張運(yùn)秋

摘? ? 要：邊帶不穩(wěn)定性是畸形波生成的一種可能的非線(xiàn)性機(jī)理，其數(shù)值模擬的實(shí)現(xiàn)對(duì)于實(shí)驗(yàn)室基于非線(xiàn)性角度生成畸形波及開(kāi)展畸形波對(duì)船舶等海工程結(jié)構(gòu)物的波浪力研究都具有重要的指導(dǎo)作用。本文考慮到實(shí)驗(yàn)室水槽試驗(yàn)中影響畸形波生成的真實(shí)的阻尼作用，以包含阻尼影響的四階修正型深水非線(xiàn)性薛定諤方程和偽譜方法為基礎(chǔ)建立了波浪演化數(shù)值模型，通過(guò)載波加邊帶擾動(dòng)的波列的非線(xiàn)性演化來(lái)模擬畸形波的生成，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析阻尼及水槽寬度和擾動(dòng)頻帶寬度等參數(shù)對(duì)畸形波生成的影響作用，其結(jié)果對(duì)于探索畸形波的非線(xiàn)性實(shí)驗(yàn)生成方法將提供有益的幫助。

關(guān)鍵詞：邊帶不穩(wěn)定性;阻尼影響;畸形波;偽譜方法;數(shù)值研究

中圖分類(lèi)號(hào)：U661.1? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract： Sideband instability may be a possible nonlinear mechanism of freak wave generation. The realization of its numerical simulation plays an important role in guiding the laboratory to generate deformed waves based on nonlinear angle and to carry out wave force research of freak wave on marine engineering structures such as ships. Considering the real damping effect on freak wave generation in laboratory flume tests， a numerical model of wave evolution is established based on the fourth-order modified deep-water nonlinear Schrodinger equation and pseudo-spectral method including damping effect. The generation of freak wave is simulated by the nonlinear wave train evolution of carrier wave plus sideband disturbance. On this basis， the effects of damping， flume width and disturbance band width on freak wave generation are further analyzed. The results will be helpful for exploring freak wave's nonlinear experimental generation method.

Key words： sideband instability; damping effect; freak wave; pseudo-spectral method; numerical research.

1? ? 前言

畸形波是波高大于兩倍的有效波高和相鄰波高以及波峰大于0.65倍波高的大波[1]。它是海洋工程和學(xué)術(shù)研究中比較關(guān)注的一種災(zāi)害性波浪。由于其發(fā)生地點(diǎn)的不確定性和持續(xù)時(shí)間的暫時(shí)性，在天然狀態(tài)下很難捕捉到符合定義[1]的、完整的畸形波記錄。已有的一些偶然得到的或者是長(zhǎng)期現(xiàn)場(chǎng)觀(guān)測(cè)到的少量畸形波數(shù)據(jù)，使人們對(duì)畸形波的基本特點(diǎn)、發(fā)生區(qū)域及發(fā)生條件的多樣性有了初步的認(rèn)識(shí)，但還不足以從本質(zhì)上了解畸形波的成因及特性。因此，有必要在試驗(yàn)室中模擬畸形波的生成，獲得更多的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)研究其發(fā)生機(jī)理及特性，并將其作為極限荷載來(lái)研究波浪與結(jié)構(gòu)物作用的規(guī)律。

目前，物理模擬畸形波的研究已經(jīng)取得了一定的進(jìn)展。Suchithra and Koola[2]利用深水波浪的色散特性，在某位置處聚焦產(chǎn)生了單個(gè)大波，該波的波峰與波高的比為0.54，其波高大于相鄰波高的2.9倍;Kuhnlein基于線(xiàn)性波浪理論開(kāi)發(fā)了一個(gè)關(guān)于極高波群演化的半經(jīng)驗(yàn)程序來(lái)產(chǎn)生高且陡的波，Clauss[3]通過(guò)其程序優(yōu)化的改進(jìn)技術(shù)在波浪水槽中生成了最大波高Hmax=2Hs，波峰ηc=0.6Hmax的畸形波;Shemer and Goulitski [4]利用振幅和頻率調(diào)制的較寬帶寬初始波列水槽中聚焦生成一個(gè)高而且陡的畸形波，波峰高度大于造波機(jī)處最大波峰高度的3倍，分析表明二階約束波（2nd bound wave）增加聚焦點(diǎn)處的非線(xiàn)性作用;Kriebel[5]提出在實(shí)驗(yàn)室水槽中采用瞬時(shí)波列與隨機(jī)波列疊加來(lái)生成了波高H=2.24 Hs和波峰ηc=0.527H的畸形波;裴玉國(guó)等[6]采用調(diào)整隨機(jī)初相位、Kriebel[11]提出的雙波列疊加和改進(jìn)的三波列疊加等方法，在實(shí)驗(yàn)室中生成了符合定義[1]的畸形波;Boomgaard[7]研究了實(shí)驗(yàn)室水槽中的波浪聚焦，指出線(xiàn)性理論不足以產(chǎn)生一個(gè)足夠聚焦的波，二階波浪生成理論是用來(lái)產(chǎn)生一個(gè)波浪聚焦信號(hào)的最有效的方法; Sundar et al.[8]由造波機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)非線(xiàn)性瞬時(shí)波群在聚焦點(diǎn)處聚焦生成畸形波，波高H=2.125 Hs，波峰ηc=0.685H，其相鄰最大波高約為1.25 Hs。江文山[9]于深水區(qū)非線(xiàn)性波列調(diào)制研究的T091試驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)到了遠(yuǎn)大于相鄰波高的大波，認(rèn)為該結(jié)果給出了邊帶不穩(wěn)定性生成畸形波的一個(gè)解釋?zhuān)搶?shí)驗(yàn)中波高的最大放大因子為2.26，波峰的最大放大因子為2.95，并且在多次實(shí)驗(yàn)中觀(guān)測(cè)到了類(lèi)似的瞬時(shí)大波。

