何 坤， 杜彥斌

(重慶工商大學 制造裝備機構設計與控制重慶市重點實驗室，重慶 400067)

0 引 言

機床的加工精度主要取決于機床誤差的大小，誤差補償法是一種通過檢測機床各項誤差，并人為制造大小相等、方向相反的誤差以抵消或減弱機床原始誤差的方法[1-2]，因其成本低、通用性高，在工程中得到廣泛應用。

幾何誤差是影響機床加工精度的主要因素之一。數(shù)控連續(xù)展成磨齒機由于自身結構與運動的特點，針對單個軸的誤差補償效果并不明顯，而且由于復雜的聯(lián)動關系很容易造成過補償，故需要對數(shù)控連續(xù)展成磨齒機所有幾何誤差元素綜合構建的空間誤差進行研究。同時，由于空間誤差模型綜合了各軸的運動量及各軸誤差元素等多個變量，需要求解的補償值與各個變量間存在復雜的耦合關系，一般難以直接求解[3]。近年來,國內(nèi)外許多學者對五軸機床綜合誤差解耦及補償進行了許多研究。楊建國等[4]對誤差運動和補償量的關系進行分析，并基于小誤差運動假設對五軸機床的誤差補償量進行了解耦計算；陳劍雄等[5-6]基于微分變換原理，通過雅克比矩陣的廣義逆建立了多軸數(shù)控機床的誤差解耦模型；李雪琴等[7]通過分析焊接機器人各坐標系間位姿變換關系，通過附加運動以消除位姿誤差，驗證了解耦方法的正確性；韓江等[8-9]分析了連續(xù)展成磨齒機誤差運動與補償運動的相互關系，對磨齒機各運動軸的位置和姿態(tài)誤差進行了解耦，并通過實驗驗證了算法的正確性。目前，對五軸機床綜合誤差的解耦補償研究大多采用小誤差運動假設的微分原理，通過求解綜合誤差模型的雅克比矩陣近似將綜合誤差與運動量等效為線性關系，在求解過程中引入了原理誤差。研究了數(shù)控連續(xù)展成磨齒機由幾何誤差元素引起的空間誤差，建立了連續(xù)展成磨齒機綜合誤差模型，并對姿態(tài)矩陣和位置矩陣進行分步求解，結合最小二乘算法，直接求解綜合誤差模型的數(shù)值解，可以直接用于數(shù)控連續(xù)展成磨齒機誤差解耦補償。

1 數(shù)控連續(xù)展成磨齒機空間誤差建模

1.1 數(shù)控連續(xù)展成磨齒機幾何誤差分析

相比于普通五軸機床，數(shù)控連續(xù)展成磨齒機主軸B軸上裝夾蝸桿砂輪，通過砂輪與齒輪工件的相對運動實現(xiàn)齒輪工件的磨削。

圖1為連續(xù)展成磨齒機的結構圖。齒輪磨削的完整過程共包含了6個運動軸的運動:平動軸X軸的徑向直線運動、平動軸Y軸的切向直線運動、平動軸Z軸磨削過程的沖程直線運動、旋轉軸A軸的擺動、以及B軸與C軸繞各自軸線的旋轉運動。通常情況下，B軸在制造、裝配過程中均采用非常高的標準，實際工況下B軸的誤差較小，在綜合誤差建模中通常不考慮B軸運動誤差。

1-機床床身，2-工作臺，3-工件(齒輪)，4-機床尾座(W軸)，5-金剛滾輪，6-蝸桿砂輪主軸，7-刀具(蝸桿砂輪)，8-探測頭，9-滾珠絲杠，10-滑動導軌

在研究幾何誤差時，需要考慮誤差的機床軸只有X、Z、A、Y、 C等5軸。幾何誤差分為位置相關誤差和位置無關誤差。每個軸的6個自由度方向存在位置相關誤差，其誤差值大小與機床各軸的運動位置有關，位置無關的誤差主要表現(xiàn)為垂直度誤差或平行度誤差，與機床的配置和機床參考坐標系的建立有關。在數(shù)控連續(xù)展成磨齒機各軸上建立參考固連坐標系，令機床X軸的固連坐標系的X坐標軸與機床坐標系的X坐標軸重合，在此基礎上建立其余各軸的參考坐標系，并設定起始位置，各軸固連坐標系與參考坐標系原點重合。由此，根據(jù)空間剛體自由度理論，可知機床的所有幾何誤差元素如表1，包含位置相關和位置無關誤差共41項誤差元素。

