周 平，黃 慎，周 棟

(1.福州大學(xué) 紫金礦業(yè)學(xué)院，福州 350116；2.福州大學(xué) 爆炸技術(shù)研究所，福州 350116；3.內(nèi)蒙古廣納煤業(yè)集團(tuán)有限責(zé)任公司，內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 016100)

采空區(qū)頂板穩(wěn)定性問題是礦山生產(chǎn)過(guò)程中必不可少的考慮因素。當(dāng)采空區(qū)發(fā)生失穩(wěn)、坍塌時(shí)，會(huì)對(duì)空區(qū)下工作人員和機(jī)械設(shè)備等產(chǎn)生巨大的危害，而采空區(qū)頂板跨度、空區(qū)高度、頂板受力情況等因素發(fā)生變化時(shí)，都會(huì)對(duì)空區(qū)穩(wěn)定性產(chǎn)生較大的影響。隨著越來(lái)越多的礦山采用充填采礦法對(duì)礦山進(jìn)行開采，充填體作用下的頂板厚度的大小已成為一個(gè)重要的研究問題。當(dāng)空區(qū)頂板受充填體作用時(shí)，頂板厚度過(guò)小將無(wú)法確保空區(qū)的穩(wěn)定，而頂板厚度過(guò)大將造成礦石損失，礦山經(jīng)濟(jì)技術(shù)指標(biāo)降低。

傳統(tǒng)的采空區(qū)穩(wěn)定性分析方法及頂板厚度計(jì)算多采用頂板厚跨比法、魯佩涅依特理論、荷載傳遞線交匯法等。這些傳統(tǒng)的方法都為半定量分析法，不能很好地反映采空區(qū)的破壞機(jī)制以及頂板受力情況。巖小明等[1]采用數(shù)值模擬的分析方法對(duì)采空區(qū)頂板穩(wěn)定性及空區(qū)頂板厚度進(jìn)行評(píng)判和計(jì)算。但由于巖體結(jié)構(gòu)參數(shù)、物理參數(shù)等的復(fù)雜性與不確定性，數(shù)值模擬過(guò)程的冗雜繁復(fù)性，使得數(shù)值模擬得到的結(jié)果可靠性不足，不能直接被現(xiàn)場(chǎng)工程設(shè)計(jì)所采用。陳強(qiáng)等[2]采用灰色關(guān)聯(lián)分析等模型預(yù)測(cè)的方法對(duì)采空區(qū)危險(xiǎn)度、穩(wěn)定性程度進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，此類方法雖能反映多種因素對(duì)采空區(qū)穩(wěn)定性的影響，但由于不同的采空區(qū)環(huán)境所受因素不盡相同，不僅推廣性差，且不能給出頂板厚度大小的確定方法。因此，采用理論分析計(jì)算的方法對(duì)充填體作用下空區(qū)頂板進(jìn)行穩(wěn)定性分析，并求得空區(qū)頂板厚度的計(jì)算公式對(duì)礦山現(xiàn)場(chǎng)工程設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義。

王金安等[3]運(yùn)用彈性薄板理論，流變力學(xué)理論對(duì)礦山采空區(qū)礦柱—頂板體系穩(wěn)定性進(jìn)行研究，并預(yù)測(cè)采空區(qū)穩(wěn)定時(shí)間。林杭等[4]采用折減理論對(duì)采空區(qū)頂板安全厚度進(jìn)行預(yù)測(cè)。趙延林等[5]結(jié)合突變理論對(duì)采空區(qū)頂板穩(wěn)定性進(jìn)行分析研究。徐曉鼎等[6]基于檢點(diǎn)突變模型得出礦柱的幾何參數(shù)對(duì)于頂板穩(wěn)定性影響的敏感度分析。突變理論作為一門新興學(xué)科，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于滑坡[7]、巷道失穩(wěn)、底板突水、巖爆[8]等眾多工程領(lǐng)域中，且取得了較理想的效果。

1 突變失穩(wěn)機(jī)制的數(shù)學(xué)理論

突變理論是Rene Thom在1972年提出的非線性數(shù)學(xué)理論，用于研究系統(tǒng)狀態(tài)從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€(gè)穩(wěn)定狀態(tài)的現(xiàn)象和規(guī)律?，F(xiàn)已成為一種研究當(dāng)外界影響因素連續(xù)變化，而系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生突變的主要數(shù)學(xué)理論。應(yīng)用突變數(shù)學(xué)理論解決問題的關(guān)鍵在于將要研究的問題建立正確的、合適的突變模型。Rene Thom指出，在控制變量≤4，狀態(tài)變量≤2的情況下，其突變模型最多可以有7種。由于Rienan-Hugonioc點(diǎn)突變模型屬于比較簡(jiǎn)單的模型，有兩個(gè)控制變量，一個(gè)狀態(tài)變量，而且具有多種模態(tài)性、發(fā)散性、滯后性等特點(diǎn)。所以Rienan-Hugonioc點(diǎn)突變模型應(yīng)用最為廣泛，實(shí)際的工程問題通常轉(zhuǎn)換為Rienan-Hugonioc點(diǎn)突變模型進(jìn)行分析討論。

