閥控缸系統(tǒng)有限時間滑?？刂?/h1>
2019-06-17 11:29:24
液壓與氣動 2019年6期
(北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院， 北京 100044)
引言
液壓伺服系統(tǒng)具有響應(yīng)快、精度高等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于機(jī)械制造、船舶操縱和工業(yè)過程控制中。而在控制系統(tǒng)研究中，穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)研究中的一個重要環(huán)節(jié)。在閥控缸系統(tǒng)的研究中，控制方法均為無限時間穩(wěn)定,而對于控制系統(tǒng),收斂性能是控制系統(tǒng)中的關(guān)鍵指標(biāo)，從時間優(yōu)化的角度實現(xiàn)有限時間控制才是最優(yōu)控制[1-2]。
俞玨等[3]針對閥控缸系統(tǒng)的強(qiáng)非線性提出了一種反饋線性化控制器。王迪[4]以閥控液壓缸系統(tǒng)為研究對象，基于不同負(fù)載工況提出了自抗擾控制算法。林浩等[5]針對電液伺服系統(tǒng)中非線性和參數(shù)不確定的問題，提出了一種自適應(yīng)Backstepping控制方法。馮亞恒[6]針對閥控缸系統(tǒng)在參數(shù)波動較大時PID控制效果變差的問題提出了一種魯棒H∞混合靈敏度控制算法，通過仿真驗證控制效果優(yōu)于PID控制。但是以上所提出控制算法均為漸近穩(wěn)定，在收斂時間上為無限時間收斂。
由于滑?？刂凭哂许憫?yīng)速度快、對參數(shù)及擾動變化不靈敏和物理實現(xiàn)簡單等特點,越來越多的被應(yīng)用在液壓控制領(lǐng)域[7-8]。在傳統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制中，滑模面為線性滑模面，系統(tǒng)到達(dá)滑模面后，跟蹤誤差漸近收斂至0，通過選擇滑動模態(tài)參數(shù)來調(diào)整漸近收斂的速度。在液壓控制領(lǐng)域中，各種滑模變結(jié)構(gòu)控制方法被提出，提高了液壓控制系統(tǒng)的控制性能，推動和發(fā)展了滑模變結(jié)構(gòu)控制在液壓系統(tǒng)中的應(yīng)用[9-10]。然而，無論如何調(diào)整滑模參數(shù)，系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差都不會在有時間內(nèi)收斂至0。為了解決無限時間收斂的問題獲得更好的性能，Terminal滑?？刂撇呗员惶岢霾⑹艿綄W(xué)者廣泛關(guān)注。
1 閥控缸系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型
1.1 閥控缸系統(tǒng)描述
閥控缸系統(tǒng)按輸出信號可分為位置控制系統(tǒng)、速度控制系統(tǒng)、加速度控制系統(tǒng)、壓力控制系統(tǒng)等，在工程應(yīng)用中閥控缸系統(tǒng)的位置控制尤為重要。然而，在閥控缸系統(tǒng)位置控制中又分為閥控對稱缸與閥控非對稱缸2種。由于閥控對稱缸具有一定普適性，因此選取閥控對稱缸為建模對象。
在分析閥控缸系統(tǒng)的特性之前需對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。為了便于物理模型的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，借鑒前人在閥控液壓缸建模過程中考慮或者忽略的因素，在一些條件理想情況下，建立閥控缸模型[13]，系統(tǒng)原理圖如圖1所示。
