鄒德高，陳楷，劉鎖，周揚

(1.大連理工大學(xué) 水利工程學(xué)院；海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024；2.中國電建集團(tuán) 華東勘測設(shè)計研究院有限公司，杭州 311122)

面板堆石壩由于可就地取材、經(jīng)濟(jì)、抗震性強(qiáng)等優(yōu)點，一度成為壩工界青睞的首選壩型[1]，但其結(jié)構(gòu)尺寸相差懸殊，面板最小厚度僅為0.3 m，與壩體整體尺寸差別數(shù)百倍至千倍之多。面板作為大壩最重要的結(jié)構(gòu)，應(yīng)力梯度高，應(yīng)布置較密的網(wǎng)格[2]，且實際研究[3-4]表明，精細(xì)的網(wǎng)格密度將獲得更合理的模擬結(jié)果。

有限單元法使用簡便、通用性強(qiáng)、工程應(yīng)用廣[5]，是面板壩等巖土工程結(jié)構(gòu)安全評價的有效技術(shù)手段，但該方法單元形式單一，平面網(wǎng)格嚴(yán)格限制為三角形和四邊形單元，網(wǎng)格離散限制多，對復(fù)雜邊界適應(yīng)性較差[6]。尤其在尺度跨越大的面板壩工程精細(xì)化分析中，需消耗大量時間進(jìn)行較為繁瑣的人機(jī)交互前處理，一定程度上降低了自動化程度和分析效率[7-8]。近年來，Wolf等[9]提出了彈性的比例邊界多邊形有限元(scaled boundary polygon finite element method, SBPFEM)，該方法更加靈活自由，融合了邊界元(boundary element method, BEM)和有限元法(finite element method, FEM)的優(yōu)點，并規(guī)避了兩者的不足，且已被證明精度和收斂性都高于多邊形有限元的數(shù)值算法[10]，被學(xué)者們應(yīng)用到多個領(lǐng)域：如電磁問題分析[11]、土與結(jié)構(gòu)相互作用分析[12]、裂紋擴(kuò)展分析[13-14]、面板動水壓力研究[15-16]、三維復(fù)雜多面體應(yīng)用[17-18]、波的傳播問題分析[19]等。此外，為探索SBPFEM的非線性應(yīng)用，Chen等[20]利用半解析的彈性解構(gòu)造單元形函數(shù)，采用兩套高斯點方案，實現(xiàn)了比例邊界多邊形有限元的非線性分析，并將其拓展于多孔介質(zhì)動力液化分析[21]及三維彈塑性巖土工程應(yīng)用[22-24]。

采用筆者自主開發(fā)的非線性比例邊界多邊形單元，對典型面板堆石壩進(jìn)行了系統(tǒng)的靜力、動力和永久變形分析計算，并與傳統(tǒng)有限單元法對比，以驗證提出的方法在面板壩工程分析中的可靠性和合理性。隨后，與高效的四分樹離散技術(shù)無縫耦合，進(jìn)行面板壩結(jié)構(gòu)快速跨尺度精細(xì)化分析應(yīng)用，以揭示SBPFEM能在面板壩工程精細(xì)化分析中脫穎而出的顯著優(yōu)勢。

1 工程應(yīng)用探究

計算程序采用作者完全自主研發(fā)的大型巖土工程非線性分析軟件平臺GEODYNA[25]，非線性比例邊界多邊形單元被集成到該平臺。

1.1 理論概要

比例邊界有限元是一種彈性的半解析數(shù)值方法，其環(huán)向離散、徑向解析的特點使其可降低一個計算維度，減少一定的計算量。對任意問題域，可用任意n邊形對求解域離散(n> 2)，如圖1所示。通過對每個子域進(jìn)行求解可獲得整個求解域的數(shù)值結(jié)果。理論詳盡推導(dǎo)，可參見文獻(xiàn)[9-10,20]。

圖1 比例邊界多邊形有限單元Fig.1 Scaled boundary polygon finite

彈性框架限制了該方法的應(yīng)用領(lǐng)域，本著拓展推廣SBFEM的原則，采用非線性化的比例邊界多邊形單元。采用兩套高斯點策略：保留原始的邊界線高斯點，用于計算相關(guān)系數(shù)矩陣和半解析的彈性形函數(shù)；同時，引入內(nèi)部高斯積分點，可積分獲得考慮了材料非線性的單元剛度矩陣，進(jìn)而組裝得到計算域的總體剛度矩陣，并采用Newton-Raphson迭代算法用于求解非線性平衡方程，從而實現(xiàn)該方法的非線性分析。開發(fā)的單元可以求解常規(guī)單元及傳統(tǒng)常規(guī)有限元無法計算的多邊形單元(常規(guī)凸多邊形和四分樹單元)，見圖2。詳細(xì)理論推導(dǎo)和計算可參考文獻(xiàn)[9,20,26-29]。

