鐘 昆 高 嵩 黃姣茹,2 錢富才,2

1(西安工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院 陜西 西安 710021)2(西安理工大學(xué)自動化與信息工程學(xué)院 陜西 西安 710048)

0 引 言

混沌系統(tǒng)同步控制是混沌系統(tǒng)有效應(yīng)用于保密通信、圖像加密和經(jīng)濟(jì)學(xué)預(yù)測等方面首要解決的核心問題之一，不斷完善和發(fā)展混沌同步控制算法成為主流方向[1]。隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論研究的熱潮興起[2-4]，學(xué)者們將分?jǐn)?shù)階微積分推廣到混沌系統(tǒng)中，其結(jié)構(gòu)和特性較之整數(shù)階系統(tǒng)更加復(fù)雜多樣，不僅包含了整數(shù)階系統(tǒng)所有特性，而且具有記憶性和遺傳性等特點(diǎn)[5]。因此，對分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步控制算法的研究成為熱點(diǎn)。

近年來，考慮到不確定性對控制系統(tǒng)的不可忽略影響[6-7]，不確定分階混沌系統(tǒng)的同步控制問題引起了廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[8]針對含未知參數(shù)的嚴(yán)格反饋分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，提出自適應(yīng)反演控制法實現(xiàn)同步并有效估計未知參數(shù)。文獻(xiàn)[9]提出了非線性控制器與參數(shù)自適應(yīng)律相結(jié)合策略，實現(xiàn)參數(shù)不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)投影同步。文獻(xiàn)[10]研究了含時變參數(shù)的分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的反同步問題，選取參數(shù)自適應(yīng)律，解決時變參數(shù)的攝動問題。文獻(xiàn)[11]基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，運(yùn)用追蹤控制和自適應(yīng)滑?？刂品椒ㄔO(shè)計同步控制律，有效消除系統(tǒng)未知參數(shù)影響。文獻(xiàn)[12-13]針對系統(tǒng)受外部擾動影響，利用分?jǐn)?shù)階擾動觀測器有效估計擾動，然后在同步控制器中加以補(bǔ)償來達(dá)到同步控制目的。文獻(xiàn)[14]討論了含未知上界外部擾動的同步控制問題，設(shè)計了模糊自適應(yīng)同步控制器，給出了使同步誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件。但是，上述研究結(jié)果在解決不確定同步控制問題時，要么只考慮了系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)未知或者攝動，要么僅考慮了外界環(huán)境對系統(tǒng)帶來的擾動不確定影響。

眾所周知，由于實際系統(tǒng)所處的環(huán)境極其復(fù)雜，不確定性往往不只以某一種形式單獨(dú)存在，即同時含有參數(shù)不確定和外部擾動的雙重不確定性[15-16]。前者屬于可減少的不確定性，它們可以利用來自系統(tǒng)的輸出信息進(jìn)行自學(xué)習(xí)而減少或者消失。后者屬于不可減少不確定性，即不能利用任何系統(tǒng)信息進(jìn)行消除，但它們可以利用魯棒控制有效抑制或者削弱[17]。如果僅考慮前者而忽略后者的影響，會使得控制器過于激進(jìn)和樂觀；若只考慮后者，又會使得控制器設(shè)計過于保守。

綜上，本文針對含未知參數(shù)且受有界外部擾動的雙重不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步控制問題，彌補(bǔ)以往同步控制算法的不足，提出了一種設(shè)計方法簡單且更易于實現(xiàn)的魯棒自適應(yīng)同步控制器算法?；诜?jǐn)?shù)階Lyapunov穩(wěn)定定理，利用參數(shù)辨識和自適應(yīng)控制方法，得到分?jǐn)?shù)階參數(shù)估計誤差和控制器增益自適應(yīng)律，嚴(yán)格地證明了使同步誤差系統(tǒng)魯棒漸進(jìn)穩(wěn)定的結(jié)論，同時得到未知參數(shù)的辨識曲線，最終實現(xiàn)了同步控制。

1 預(yù)備知識

定義1[18]針對連續(xù)可微函數(shù)x(t)的α階Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義為：

Dαx(t)=Jn-αx(n)(t)α>0

(1)

式中：Dα稱為α階Caputo分?jǐn)?shù)階微分算子且n-1<α0)是α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義，其表達(dá)式為：

(2)

式中：Γ(·)為gamma函數(shù)，其定義為：

(3)

引理1[19]考慮一類分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)：

Dαx(t)=f(x(t)) 0<α<1

(4)

令D?Rn是原點(diǎn)的某個值域，現(xiàn)假設(shè)假設(shè)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為xeq(t)=0，并且假設(shè)存在一個連續(xù)可微函數(shù)V(x(t)):[0,∞)×D→R+和K類函數(shù)γ使之滿足如下條件：

(5)

式中：x(t)?D。如果D=Rn，那么該系統(tǒng)在平衡點(diǎn)xeq(t)=0處是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

引理2[20]令x(t)∈R為一個連續(xù)且可導(dǎo)的函數(shù)，則對于任意時刻t≥t0，有：

(6)

2 問題描述

考慮n維雙重不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)：

(7)

相應(yīng)地，考慮n維響應(yīng)系統(tǒng)為：

(8)

假設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)的擾動di(t)與響應(yīng)系統(tǒng)擾動ci(t)均是有界的，并且滿足：

|ci(t)-di(t)|≤lii=1,2,…,n

(9)

式中：li為常數(shù)且滿足li>0。

fi(y)-fi(x)+ci(t)-di(t)+ui(t)=

[ci(t)-di(t)]+ui(t)

(10)

如果存在一個控制輸入ui(t)，使得：

(11)