以圖1所示閥控缸系統(tǒng)為研究對象，分別建立閥的流量方程、流量連續(xù)性方程和力平衡方程。
1) 閥的流量方程
QL=Kqxv-KcpL
(1)
式中，Kq—— 閥在穩(wěn)態(tài)工作點附近的流量增益
xv—— 閥芯位移
Kc—— 穩(wěn)態(tài)工作點附近流量-壓力系數(shù)
pL—— 負(fù)載壓降
圖1 電液伺服系統(tǒng)原理圖
2) 液壓缸連續(xù)性方程
(2)
式中，A—— 活塞的有效面積
y—— 活塞位移
Cte—— 總泄漏系數(shù)
βe—— 油液彈性模數(shù)
Vt—— 2個油腔的總?cè)莘e
3) 液壓缸與負(fù)載的力平衡方程
不考慮庫倫摩擦等非線性負(fù)載并且忽略油液的質(zhì)量，液壓缸與負(fù)載的力平衡方程：
(3)
式中，F(xiàn)g—— 液壓缸產(chǎn)生的驅(qū)動力
m—— 活塞負(fù)載的總質(zhì)量
Bc—— 活塞負(fù)載的黏性阻尼系數(shù)
K—— 負(fù)載的彈簧剛度
F—— 作用在活塞上的任意外負(fù)載力
通過式(1)～式(3)即可得到閥控缸系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。
1.2 閥控缸系統(tǒng)建模
在閥控液壓缸系統(tǒng)作為位置控制的輸出元件時，一般沒有彈性負(fù)載，因此K=0[14]。由于伺服閥和液壓缸的泄漏產(chǎn)生的阻尼系數(shù)一般大于活塞負(fù)載的黏性阻尼系數(shù)Bc，所以Bc(Kc+Cte)/A2≤1，可以忽略，因此數(shù)學(xué)模型可以簡化為：
(4)
選取狀態(tài)變量[15]：
(5)
在不考慮外界干擾的情況下，狀態(tài)方程為：
(6)
其中，
Kce=Kc+Cte
式中，ωh—— 液壓缸固有頻率
ζh—— 液壓阻尼比
Kce—— 總的流量-壓力系數(shù)
存在干擾的情況下，系統(tǒng)狀態(tài)方程為：
(7)
其中，
u=xv
式中，u—— 控制器輸入
βe—— 體積彈性模量
d(t) —— 外界干擾
2 有限時間控制器設(shè)計
2.1 有限時間滑模面設(shè)計
對閥控缸系統(tǒng)進(jìn)行位置伺服中采用一種新型的全局快速終端滑模控制的方法。定義誤差向量為：
(8)
式中，e為跟蹤誤差，滑模面設(shè)計為：
s=C(E-P)
(9)
終端函數(shù)向量P(t)的構(gòu)造是實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)在時間T內(nèi)進(jìn)行跟蹤的關(guān)鍵。終端函數(shù)向量P(t)需要滿足以下三個條件：
(1) 在t=0時，s=0即E(0)=P(0)；
(3)P(t)存在一階微分并且有界。
(10)
由于閥控缸系統(tǒng)模型為三階，所以n=3，因此p(t)可寫為：
(11)
(12)
2.2 有限時間控制器設(shè)計
根據(jù)閥控缸模型的狀態(tài)方程可得控制律為：
(14)
控制器設(shè)計為：
(15)
選擇Lyapunov函數(shù)為：
(16)
對時間t求微分，由控制率式(15)以及式(9)和式(14)可得：
=-c3ηssgn(s)
=-c3ηs
(17)
3 MATLAB仿真與分析
3.1 慣性負(fù)載下MATLAB仿真
由于在t=0時，E(0)=P(0),可以看出系統(tǒng)在初始狀態(tài)時已在滑模面上，消除了到達(dá)階段，保證了系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性。為了測試所提出的終端滑模控制策略并研究與圖1中閥控系統(tǒng)控制相關(guān)的基本問題，運用MATLAB進(jìn)行仿真，相關(guān)參數(shù)如表1所示。