圖2 比例邊界有限元支持單元類型Fig.2 Supported element types in

1.2 程序驗證

采用彈性懸臂梁結(jié)構(gòu)端部受彎分析驗證實現(xiàn)程序的正確性和計算精度，結(jié)構(gòu)尺寸及網(wǎng)格如圖3所示，其中l(wèi)=1.2 m、h=0.4 m、彈性模量E=3×1010、泊松比v=0.2、荷載F=2.4×107N。

圖3 懸臂梁結(jié)構(gòu)及網(wǎng)格Fig.3 Cantilever structure and

采用SBPFEM和FEM分別計算相同結(jié)構(gòu)，并與理論近似解(采用文獻(xiàn)[20]提供的公式)進(jìn)行對比，分析結(jié)果列于表1。從表1可以看出，采用的SBPFEM具有更高的精度。

表1 計算結(jié)果與理論解比較Table 1 Comparison between calculation results and theoretical approximate solutions

1.3 工程算例驗證

以典型面板堆石壩為例，壩高為155 m，壩頂寬度為17 m，面板坡比1∶1.8，主體結(jié)構(gòu)材料分區(qū)包括面板、墊層區(qū)以及堆石料區(qū)。為更合理地模擬面板變形和應(yīng)力，面板與墊層之間添加無厚度的Goodman接觸面單元，面板與趾板之間添加縫單元。常規(guī)有限元網(wǎng)格離散單元個數(shù)為1 702，節(jié)點個數(shù)1 816，分析模型見圖4。

圖4 面板壩有限元網(wǎng)格Fig.4 Mesh of concrete face rock-fill

1.4 材料參數(shù)

靜、動力均采用堆石料廣義塑性模型[30]模擬筑壩材料變形特性，參數(shù)列于表2。面板與墊層間設(shè)置的接觸面采用廣義塑性接觸面本構(gòu)模型[31]，詳細(xì)參數(shù)見表3。

表2 筑壩材料廣義塑性模型參數(shù)Table 2 Generalized plastic model parameters of dam material in static analysis

表3 廣義塑性接觸面參數(shù)Table 3 Parameters of the generalized plastic interface model

面板、趾板及基巖采用線彈性模型，參數(shù)見表4?？p單元參數(shù)采用文獻(xiàn)[32]建議值，其法向壓縮剛度為25 GPa/m，法向拉伸剛度為5 MPa/m，切向剛度為1 MPa/m。靜力計算考慮了壩體的施工填筑和蓄水過程，壩體填筑分22個荷載步完成，隨后分30個荷載步蓄水至152 m高程。

表4 線彈性材料參數(shù)Table 4 Parameters of linear model for concrete

1.5 地震動輸入和計算方案

1.5.1 地震動輸入 地震動輸入采用規(guī)范譜人工波，順河向峰值加速度為0.2g，豎向峰值加速度為順河向的2/3。地震波加速度時程見圖5。地震波持續(xù)時長為25.00 s，計算時間步間隔Δt取0.02 s。

圖5 地震波加速度時程曲線Fig.5 Time history curve of seismic wave

1.6 計算結(jié)果及分析

1.6.1 靜力結(jié)果 圖6為滿蓄期的壩體位移等值線分布圖。從圖6可以看出，F(xiàn)EM計算結(jié)果與NSBPFEM結(jié)果吻合較好。圖7為滿蓄期面板應(yīng)力變形，F(xiàn)EM與NSBPFEM結(jié)果基本一致。

表5給出了滿蓄時壩體和面板應(yīng)力變形的極值。從表5可見，兩種方法計算結(jié)果相差較小，證明NSBPEM在模擬大壩填筑蓄水過程中的精度可以得到保證。

圖6 滿蓄期壩體位移(單位：m)Fig.6 Displacement of the dam after impoundment

圖7 滿蓄期面板應(yīng)力變形Fig.7 Deflection and stress along slope direction of face

方法壩體位移/m上游下游豎向面板應(yīng)力變形撓度/m應(yīng)力/MPaFEM0.0650.1250.8120.2189.24NSBPEM0.0650.1260.8160.2189.15相差/%0.0000.7900.4900.0000.98

1.6.2 動力結(jié)果 圖8為地震過程中面板順坡向應(yīng)力隨高程分布規(guī)律。FEM計算應(yīng)力與NSBPFEM計算結(jié)果非常接近。

表6列出了兩種方法動力計算中壩頂A點的加速度的極值情況，結(jié)果顯示兩者相差不大，說明了NSBPFEM在動力計算中的可靠性。

圖8 地震作用下面板應(yīng)力(壓為負(fù))Fig.8 Stress along slope direction of concrete face during

方法順河向豎向FEM1.971.99NSBPEM1.982.01相差%0.510.99

1.6.3 永久變形結(jié)果 圖9為地震后壩體永久變形計算結(jié)果。從圖9可以看出，兩者變形輪廓基本完全一致，說明NSBPFEM可用于震后永久變形計算分析。