那么，可以說明響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)實現(xiàn)了狀態(tài)同步。因此，我們將兩個分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步算法設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為判別分?jǐn)?shù)階同步誤差系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性問題。

本文主要目的是針對分?jǐn)?shù)階狀態(tài)同步誤差系統(tǒng)設(shè)計一種有效的魯棒自適應(yīng)同步控制算法，通過證明同步誤差系統(tǒng)的魯棒漸進(jìn)穩(wěn)定性，從而實現(xiàn)系統(tǒng)的同步控制，不僅克服外部擾動對系統(tǒng)的影響，而且能達(dá)到辨識未知參數(shù)的目的。

3 魯棒自適應(yīng)同步控制算法

本節(jié)中，以實現(xiàn)含雙重不確定性分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制為目標(biāo)，基于分?jǐn)?shù)階Lyapunov穩(wěn)定性定理，設(shè)計使同步誤差系統(tǒng)穩(wěn)定的同步控制器算法、參數(shù)估計誤差自適應(yīng)律和控制器增益自適應(yīng)律，其魯棒自適應(yīng)同步控制算法由下述定理1給出：

定理1分?jǐn)?shù)階同步誤差系統(tǒng)對于任何初始狀態(tài)都是魯棒漸進(jìn)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)其同步控制律ui(t)滿足：

ui(t)=-(θi+λi)ei-fi(y)+fi(x)-kisign(ei)

(12)

式中：i=1,2,…,n，λi為任意常數(shù)且λi>0，ki為控制器自適應(yīng)反饋增益，其分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)律滿足：

Dαki=|ei|

(13)

(14)

證明：將式(12)代入到式(10)中，有：

[ci(t)-di(t)]+ui(t)=

[ci(t)-di(t)]+[-(θi+λi)ei-

fi(y)+fi(x)-kisign(ei)]=

(15)

取如下形式Lyapunov函數(shù)：

(16)

由引理2，對式(16)兩邊同時求α(0<α<1)階微分，得到：

(17)

將式(15)代入到式(17)中，有：

(18)

利用絕對值不等式性質(zhì)，式(18)可以寫為：

(19)

由式(9)得：

(20)

若令：

(21)

那么，由式(21)的條件，代入到式(20)且有λi>0，得：

(22)

由引理1，同步誤差系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證畢。

因此，定理1給出的魯棒自適應(yīng)同步控制器、分?jǐn)?shù)階未知參數(shù)估計誤差自適應(yīng)律和分?jǐn)?shù)階控制器增益自適應(yīng)律能夠保證響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)實現(xiàn)狀態(tài)同步。下面將通過實例仿真來驗證所述同步控制算法的有效性與可行性。

4 實例仿真與分析

本節(jié)中，以一類含絕對值項的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)為同步控制對象，考慮參數(shù)未知且受到有界外部擾動的雙重不確定性。利用本文提出的控制算法實現(xiàn)同步，同時得到未知參數(shù)的辨識曲線，以此驗證算法有效性。

考慮含絕對值項的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)模型表達(dá)式為：

(23)

式中：θ1、θ2、θ3是系統(tǒng)參數(shù)。在不考慮任何不確定性時，我們?nèi)∠到y(tǒng)參數(shù)為θ1=-3、θ2=5、θ3=-10，狀態(tài)初值為x1(0)=3、x2(0)=-5、x3(0)=-1，系統(tǒng)階數(shù)取α=0.95時的混沌吸引子相圖如圖1所示。

圖1 新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的狀態(tài)相圖

當(dāng)考慮系統(tǒng)受到參數(shù)未知和外部擾動的雙重不確定性影響時，驅(qū)動系統(tǒng)模型可寫為：

(24)

相應(yīng)地，響應(yīng)系統(tǒng)模型可寫為：

(25)

為了實現(xiàn)響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)的同步，根據(jù)本文提出的同步控制算法，設(shè)計魯棒自適應(yīng)同步控制器為：

(26)

控制器增益的分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)律為：

(27)

參數(shù)估計誤差的分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)律為：

(28)

圖2 混沌系統(tǒng)狀態(tài)同步控制圖

由圖2可以看出，響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)控制曲線在有限時間內(nèi)實現(xiàn)了同步，即兩個系統(tǒng)的狀態(tài)最終實現(xiàn)重合。接下來，仿真得到狀態(tài)同步誤差曲線ei(i=1,2,3)如圖3所示，同時繪制出未知參數(shù)辨識曲線如圖4所示。

圖3 驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)同步誤差曲線

圖4 未知參數(shù)的辨識曲線

由圖3知，在未知參數(shù)和外部擾動的雙重不確定性影響下，驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)誤差曲線在2.5 s時開始漸進(jìn)趨向于零，定性地說明了同步控制算法能夠最終實現(xiàn)兩個系統(tǒng)狀態(tài)同步。由圖4可知，未知參數(shù)的估計值可以由任意給定的初始值最終趨近于真實值，證明參數(shù)自適應(yīng)律的設(shè)計是符合要求的。由此，證明了所提出的同步控制算法是有效和可行的。

5 結(jié) 語

基于參數(shù)估計理論與自適應(yīng)控制理論，本文針對一類含有未知參數(shù)和外部擾動的雙重不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制問題，設(shè)計了一種魯棒自適應(yīng)同步控制算法。利用分?jǐn)?shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論給出了使同步誤差系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的參數(shù)估計誤差和控制增益自適應(yīng)律設(shè)計方法。將設(shè)計的同步算法運(yùn)用到分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步控制實例中，數(shù)值仿真結(jié)果表明提出的算法控制效果好、設(shè)計方法簡便且易于實現(xiàn)，并具有非?？捎^的應(yīng)用前景。