分別選取參考函數(shù)xd=sint，xd=sin2πt，xd=5sint+sin2πt+sinπt/6以及xd=cost對系統(tǒng)及其控制方法進(jìn)行仿真研究。設(shè)定初始條件為X0=[0.5，0，0]T，在不考慮外界干擾的情況下選取η=0.1。對閥控缸系統(tǒng)進(jìn)行位置跟蹤，得到仿真結(jié)果。
由圖2、圖3可以看出，本研究設(shè)計的控制器不僅解決了閥控缸系統(tǒng)中位置跟蹤的非有限時間收斂到0
表1 模型參數(shù)
問題， 還實現(xiàn)了零誤差跟蹤。 實際信號將在所設(shè)定收斂時間T=3 s時穩(wěn)定。 通過圖2與圖3對比可以看出，在參考信號頻率增大時， 3.0 s之前會出現(xiàn)較大超調(diào)，但是控制器跟蹤性能不受影響。
圖2 xd=sint時閥控缸位置跟蹤及跟蹤誤差曲線
當(dāng)參考信號xd=5sint+sin2πt+sinπ/6t時，位置跟蹤軌跡與跟蹤誤差如圖4所示。本研究所設(shè)計控制器可實現(xiàn)對不同頻率信號的跟蹤。在收斂時間3.0 s之前，跟蹤誤差隨參考信號頻率的增加而增加。
通過圖2～圖5可以看出，此控制方法不僅適用于參考信號為正弦信號時，同時也適用于余弦信號。當(dāng)參考信號為余弦信號時，在未完全收斂之前，系統(tǒng)位置跟蹤誤差較小，魯棒性較強(qiáng)。
圖3 xd=sin2πt閥控缸位置跟蹤及跟蹤誤差曲線
圖4 xd=5sint+sin2πt+sinπt/6的閥控缸位置跟蹤曲線及跟蹤誤差曲線
3.2 存在外界干擾情況下系統(tǒng)仿真
在存在外界干擾的情況下，采用控制律(15)，假設(shè)外界干擾d(t)是一個有界函數(shù)，即d(t)≤D。取η=50并用飽和函數(shù)替代符號函數(shù)對系統(tǒng)及控制器進(jìn)行MATLAB仿真。分別選取參考信號xd=sint，xd=cost。
在存在外界干擾且參考信號為和時，MATLAB仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。由圖可以看出，期望軌跡與實際軌跡并未完全重合，但都是有界的并且跟蹤誤差控制在一個很小的范圍內(nèi)。
圖5 xd=cost的閥控缸位置跟蹤及跟蹤誤差曲線
圖6 xd=sint時閥控缸位置跟蹤及跟蹤誤差曲線
通過圖8比較傳統(tǒng)滑?？刂频母櫩刂菩Ч徒K端滑模控制位置跟蹤誤差曲線，可以看出傳統(tǒng)的滑?？刂瓶蓪崿F(xiàn)位置跟蹤漸近收斂，并且誤差較大。對于終端滑?？刂?，液壓缸伸出桿位置跟蹤誤差可實現(xiàn)在有限時間內(nèi)收斂，跟蹤誤差控制在一個小范圍內(nèi)。
圖7 xd=cost的閥控缸位置跟蹤及跟蹤誤差曲線
圖8 xd=sint終端滑模與傳統(tǒng)滑模跟蹤誤差曲線
4 結(jié)論
建立了有無外界干擾情況下閥控缸系統(tǒng)模型，并基于控制系統(tǒng)的滑?？刂品椒▽ο到y(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)態(tài)分析提出了一種終端滑?？刂品椒蓪崿F(xiàn)位置跟蹤在有限時間內(nèi)完全收斂。由于在液壓系統(tǒng)中，正弦信號和基于正弦信號的衍生信號常被應(yīng)用于對產(chǎn)品的測試中。最終應(yīng)用閥控缸系統(tǒng)模型對控制方法進(jìn)行MATLAB仿真，得出以下結(jié)論。
(1) 通過設(shè)計終端函數(shù)使得系統(tǒng)初始狀態(tài)位于滑模面上，消除了達(dá)到階段，保證了系統(tǒng)的全局魯棒性和穩(wěn)定性;