總的來(lái)說(shuō)，目前畸形波的物理模擬技術(shù)還主要是線(xiàn)性理論方面的波浪聚焦，模擬出來(lái)的畸形波大多與定義[1]有一定的差別，考慮到畸形波的強(qiáng)非線(xiàn)性特點(diǎn)，需要加強(qiáng)這種極限波浪的非線(xiàn)性生成技術(shù)以利于探索畸形波的生成機(jī)理及其對(duì)結(jié)構(gòu)物作用方面的研究。因此，在實(shí)驗(yàn)室中通過(guò)邊帶不穩(wěn)定性機(jī)理，采用深水非線(xiàn)性波列演化方法生成畸形波，是物理模擬畸形波生成可考慮的一個(gè)發(fā)展方向。而波浪在實(shí)驗(yàn)水槽中的演化或多或少都會(huì)受到一些阻尼影響，尤其是較窄的水槽，因此，本文將以考慮阻尼作用的四階修正非線(xiàn)性薛定諤方程[10]和偽譜方法為基礎(chǔ)建立波浪演化數(shù)值模型，來(lái)探索實(shí)驗(yàn)室中通過(guò)深水非線(xiàn)性波列演化生成畸形波的可行性以及有效性。

2? ?數(shù)值模型

2.1? 控制方程

影響波浪行進(jìn)的阻尼主要考慮粘性耗散的作用，假設(shè)它是邊界層處耗散的主要因素，由于邊界層區(qū)域在各向尺度與一個(gè)波長(zhǎng)相當(dāng)?shù)牧黧w體積中僅占極小的比例，則在幾個(gè)波長(zhǎng)的距離和幾個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，對(duì)波動(dòng)的全局影響甚微;然而對(duì)遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)的長(zhǎng)距離和遠(yuǎn)長(zhǎng)于周期的長(zhǎng)時(shí)間來(lái)說(shuō)，粘性有累積效應(yīng)，是不可低估的。因此，本文采用考慮粘性阻尼作用的四階修正非線(xiàn)性薛定諤方程來(lái)研究波浪水槽中波列的演化。群速度移動(dòng)坐標(biāo)系統(tǒng)下的無(wú)因次方程[10]為：

2.2? 數(shù)值方法

方程（1）為高階非線(xiàn)性方程，主要采用偽譜方法（Lo and Mei，1985）[10]來(lái)快速求解，偽譜方法以傅立葉變換為基礎(chǔ)，因此方程的求解總是在一個(gè)周期為2π域上進(jìn)行。復(fù)波包A在傅立葉空間上的變換及逆變換表示為：

2.3? 邊帶擾動(dòng)及不穩(wěn)定性條件

3? ?數(shù)值計(jì)算結(jié)果及討論

邊帶不穩(wěn)定性是畸形波生成的一個(gè)主要可能原因，但其演化受多種相關(guān)因素的影響，因此將邊帶不穩(wěn)定性的演化與畸形波的生成結(jié)合起來(lái)，來(lái)分析各種因素對(duì)畸形波生成的影響以及如何在物理試驗(yàn)中快速獲取畸形波。

3.1? 擾動(dòng)頻帶寬度的影響

擾動(dòng)頻帶寬度是載波與邊帶擾動(dòng)之間的頻率偏差，亦即相鄰邊帶之間的頻率偏差。無(wú)因次的擾動(dòng)頻帶寬度為Δω/ω=γε。對(duì)于確定的波陡，尺度因子γ決定著擾動(dòng)頻帶寬度的大小，也決定著不穩(wěn)定域內(nèi)不穩(wěn)定邊帶的多少。

