng)參數(shù)計(jì)算方法注重大、小系數(shù)之間的平衡，使大、小系數(shù)同時(shí)收斂于最優(yōu)值，克服了PAPA 過分強(qiáng)調(diào)大系數(shù)收斂的缺點(diǎn)。因此，MPAPA從根本上解決PAPA 后期收斂速度緩慢的問題。MPAPA 算法的比例步長(zhǎng)矩陣G(n)可用如下一組公式進(jìn)行描述：

2.4 BS-PAPA算法

然而，MPAPA 并沒有考慮塊稀疏特性。由塊稀疏 PNLMS（BS-PNLMS）算法推動(dòng)，文獻(xiàn)[4]提出了一系列新的塊稀疏PAPA（BS-PAPA）算法，進(jìn)一步提高了其在塊稀疏脈沖系統(tǒng)下的識(shí)別性能。

BS-PAPA 將l2,1范數(shù)引入到成本函數(shù)中，從而使優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

進(jìn)而使得系數(shù)更新后的誤差向量等于零：

根據(jù)文獻(xiàn)[6]、[7]，可知：

利用拉格朗日乘子法，可以得到的BS-PAPA的系數(shù)向量更新方程：

其中：

當(dāng) P ＝ 1 時(shí)，BS-PAPA 算法等同于 PAPA 算法;當(dāng) P＝L 時(shí)，BS-PAPA 算法等同于 APA 算法。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 仿真條件

仿真中輸入的有色信號(hào)均由零均值高斯白噪聲通過一階AR 系統(tǒng)產(chǎn)生，這里假設(shè)自適應(yīng)濾波器的長(zhǎng)度和未知系統(tǒng)的長(zhǎng)度相等，均為120。

實(shí)驗(yàn)中各個(gè)算法的投影階數(shù)M ＝4，BS-PAPA算法中的塊數(shù)P＝4，且算法的比較都在公平原則下進(jìn)行。每個(gè)仿真均是30 次實(shí)驗(yàn)的平均結(jié)果，且迭代次數(shù)為20000 次。信道由圖2所示，使用兩種塊稀疏信道，其中圖2(a)為單簇塊稀疏信道，圖2(b)為雙簇塊稀疏信道。

圖2 仿真實(shí)驗(yàn)選用的信道

3.2 性能指標(biāo)及參數(shù)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)是使算法在等效步長(zhǎng)的條件下，以歸一化均方偏差（Normalized MSD,NMSD）的收斂曲線來評(píng)價(jià)算法的收斂性能，即利用NMSD 來度量自適應(yīng)濾波器與目標(biāo)系統(tǒng)的逼近程度。

仿真參數(shù)是在等效步長(zhǎng)[8]的條件下設(shè)定的，具體如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)中的參數(shù)設(shè)置

3.3 仿真結(jié)果與分析

將需要仿真的算法應(yīng)用到系統(tǒng)辨識(shí)系統(tǒng)中，仿真實(shí)驗(yàn)采用MATLAB 進(jìn)行，步驟如下：

1）在單簇塊稀疏信道中比較各算法性能

各算法在單簇塊稀疏信道中的仿真對(duì)比結(jié)果由圖3所示?？梢?，PAPA 算法在稀疏信道中收斂速度明顯優(yōu)于APA 算法；MPAPA 算法比PAPA 算法收斂速度加強(qiáng)；BS-PAPA 算法由于是在塊稀疏信道中，收斂速度明顯優(yōu)于PAPA 算法和MPAPA 算法。

2）比較各類算法在雙信道中的跟蹤性能

圖4所示為 APA 算法、PAPA 算法、MPAPA 算法和BS-PAPA 算法分別在單簇塊稀疏信道與雙簇塊稀疏信道下的跟蹤性能比較圖。當(dāng)?shù)螖?shù)n≤20000 時(shí)，所使用的信道是稀疏度為0.83333 的單簇塊稀疏信道（對(duì)應(yīng)圖2(a)）；當(dāng)?shù)螖?shù)n ≥20000時(shí)，所使用的信道是稀疏度為0.79166 的雙簇塊稀疏信道（對(duì)應(yīng)圖2(b)）。由圖4 中可以看出，BS-PAPA算法在信道突變時(shí)仍具有穩(wěn)定的跟蹤性能，相比其他算法更為優(yōu)越。

圖3 各算法在單簇塊稀疏信道中的性能比較

圖4 各算法在不同信道下的跟蹤性能比較

3) BS-PAPA 算法不同塊數(shù)與PAPA 算法比較

圖5 為 PAPA 算法、P=3 的 BS-PAPA 算法、P=4 的 BS-PAPA 算法和 P=10 的 BS-PAPA 算法分別在單簇塊稀疏信道與雙簇塊稀疏信道下的跟蹤性能比較圖。當(dāng)?shù)螖?shù)n≤10000 時(shí)，所使用的信道是稀疏度為0.83333 的單簇塊稀疏信道（對(duì)應(yīng)圖2(a)），當(dāng)?shù)螖?shù) n ≥10000 時(shí)，所使用的信道是稀疏度為0.79166 的雙簇塊稀疏信道（對(duì)應(yīng)圖2(b)）。

圖5 BS-PAPA 算法不同塊數(shù)與PAPA 算法比較

由圖5 可以看出，BS-PAPA 算法在塊稀疏信道中收斂速度明顯優(yōu)于PAPA 算法，且不同的塊數(shù)影響B(tài)S-PAPA 算法的收斂速度。對(duì)于此次仿真，塊數(shù)P=4 時(shí)，收斂速度最快。

4 結(jié)束語

分塊稀疏自適應(yīng)濾波算法利用了塊稀疏信道這一特質(zhì)，加快了算法的收斂特性。與傳統(tǒng)的稀疏自適應(yīng)濾波算法相比有較快的收斂性和跟蹤性能。通過計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)也表明塊稀疏算法在分塊稀疏信道中具有更佳的收斂速度。