圖9 堆石體震后永久變形(放大10倍)Fig.9 Permanent deformation of the dam body after

2 高效的跨尺度精細(xì)化分析

除可用于常規(guī)單元(三角形和四邊形)分析外，SBPFEM的優(yōu)勢在于其可與傳統(tǒng)有限單元不能直接處理的四分樹網(wǎng)格離散技術(shù)無縫結(jié)合，進(jìn)行高效的跨尺度精細(xì)化分析。四分樹可快速實現(xiàn)尺度跨越，從1 m級到1 mm級僅需10層遞歸劃分(210= 1 024)[33]?？勺詣舆M(jìn)行高質(zhì)量單元離散，且劃分網(wǎng)格以正方形為主，僅邊界和過渡區(qū)為多節(jié)點單元。

2.1 計算模型與參數(shù)

采用四分樹技術(shù)，并結(jié)合SBPFEM對面板壩進(jìn)行高效跨尺度精細(xì)化分析應(yīng)用，其中，面板單元尺寸設(shè)定為0.5 m，壩體單元大小為8.0 m。如圖10～圖11所示，整個模型剖分時間僅為0.216 s。該技術(shù)可高效地實現(xiàn)跨尺度精細(xì)化分析，避免了文獻(xiàn)[7-8]的不足。值得注意的是，該方法進(jìn)行網(wǎng)格二次劃分時，僅需重新定義最大和最小網(wǎng)格尺寸即可，顯著改善了網(wǎng)格離散效率。

圖10 面板壩四分樹網(wǎng)格Fig.10 Quadtree mesh of concrete face

圖11 面板壩四分樹網(wǎng)格局部Fig.11 Partial quadtree mesh of concrete face

靜力計算分25個荷載步模擬實際施工過程，分30步緩慢蓄水至152 m高程，靜力計算所得的應(yīng)力變形作為初始應(yīng)力輸入，進(jìn)行動力時程分析，相應(yīng)的計算參數(shù)列于表2～表4。地震動激勵輸入如圖5所示。

2.2 計算結(jié)果分析

圖12 滿蓄期面板應(yīng)力變形Fig.12 Deflection and stress along slope direction of

地震動作用下，面板動應(yīng)力分布情況繪制于圖13。從圖13可看出：面板應(yīng)力有少量差別，其中，SBPFEM計算的最大順坡向應(yīng)力最大值為13.2 MPa，F(xiàn)EM計算的最大值則為12.2 MPa。最小順坡向應(yīng)力計算中，SBPFEM最大壓應(yīng)力為6.91 MPa，最大拉應(yīng)力為2.21 MPa；FEM計算的最大壓應(yīng)力為5.92 MPa，最大拉應(yīng)力為2.96 MPa，詳細(xì)結(jié)果列于表7。兩種方法計算所得規(guī)律基本一致，僅數(shù)值有少量差別。

圖13 地震作用下面板應(yīng)力(壓為負(fù))Fig.13 Stress along slope direction of concrete face

方法最大順坡向最大壓應(yīng)力/MPa最小順坡向最大壓應(yīng)力/MPa最大拉應(yīng)力/MPaFEM12.25.922.96NSBPEM13.26.912.21

聯(lián)合NSBPFE和四分樹網(wǎng)格技術(shù)，對面板壩進(jìn)行跨尺度精細(xì)化靜動力數(shù)值分析，計算結(jié)果符合堆石壩正常變形的基本規(guī)律，且FEM計算結(jié)果與NSBPFE結(jié)果很接近，采用跨尺度方案后，對滿蓄期壩體位移及面板應(yīng)力變形影響不大，但對地震作用下面板應(yīng)力影響較為明顯，最大應(yīng)力差別約1.0 MPa。

總體來看，可以認(rèn)為NSBPFEM用于跨尺度精細(xì)化分析是合理和可行的，可為下一步研究損傷演化和局部破壞提供了技術(shù)支撐。

3 結(jié)論

采用自主開發(fā)的非線性比例邊界多邊形單元(NSBPFE)對典型面板堆石壩系統(tǒng)地進(jìn)行了靜力、動力計算分析，結(jié)果表明：

1)NSBPFE可簡單、便捷地處理三角形、四邊形以及傳統(tǒng)有限元不能直接處理的五邊形、六邊形等多邊形單元，對堆石壩結(jié)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)的靜力、動力和永久變形分析，表明該方法結(jié)果合理，精度較高，可用于面板壩數(shù)值分析。

2)NSBPFE具有更強(qiáng)的靈活性、高效性和通用性優(yōu)勢，主要體現(xiàn)為該方法可與四分樹網(wǎng)格技術(shù)(多節(jié)點單元)自動地?zé)o縫結(jié)合，以進(jìn)行面板壩高效的跨尺度精細(xì)化分析。

3)研究工作為進(jìn)一步分析面板壩防滲面板結(jié)構(gòu)局部損傷演化和漸進(jìn)破壞提供了有力的技術(shù)支撐，且具有較強(qiáng)的通用性，可以拓展到其他土木和水利工程的安全評價。