計(jì)算中取邊帶擾動(dòng)振幅S=0.05，載波的基頻f =2 Hz，波陡ka=0.15，實(shí)驗(yàn)室水槽寬度B=1 m。根據(jù)公式（9）可知，當(dāng)尺度因子0<γ<1.15時(shí)，邊帶擾動(dòng)是不穩(wěn)定的。在該不穩(wěn)定域內(nèi)調(diào)整尺度因子的大小，亦即調(diào)整擾動(dòng)頻帶寬度或不穩(wěn)定邊帶的多少來(lái)模擬畸形波的生成。

模擬中采用上跨零點(diǎn)法統(tǒng)計(jì)波高，取載波波高為有效波高，通過(guò)前面給出的定義判斷波列演化過(guò)程中畸形波的出現(xiàn)。圖1給出了尺度因子取不同值時(shí)畸形波首次出現(xiàn)時(shí)的波面，圖中近于正弦波的波面上突然升起了一個(gè)高且陡的大波。設(shè)該大波為波列中第n個(gè)波，波高為hn，波峰高度為hc，該大波前后相鄰波高為hn-1和hn+1。該大波生成的位置及波高特性如表1所示，所生成的大波波高與有效波高的比值均大于2，大于前一波高的2倍，大于后一波高的3～5倍，波峰與波高比大于0.65倍，波面垂直不對(duì)稱(chēng)性明顯，表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線(xiàn)性特征，完全符合畸形波的定義;隨著尺度因子的減小，畸形波的生成位置距造波機(jī)越來(lái)越遠(yuǎn)，但與尺度因子并無(wú)線(xiàn)性關(guān)系，因此物理模擬中以數(shù)值結(jié)果為輔助更易于捕捉畸形波。

畸形波的生成與波列演化過(guò)程中載波與不穩(wěn)定邊帶間的能量交換相關(guān)，為了解波列空間演化過(guò)程中畸形波生成的情況，圖2給出了移動(dòng)坐標(biāo)系統(tǒng)下無(wú)因次的空間上畸形波出現(xiàn)的位置和載波v=0及邊帶v=±1，±2譜振幅的演化。圖中畸形波出現(xiàn)的位置基本對(duì)應(yīng)著載波能量的第一次降低至極值位置附近，這主要是由于粘性阻尼的耗散作用，載波及兩對(duì)邊帶的能量隨著演化距離的增加而不斷遞減，使得無(wú)阻尼作用下譜演化的類(lèi)周期性質(zhì)被改變，因此波列演化過(guò)程中多在載波能量第一次下降至極值位置附近易觀(guān)測(cè)到畸形波的出現(xiàn)。另外，隨著尺度因子的減小，在較近的距離上都可以統(tǒng)計(jì)到畸形波，說(shuō)明生成的畸形波傳播的距離有所增長(zhǎng)，有利于物理模擬中捕捉到畸形波。需要特別指出的是，數(shù)值模擬中γ=0.2時(shí)在某一個(gè)位置周期為2π的波面上統(tǒng)計(jì)到了2個(gè)畸形波，說(shuō)明較多對(duì)不穩(wěn)定邊帶之間的強(qiáng)非線(xiàn)性相互作用抵消了部分粘性阻尼作用，有利于物理試驗(yàn)中得到畸形波。

3.2? 初始擾動(dòng)振幅的影響

初始擾動(dòng)振幅的大小決定了擾動(dòng)邊帶初始能量的大小，影響著不穩(wěn)定邊帶的發(fā)展。計(jì)算中取邊帶擾動(dòng)振幅S=0.1，0.05，0.01，載波的基頻f =2Hz，波陡ka=0.15，實(shí)驗(yàn)室水槽寬度B=1 m。圖3給出了上述條件下尺度因子γ=0.7時(shí)波列演化過(guò)程中畸形波出現(xiàn)的位置統(tǒng)計(jì)和載波v=0及邊帶v=±1，±2譜振幅的演化。如圖所示，隨著初始擾動(dòng)振幅的減小，載波v=0及邊帶v=±1，±2的譜振幅曲線(xiàn)變化至極值的頻率降低，畸形波生成的概率也因此減少。由前面的模擬可知，因阻尼的作用，畸形波的出現(xiàn)大多位于載波能量下降至極值位置附近，而圖中僅有初始擾動(dòng)振幅S=0.1時(shí)的模擬中在該位置附近出現(xiàn)了畸形波，說(shuō)明較大的初始擾動(dòng)振幅增加了畸形波生成的可能性，并且也縮小了生成位置的空間距離。顯然初始擾動(dòng)振幅的增加，增加了不穩(wěn)定邊帶v=±1的初始能量，加快了調(diào)制不穩(wěn)定性的演化，使得載波v=0譜振幅下降至極值的幅度增加，向不穩(wěn)定邊帶v=±1轉(zhuǎn)移的能量也隨之增加，從而利于物理模擬中獲取畸形波。