本文采用Rienan-Hugonioc點(diǎn)突變模型對(duì)充填體荷載作用下采空區(qū)頂板穩(wěn)定的分析步驟如下：

1)根據(jù)充填體荷載作用下采空區(qū)頂板的受力特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)特征建立相應(yīng)的力學(xué)結(jié)構(gòu)模型。

2)依據(jù)已建立的力學(xué)結(jié)構(gòu)模型，求出系統(tǒng)的總勢(shì)能方程，再利用數(shù)學(xué)公式將其轉(zhuǎn)化為Rienan-Hugonioc點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)形式：

V(x)=x4+mx2+nx+b

(1)

3)對(duì)勢(shì)函數(shù)V(x)求一階導(dǎo)，得到一個(gè)由兩個(gè)控制變量，一個(gè)狀態(tài)變量組成的平衡曲面M(見圖1)。平衡曲面M上的所有點(diǎn)(u,v,x)為勢(shì)函數(shù)V(x)的平衡點(diǎn)。

(2)

通過(guò)對(duì)勢(shì)函數(shù)V(x)求二階導(dǎo)，可得到奇異點(diǎn)的方程：

(3)

圖1 系統(tǒng)平衡曲面Fig.1 System balance surface

聯(lián)立式(2)、式(3)消去x(相當(dāng)于將平衡曲面M上奇異點(diǎn)投影到控制曲面)，得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性平衡方程即分叉點(diǎn)集方程：

Δ=8m2+27n2=0

(4)

4)當(dāng)系統(tǒng)的兩個(gè)控制變量m、n滿足式(4)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界平衡狀態(tài)，此時(shí)Δ=0。當(dāng)控制變量m、n發(fā)生變化時(shí)，巖體將發(fā)生失穩(wěn)破壞，此時(shí)Δ<0。在臨界平衡狀態(tài)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)Δ>0。

2 充填體下采空區(qū)頂板突變模型

2.1 充填體下采空區(qū)頂板力學(xué)模型

充填體下采空區(qū)頂板可簡(jiǎn)化為圖2所示力學(xué)模型。圖中，h為頂板厚度，q2橢圓形頂板上方充填體對(duì)其施加的均布載荷。

該橢圓形頂板結(jié)構(gòu)在采礦結(jié)束后處于穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)進(jìn)行充填時(shí)，或采空區(qū)充填完畢進(jìn)行下階段開采時(shí)，頂板結(jié)構(gòu)在力的變化下，將從原來(lái)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)向失穩(wěn)狀態(tài)發(fā)生變化，而突變就是一種常見且重要的失穩(wěn)形式。因此充填體下頂板結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性適合轉(zhuǎn)化為Rienan-Hugonioc點(diǎn)突變模型進(jìn)行分析討論。

圖2 頂板簡(jiǎn)化力學(xué)模型Fig.2 Roof simplified mechanical model

2.2 充填體下采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)Rienan-Hugonioc點(diǎn)突變模型

根據(jù)充填體作用下采空區(qū)頂板受力情況，系統(tǒng)總勢(shì)能包括頂板彎曲形變勢(shì)能V1，頂板巖層中面應(yīng)變勢(shì)能V2，頂板自重q1在軸向位移所做的功V3，頂板自重q1在徑向位移所做的功V4，充填體作用力q2在軸向位移所做的功V5，充填體作用力q2在徑向位移所做的功V6。

1)頂板彎曲形變勢(shì)能V1：

(5)

2)頂板巖層中面應(yīng)變勢(shì)能V2：

(6)

3)頂板自重q1在軸向位移所做的功V3：

(7)

4)頂板自重q1在徑向位移所做的功V4：

(8)

5)充填體作用力q2在軸向位移所做的功V5：

(9)

6)充填體作用力q2在軸向位移所做的功V6：

10)

頂板力學(xué)系統(tǒng)的總勢(shì)能為：

V=V1+V2+V3+V4+V5+V6

(11)

將式(5)～(9)代入式(10)得到充填體作用下頂板結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能函數(shù)表達(dá)式：

(12)

式中：

m3=0.042(q1+q2)π

令：

利用Tschirnhaus變換：

則式(12)化為：

(13)

對(duì)式(13)進(jìn)一步簡(jiǎn)化得：

(14)

式中：

對(duì)式(14)求一階導(dǎo)數(shù)得到系統(tǒng)平衡曲面方程：

(15)

對(duì)式(14)求二階導(dǎo)數(shù)得到系統(tǒng)奇異點(diǎn)的方程：

(16)

聯(lián)立式(15)和(16)求得系統(tǒng)分叉集方程：

Δ=4κ3+27λ2

(17)