表1 數(shù)控連續(xù)展成磨齒機41項誤差Table 1 41 errors of CNC worm grinding wheel grinding machine

1.2 數(shù)控連續(xù)展成磨齒機相鄰體變換矩陣

齊次坐標變換矩陣常被用于描述空間兩相鄰剛體間的姿態(tài)和位置關系?？紤]誤差存在的實際情況，標準的坐標變換矩陣難以繼續(xù)表達相鄰體間的位置和姿態(tài)關系，此時必須考慮誤差元素引起的位置和姿態(tài)變化[10]。采用位置相關誤差和位置無關誤差分別表示兩相鄰剛體間靜止和運動情況下的位姿變換矩陣，引入靜止位姿矩陣Tp、運動位姿矩陣Ts、靜止位姿誤差矩陣Tpe、及運動位姿誤差矩陣Tse來構建相鄰體間變換矩陣，綜合4種相鄰體的位姿變換矩陣描述相鄰體間實際位姿關系。

以圖2所示的相鄰體i、j為例，在兩相鄰體上建立固聯(lián)坐標系Oi、Oj，體j可沿體i在Z坐標軸方向移動，初始狀態(tài)下Oj在體i坐標系中的坐標為(px,py,pz)，此時體j與體i的位姿關系可以靜止位姿矩陣描述，如式(1):

(1)

圖2 相鄰低序體連接Fig. 2 Adjacent low-order body connections

由于位置無關誤差的存在，使得體j的Z坐標軸與體i的X坐標軸不垂直，存在垂直度誤差φyz，因此需要在靜止位姿矩陣的基礎上進行疊加附加運動矩陣以進行修正，將體j繞體i的y軸旋轉φyz，引入靜止位姿誤差矩陣，式(2)描述了初始狀態(tài)下實際位姿與理想位姿的運動變換:

(2)

式(1)、式(2)描述了靜止狀態(tài)下相鄰體的位姿關系。由于Z軸的移動，導致體j相對與體i的位姿發(fā)生變化，此時需要引入運動位姿矩陣來描述相互間的運動關系，如式(3):

(3)

受到位置相關誤差的影響，實際上體j的實際位姿在6個自由度方向上都會存在誤差，因此引入運動位姿誤差矩陣來描述誤差運動下的相鄰體位姿關系。將體j在理想位姿先繞X、Y、Z軸旋轉εx(z),εy(z),εz(z)，再沿著X、Y、Z軸平移δx(z)、δy(z)、δz(z)，運動位姿誤差矩陣可表示為式(4):

1.3 數(shù)控連續(xù)展成磨齒機空間誤差建模

結合實際的數(shù)控連續(xù)展成磨齒機的多體拓撲結構,如圖3所示,分別計算所有相鄰體間變換矩陣之后,通過矩陣運算可得到兩運動支鏈(砂輪刀具(B軸)),相對于床身、齒輪工件(C軸)相對于床身的齊次變換矩陣:

圖3 數(shù)控連續(xù)展成磨齒機的多體拓撲結構

Fig. 3 Multi-body topology of CNC worm grinding wheel grinding machine

將床身0作為中間體連接兩支鏈,即可得到機床刀具t相對于工件w的位姿變換矩陣。

將機床的指令位置表示為I=[a b c x y z],分別代入理想與實際情況下的刀具-工件相對位姿矩陣,即可對機床不同指令位置下的刀具與工件的位姿關系進行描述,如式(10)—式(12):

