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        需要添加輔助線求解嗎?

        2019-06-21 08:10:20江蘇省南京金陵中學(xué)河西分校
        關(guān)鍵詞:延長線平分輔助線

        江蘇省南京金陵中學(xué)河西分校

        李玉榮 (郵編:210019)

        問題(2017武漢)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,CO的延長線交AB于點(diǎn)D.

        (1)求證:AO平分∠BAC;

        圖1

        解法1(1)如圖1,延長AO交BC于點(diǎn)H,連接OB,

        因?yàn)锳C=AB,OB=OC,所以點(diǎn)A、O在BC的垂直平分線上,

        所以O(shè)A⊥BC,又AC=AB,所以AO平分∠BAC;

        圖2

        所以AH=AO+OH=9,

        由(1)知,∠BAH=∠CAH,

        設(shè)DK=3a,則AK=9a,

        此題的難點(diǎn)是求CD的長,類似的,先給出求CD的第2種解法:

        圖3

        解法2如圖3,作DK⊥BC于點(diǎn)K,

        評(píng)注這兩種解法添加的輔助線為DK⊥AH(DK⊥BC),從本質(zhì)上看是DK∥BC(DK∥AH)構(gòu)造“A型”或“X型”相似三角形,但圖中的點(diǎn)D是“未定點(diǎn)”(AD、BD、OD、CD均為未知數(shù)),且所添的輔助線破壞了已知的AO(BH),導(dǎo)致解題過程較為復(fù)雜,為何不從另外的五點(diǎn)A、B、H、C、O添加輔助線入手呢?

        圖4

        解法3如圖4,延長CO交⊙O于點(diǎn)K,連接BK,則BK=2OH=8,且BK∥AH,

        圖5

        圖6

        圖7

        解法6如圖7,作AK∥DC交BC延長線于點(diǎn)K,因?yàn)锳K∥OC,所以△AHK∽△OHC,

        因?yàn)锳K∥DC,所以△ABK∽△DBC,

        圖8

        解法7如圖8,作OK∥BC交AB于點(diǎn)K,

        因?yàn)镺K∥BH,所以△AOK∽△ABH,

        因?yàn)镺K∥BC,所以△DOK∽△DBC,所以

        圖9

        解法8如圖9,作OK∥AB交BC于點(diǎn)K,

        因?yàn)镺K∥AB,所以△HOK∽△HAB,

        因?yàn)镺K∥BD,所以△COK∽△CDB,

        圖10

        解法9如圖10,作HK∥CD交AB于點(diǎn)K,

        因?yàn)镠K∥DO,所以△ADO∽△AKH,

        所以△HKB∽△CDB,

        圖11

        解法10如圖11,作HK∥AB交CD于點(diǎn)K,

        因?yàn)镠K∥BD,所以△HKC∽△BDC,

        圖12

        解法11如圖12,作CK∥AB交AH延長線于點(diǎn)K,顯然△BHA≌△CHK(AAS),所以HK=AH=9,

        圖13

        解法12如圖13,作CK∥AH交BA延長線于點(diǎn)K,因?yàn)锳H∥CK,所以△ABH∽△KBC,

        圖14

        圖15

        解法13如圖15,由(1)知∠DAO=∠OAC,

        因?yàn)镺A=OC,所以∠OAC=∠OCA,

        所以∠DAO=∠OCA,又∠ADO=∠CDA,

        評(píng)注此解法依托第(1)問的中介作用,揭示了命題中的條件與隱含條件,為尋求解題途徑指明了方向,無需添加輔助線,使解決問題的方法簡單流暢、別具一格,達(dá)到了化繁為簡、化難為易的目的,而且還可以開拓學(xué)生的思維,對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)也大有裨益.

        中考試題都是經(jīng)過命題專家在課標(biāo)、教材的指引下精心設(shè)計(jì)的,只有深入其中去思考、去體會(huì)、去研究,才會(huì)發(fā)現(xiàn)其引導(dǎo)功能和教學(xué)價(jià)值.在日常教學(xué)中,教師若能選取類似本文提到的這樣的試題,留給學(xué)生足夠的思考時(shí)間,提供給學(xué)生展示自己想法的機(jī)會(huì),并組織學(xué)生對不同思路進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋容^和討論,學(xué)生就能自然地把題目涉及到的基本圖形的相關(guān)性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)加以聯(lián)系,構(gòu)建成一個(gè)整體,達(dá)到靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的程度.

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