3 基于充填體下采空區(qū)穩(wěn)定的頂板安全厚度的確定

由圖1可知，采空區(qū)失穩(wěn)的條件為κ≤0，此時(shí)平衡點(diǎn)才有跨越分叉集的可能性。所以采空區(qū)頂板失穩(wěn)的充要條件為κ≤0，即：

10-7(q1+q2)2

綜合推導(dǎo)得到采空區(qū)頂板失穩(wěn)臨界厚度為：

(18)

式中：

根據(jù)充填體荷載作用下頂板的破壞特征，式(18)在具體的礦山開采實(shí)踐過(guò)程中有如下作用[10]：

1)對(duì)于由下階段開采形成的充填體下采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)，可利用上式進(jìn)行頂板厚度的參數(shù)設(shè)計(jì)，為取得合理、安全的頂板厚度提供依據(jù)。

2)對(duì)于由上階段開采形成的充填體下采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)，在充填前可以利用上式對(duì)預(yù)留設(shè)的頂板厚度進(jìn)行尺寸校核，以確定預(yù)留設(shè)頂板尺寸是否符合穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)，不符合時(shí)需要通過(guò)加固頂板、提高充填體的強(qiáng)度等措施對(duì)頂板結(jié)構(gòu)進(jìn)行維護(hù)，從而確定上階段采空區(qū)充填后不會(huì)使頂板失穩(wěn)破壞。

4 采場(chǎng)實(shí)例驗(yàn)證

福建某多金屬(主要金屬為銅、金、銀)礦賦存于燕山期花崗巖中，礦體走向長(zhǎng)368 m，沿傾向長(zhǎng)425 m，平均厚度為10.2 m，傾向NE—SW，傾角在0°～15°，礦體呈似層狀，透鏡狀，脈狀和扁豆?fàn)?，礦體厚度變化較穩(wěn)定。該礦山當(dāng)前采礦方法為淺孔留礦嗣后充填采礦法，礦房沿垂直礦體走向布置，實(shí)行由下至上的回采順序。礦房尺寸為50 m×25 m×60 m(長(zhǎng)×寬×高),礦柱尺寸為10 m×20 m×60 m(長(zhǎng)×寬×高)。礦山當(dāng)前預(yù)留頂板厚度為8～12 m，實(shí)際回采過(guò)程中根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)和地質(zhì)條件進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。

結(jié)合該礦山采場(chǎng)實(shí)際回采情況，在-160 m中段礦房已充填完畢的情況下，現(xiàn)對(duì)-220 m中段的頂板穩(wěn)定性進(jìn)行分析。該礦區(qū)礦巖和充填體的各類物理力學(xué)性質(zhì)見表1。

表1 巖(礦)體物理力學(xué)參數(shù)

則由該礦山充填條件可知，充填體作用于頂板的均布荷載應(yīng)包括上覆巖層荷載和充填體自重荷載這部分的加和，即：

q2=21.8×60+29.3×500=15 958 kN/m2

代入相應(yīng)參數(shù)值到式(18)可以確定該頂板的厚度為：

取頂板安全系數(shù)為2[9]，則頂板穩(wěn)定臨界厚度h=5.74 m。通過(guò)理論計(jì)算所得頂板穩(wěn)定的臨界厚度小于回采預(yù)留頂板厚度，認(rèn)為目前采場(chǎng)頂板穩(wěn)定安全。

5 結(jié)論

本文基于突變理論和采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，將頂板結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為橢圓形頂板?；陧敯宸€(wěn)定性分析的基礎(chǔ)上，得到如下結(jié)論：

1)依據(jù)Rienan-Hugonioc點(diǎn)突變模型構(gòu)建其力學(xué)模型。分析得出頂板厚度對(duì)于充填體下采空區(qū)頂板穩(wěn)定起著決定性作用。在地質(zhì)條件和礦巖力學(xué)性能確定的情況下，頂板的厚度對(duì)于采空區(qū)頂板的穩(wěn)定起著決定性的作用。

2)根據(jù)頂板Rienan-Hugonioc點(diǎn)突變模型的充要條件，結(jié)合Tschirnhaus變換，推導(dǎo)出充填體下采空區(qū)頂板安全厚度的表達(dá)式，為充填體下采空區(qū)頂板厚度的設(shè)計(jì)和安全校核提供理論依據(jù)。

3)根據(jù)推導(dǎo)所得公式對(duì)于具體礦山回采設(shè)計(jì)中頂板厚度的確定，具有一定的指導(dǎo)意義。在簡(jiǎn)化模型的計(jì)算基礎(chǔ)之上，選取合理的安全系數(shù)，得到該礦山在上階段采空區(qū)充填時(shí)，安全的頂板厚度為5.74 m，小于該礦山預(yù)留頂板厚度值，認(rèn)為該礦山采空區(qū)頂板在充填條件下可保持穩(wěn)定。