(2) 終端滑?？刂品椒ǖ目刂平Y(jié)構(gòu)及控制率具有普適性，可應(yīng)用于高階系統(tǒng)，并且收斂時間可根據(jù)系統(tǒng)規(guī)格設(shè)定;
(3) 仿真結(jié)果表明，在位置參考信號為正弦信號時可獲得良好的收斂性能。終端滑?？刂撇呗钥梢杂行Ы鉀Q此類型參考信號的軌跡跟蹤問題，并表現(xiàn)出良好魯棒性和抗干擾性能。
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引言
液壓伺服系統(tǒng)具有響應(yīng)快、精度高等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于機(jī)械制造、船舶操縱和工業(yè)過程控制中。而在控制系統(tǒng)研究中，穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)研究中的一個重要環(huán)節(jié)。在閥控缸系統(tǒng)的研究中，控制方法均為無限時間穩(wěn)定,而對于控制系統(tǒng),收斂性能是控制系統(tǒng)中的關(guān)鍵指標(biāo)，從時間優(yōu)化的角度實現(xiàn)有限時間控制才是最優(yōu)控制[1-2]。
俞玨等[3]針對閥控缸系統(tǒng)的強(qiáng)非線性提出了一種反饋線性化控制器。王迪[4]以閥控液壓缸系統(tǒng)為研究對象，基于不同負(fù)載工況提出了自抗擾控制算法。林浩等[5]針對電液伺服系統(tǒng)中非線性和參數(shù)不確定的問題，提出了一種自適應(yīng)Backstepping控制方法。馮亞恒[6]針對閥控缸系統(tǒng)在參數(shù)波動較大時PID控制效果變差的問題提出了一種魯棒H∞混合靈敏度控制算法，通過仿真驗證控制效果優(yōu)于PID控制。但是以上所提出控制算法均為漸近穩(wěn)定，在收斂時間上為無限時間收斂。
由于滑?？刂凭哂许憫?yīng)速度快、對參數(shù)及擾動變化不靈敏和物理實現(xiàn)簡單等特點,越來越多的被應(yīng)用在液壓控制領(lǐng)域[7-8]。在傳統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制中，滑模面為線性滑模面，系統(tǒng)到達(dá)滑模面后，跟蹤誤差漸近收斂至0，通過選擇滑動模態(tài)參數(shù)來調(diào)整漸近收斂的速度。在液壓控制領(lǐng)域中，各種滑模變結(jié)構(gòu)控制方法被提出，提高了液壓控制系統(tǒng)的控制性能，推動和發(fā)展了滑模變結(jié)構(gòu)控制在液壓系統(tǒng)中的應(yīng)用[9-10]。然而，無論如何調(diào)整滑模參數(shù)，系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差都不會在有時間內(nèi)收斂至0。為了解決無限時間收斂的問題獲得更好的性能，Terminal滑?？刂撇呗员惶岢霾⑹艿綄W(xué)者廣泛關(guān)注。
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以圖1所示閥控缸系統(tǒng)為研究對象，分別建立閥的流量方程、流量連續(xù)性方程和力平衡方程。
1) 閥的流量方程
QL=Kqxv-KcpL
(1)
式中，Kq—— 閥在穩(wěn)態(tài)工作點附近的流量增益
xv—— 閥芯位移
Kc—— 穩(wěn)態(tài)工作點附近流量-壓力系數(shù)
pL—— 負(fù)載壓降
圖1 電液伺服系統(tǒng)原理圖
2) 液壓缸連續(xù)性方程
(2)
式中，A—— 活塞的有效面積
y—— 活塞位移