2 連續(xù)展成磨齒機空間誤差解耦補償

刀具相對于工件的空間姿態(tài)僅僅與旋轉軸的運動有關,與平動軸的運動量無關,因此先對旋轉軸進行解耦,得到補償?shù)妮S運動量,并基于新的旋轉軸運動量進行平動軸的解耦計算[11]。

聯(lián)立9個方程,使用數(shù)值計算軟件直接求解超越非線性方程組的最小二乘解。

3 方法驗證

3.1 數(shù)值仿真驗證

改變理論旋轉軸的指令位置值,解耦計算得到補償指令,部分理論指令與補償指令如表2所示。

表2 部分理論指令位置與補償指令位置(旋轉軸)

Table 2 Positions of theoretical instructions and compensating instructions (rotation axis)

將補償指令位置a、b、c作為新的旋轉軸指令,代入誤差綜合模型,根據(jù)式(14)可以解得平動軸X、Y、Z的補償運動量x、y、z。補償效果如圖5所示。

根據(jù)圖5所示，平動軸較旋轉軸的補償精度明顯高出2～3個數(shù)量級。根據(jù)分析，在求解平動軸的補償指令時采用了3個方程(Pm=Pmi，m=x、y、z)求解3個未知量(x、y、z)，一般情況下存在唯一解使得3個方程完全成立；而求解旋轉軸的補償指令時，為了保證理論與實際姿態(tài)矩陣中的所有元素相等，采用了9個方程(R(I)=Rmni(I)，m=1、2、3，n=1、2、3)求解3個未知量(a、b、c)，一般情況下不存在一組a、b、c使得9個等式全部完全成立，因而求解得到的是超定方程組的最小二乘解，因此，旋轉軸的補償精度較平動軸的補償精度稍低。

3.2 實驗綜合驗證

結合連續(xù)展成磨齒機X—Z—A—Y—B—C多體運動鏈結構，采用球桿儀對誤差補償效果進行驗證，通過數(shù)控程序分別控制X—Y—C軸(圖6)、Z—Y—C軸(圖7)聯(lián)動進行圓弧測試，測試前控制非聯(lián)動軸運動到隨機位置，再進行球桿儀的安裝及測試比較補償前后的測量結果(圖8，圖9)。

圖6 X—Y—C軸測試Fig. 6 X—Y—C axis test

圖7 Z—Y—C軸測試Fig. 7 Z—Y—C axis test

(a) 補償前 (b) 補償后

(a) 補償前 (b) 補償后

經(jīng)過球桿儀的圓弧測試，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)補償后，球桿儀的圓度誤差顯著減小，機床整體的幾何精度得到提高，實驗結果驗證了空間誤差分步解耦方法的正確性和有效性。

4 結 論

幾何誤差綜合引起的機床空間誤差對數(shù)控連續(xù)展成磨齒機的加工精度與可靠性影響很大，針對數(shù)控連續(xù)展成磨齒機空間誤差建模及補償問題，進行了空間誤差解耦補償問題研究，對于提升連續(xù)展成磨齒精度具有重要的理論和工程實用意義。研究主要內(nèi)容和結論如下:

通過分析數(shù)控連續(xù)展成磨齒機的幾何結構與加工運動，得到機床的所有幾何誤差元素，建立了僅考慮幾何誤差元素的機床空間誤差模型。

結合連續(xù)展成磨齒機自身運動特點，提出一種先旋轉軸后平動軸的逐步解耦；對旋轉軸，以姿態(tài)矩陣為誤差評價指標，基于最小二乘法求解超定方程組，得到旋轉軸的補償運動量；在此基礎上，對平動軸補償運動量求解。

通過數(shù)值仿真計算驗證了解耦補償方法的正確性，結合基于球桿儀的聯(lián)動軸綜合圓弧測試，驗證了空間誤差解耦補償理論的正確性。