3.3? 水槽寬度的影響

由公式（3）可知，水槽寬度B的取值影響阻尼的大小，隨著水槽寬度的增加，阻尼減小。計(jì)算中取邊帶擾動(dòng)振幅S=0.05，載波的基頻f = 2 Hz，波陡ka=0.15，水槽寬度B=3.0，2.0，1.5，1.0 m。圖4給出了水槽寬度變化對(duì)于畸形波的生成以及相應(yīng)的譜振幅演化的影響。從圖中可看出，對(duì)于γ=0.7只有一對(duì)邊帶v =±1不穩(wěn)定時(shí)，隨著水槽寬度的增加，載波v=0及邊帶v =±1，±2的譜振幅變化的幅度增加，即初始波列中被阻尼耗散掉的能量逐漸減少，當(dāng)水槽寬度B=3 m時(shí)，載波v=0及邊帶v=±1，±2的演化已基本接近于無(wú)阻尼狀態(tài)的演化;而波列演化過(guò)程中，畸形波的生成都集中在載波v=0譜振幅第一次下降至最小值位置附近，但畸形波的傳播距離隨之增加，然而因較大的阻尼作用下單位寬度的水槽中并無(wú)畸形波出現(xiàn)。因此物理模擬畸形波試驗(yàn)中，若選較大的尺度因子，亦即較大的無(wú)因次頻帶寬度，則需要水槽寬度也相應(yīng)增加。

3.4? 波陡的影響

波陡ε=ka，由試驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)可知，較陡的波列易發(fā)生邊帶不穩(wěn)定性[C.C. Mei，1989]。根據(jù)公式（9）可知，給定載波頻率f，波陡的變化不僅影響著邊帶的不穩(wěn)定域的大小，而且還影響邊帶的帶寬。當(dāng)ka=0.2，0.15，0.1時(shí)，所對(duì)應(yīng)的不穩(wěn)定域分別為0<γ<1.07、0<γ<1.15、0<γ<1.23。計(jì)算中取S=0.05，f =2 Hz，ka=0.15，B=1m，調(diào)整不穩(wěn)定域內(nèi)的尺度因子大小來(lái)模擬畸形波的生成。圖5給出了尺度因子γ=0.9時(shí)波陡變化對(duì)于載波及邊帶的譜振幅演化及其過(guò)程中畸形波的生成影響情況。隨著波陡的增加，載波v=0及邊帶v=±1，±2的譜振幅曲線(xiàn)變化至極值的頻率稍有降低，但由于無(wú)因次的空間距離與實(shí)際距離之間存在著一個(gè)波陡平方的系數(shù)關(guān)系，并沒(méi)有使畸形波可能生成的位置距造波機(jī)越來(lái)越遠(yuǎn)，而是在很大程度上變近了;另外，由于不穩(wěn)定邊帶v=±1的非對(duì)稱(chēng)增長(zhǎng)逐漸加強(qiáng)從而導(dǎo)致了ka=0.2時(shí)有畸形波生成，但阻尼的耗散作用使得譜振幅首次極值后再無(wú)畸形波出現(xiàn)。因此，物理模擬中適當(dāng)?shù)卦黾硬ǘ?，不僅有利于畸形波的生成，而且可減少畸形波生成的距離。

4? ? 結(jié)語(yǔ)

本文以考慮阻尼作用的四階修正NLS方程為基礎(chǔ)研究了數(shù)值試驗(yàn)水槽中畸形波的生成。通過(guò)不穩(wěn)定邊帶的譜演化分析并結(jié)合畸形波的出現(xiàn)位置統(tǒng)計(jì)，討論了擾動(dòng)頻帶寬度、初始擾動(dòng)振幅、水槽寬度、波陡等因素對(duì)實(shí)驗(yàn)室生成畸形波的影響，可以得到如下結(jié)論：

（1）由于粘性阻尼的耗散作用，畸形波僅在水槽中不穩(wěn)定邊帶譜振幅演化的首次極小值位置處出現(xiàn)，因此捕捉畸形波的儀器應(yīng)設(shè)在該處;

（2）畸形波生成的位置與造波機(jī)間的距離與擾動(dòng)頻帶寬度、初始擾動(dòng)振幅、水槽寬度、波陡等因素并不呈線(xiàn)性關(guān)系變化，因此物理試驗(yàn)中以數(shù)值結(jié)果為輔助更易于捕捉畸形波;

（3）適當(dāng)?shù)販p小頻帶寬度，或增加初始擾動(dòng)振幅，或選用較寬的水槽，或增加波陡，有利于物理模擬中生成畸形波，但生成的位置會(huì)有所改變。

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