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βe—— 油液彈性模數(shù)
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不考慮庫倫摩擦等非線性負(fù)載并且忽略油液的質(zhì)量，液壓缸與負(fù)載的力平衡方程：
(3)
式中，F(xiàn)g—— 液壓缸產(chǎn)生的驅(qū)動力
m—— 活塞負(fù)載的總質(zhì)量
Bc—— 活塞負(fù)載的黏性阻尼系數(shù)
K—— 負(fù)載的彈簧剛度
F—— 作用在活塞上的任意外負(fù)載力
通過式(1)～式(3)即可得到閥控缸系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。
1.2 閥控缸系統(tǒng)建模
在閥控液壓缸系統(tǒng)作為位置控制的輸出元件時，一般沒有彈性負(fù)載，因此K=0[14]。由于伺服閥和液壓缸的泄漏產(chǎn)生的阻尼系數(shù)一般大于活塞負(fù)載的黏性阻尼系數(shù)Bc，所以Bc(Kc+Cte)/A2≤1，可以忽略，因此數(shù)學(xué)模型可以簡化為：
(4)
選取狀態(tài)變量[15]：
(5)
在不考慮外界干擾的情況下，狀態(tài)方程為：
(6)
其中，
Kce=Kc+Cte
式中，ωh—— 液壓缸固有頻率
ζh—— 液壓阻尼比
Kce—— 總的流量-壓力系數(shù)
存在干擾的情況下，系統(tǒng)狀態(tài)方程為：
(7)
其中，
u=xv
式中，u—— 控制器輸入
βe—— 體積彈性模量
d(t) —— 外界干擾
2 有限時間控制器設(shè)計
2.1 有限時間滑模面設(shè)計
對閥控缸系統(tǒng)進(jìn)行位置伺服中采用一種新型的全局快速終端滑模控制的方法。定義誤差向量為：
(8)
式中，e為跟蹤誤差，滑模面設(shè)計為：
s=C(E-P)
(9)
終端函數(shù)向量P(t)的構(gòu)造是實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)在時間T內(nèi)進(jìn)行跟蹤的關(guān)鍵。終端函數(shù)向量P(t)需要滿足以下三個條件：
(1) 在t=0時，s=0即E(0)=P(0)；
(3)P(t)存在一階微分并且有界。
(10)
由于閥控缸系統(tǒng)模型為三階，所以n=3，因此p(t)可寫為：
(11)
(12)
2.2 有限時間控制器設(shè)計
根據(jù)閥控缸模型的狀態(tài)方程可得控制律為：
(14)
控制器設(shè)計為：
(15)
選擇Lyapunov函數(shù)為：
(16)
對時間t求微分，由控制率式(15)以及式(9)和式(14)可得：
=-c3ηssgn(s)
=-c3ηs
(17)
3 MATLAB仿真與分析
3.1 慣性負(fù)載下MATLAB仿真
由于在t=0時，E(0)=P(0),可以看出系統(tǒng)在初始狀態(tài)時已在滑模面上，消除了到達(dá)階段，保證了系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性。為了測試所提出的終端滑模控制策略并研究與圖1中閥控系統(tǒng)控制相關(guān)的基本問題，運用MATLAB進(jìn)行仿真，相關(guān)參數(shù)如表1所示。
分別選取參考函數(shù)xd=sint，xd=sin2πt，xd=5sint+sin2πt+sinπt/6以及xd=cost對系統(tǒng)及其控制方法進(jìn)行仿真研究。設(shè)定初始條件為X0=[0.5，0，0]T，在不考慮外界干擾的情況下選取η=0.1。對閥控缸系統(tǒng)進(jìn)行位置跟蹤，得到仿真結(jié)果。
由圖2、圖3可以看出，本研究設(shè)計的控制器不僅解決了閥控缸系統(tǒng)中位置跟蹤的非有限時間收斂到0
表1 模型參數(shù)
問題， 還實現(xiàn)了零誤差跟蹤。 實際信號將在所設(shè)定收斂時間T=3 s時穩(wěn)定。 通過圖2與圖3對比可以看出，在參考信號頻率增大時， 3.0 s之前會出現(xiàn)較大超調(diào)，但是控制器跟蹤性能不受影響。
圖2 xd=sint時閥控缸位置跟蹤及跟蹤誤差曲線
當(dāng)參考信號xd=5sint+sin2πt+sinπ/6t時，位置跟蹤軌跡與跟蹤誤差如圖4所示。本研究所設(shè)計控制器可實現(xiàn)對不同頻率信號的跟蹤。在收斂時間3.0 s之前，跟蹤誤差隨參考信號頻率的增加而增加。
通過圖2～圖5可以看出，此控制方法不僅適用于參考信號為正弦信號時，同時也適用于余弦信號。當(dāng)參考信號為余弦信號時，在未完全收斂之前，系統(tǒng)位置跟蹤誤差較小，魯棒性較強(qiáng)。
圖3 xd=sin2πt閥控缸位置跟蹤及跟蹤誤差曲線
圖4 xd=5sint+sin2πt+sinπt/6的閥控缸位置跟蹤曲線及跟蹤誤差曲線
3.2 存在外界干擾情況下系統(tǒng)仿真
在存在外界干擾的情況下，采用控制律(15)，假設(shè)外界干擾d(t)是一個有界函數(shù)，即d(t)≤D。取η=50并用飽和函數(shù)替代符號函數(shù)對系統(tǒng)及控制器進(jìn)行MATLAB仿真。分別選取參考信號xd=sint，xd=cost。
在存在外界干擾且參考信號為和時，MATLAB仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。由圖可以看出，期望軌跡與實際軌跡并未完全重合，但都是有界的并且跟蹤誤差控制在一個很小的范圍內(nèi)。
圖5 xd=cost的閥控缸位置跟蹤及跟蹤誤差曲線
圖6 xd=sint時閥控缸位置跟蹤及跟蹤誤差曲線
通過圖8比較傳統(tǒng)滑?？刂频母櫩刂菩Ч徒K端滑模控制位置跟蹤誤差曲線，可以看出傳統(tǒng)的滑?？刂瓶蓪崿F(xiàn)位置跟蹤漸近收斂，并且誤差較大。對于終端滑?？刂?，液壓缸伸出桿位置跟蹤誤差可實現(xiàn)在有限時間內(nèi)收斂，跟蹤誤差控制在一個小范圍內(nèi)。
圖7 xd=cost的閥控缸位置跟蹤及跟蹤誤差曲線
圖8 xd=sint終端滑模與傳統(tǒng)滑模跟蹤誤差曲線
4 結(jié)論
建立了有無外界干擾情況下閥控缸系統(tǒng)模型，并基于控制系統(tǒng)的滑?？刂品椒▽ο到y(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)態(tài)分析提出了一種終端滑?？刂品椒蓪崿F(xiàn)位置跟蹤在有限時間內(nèi)完全收斂。由于在液壓系統(tǒng)中，正弦信號和基于正弦信號的衍生信號常被應(yīng)用于對產(chǎn)品的測試中。最終應(yīng)用閥控缸系統(tǒng)模型對控制方法進(jìn)行MATLAB仿真，得出以下結(jié)論。
(1) 通過設(shè)計終端函數(shù)使得系統(tǒng)初始狀態(tài)位于滑模面上，消除了達(dá)到階段，保證了系統(tǒng)的全局魯棒性和穩(wěn)定性;
(2) 終端滑?？刂品椒ǖ目刂平Y(jié)構(gòu)及控制率具有普適性，可應(yīng)用于高階系統(tǒng)，并且收斂時間可根據(jù)系統(tǒng)規(guī)格設(shè)定;
(3) 仿真結(jié)果表明，在位置參考信號為正弦信號時可獲得良好的收斂性能。終端滑?？刂撇呗钥梢杂行Ы鉀Q此類型參考信號的軌跡跟蹤問題，并表現(xiàn)出良好魯棒性和抗干擾性能。
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