吳君欽 王加莉

（江西理工大學(xué)信息工程學(xué)院，贛州，341000）

引 言

多輸入多輸出-正交頻分復(fù)用（Multiple input multiple output-orthogonal frequency division multiplexing，MIMO-OFDM）技術(shù)提高了系統(tǒng)容量和頻譜資源利用率。但在具體實(shí)際應(yīng)用中，該系統(tǒng)的無線傳播路徑干擾較多，接收端的信號誤差較大，所以研究有效的信道估計(jì)技術(shù)必不可少[1-2]。大量研究表明：無線多徑信道在時域上具有稀疏性，即信號在頻域很小一部分的信道上占據(jù)整體的大部分能量，而絕大多數(shù)的信道僅存很少的能量。但傳統(tǒng)的MIMO-OFDM信道估計(jì)方法，如最小二乘（Least squares,LS）算法[3]、最小均方誤差（Minimum mean square error,MMSE）算法[4]等，都未利用頻域信道的稀疏性這個特征，所以為提高估計(jì)性能，需要導(dǎo)頻量很大。

Donoho等于2004年提出壓縮感知（Compressed sensing，CS）[5-6]理論，該理論表明，假設(shè)信號在某個變換域可以用一組稀疏基線性表示，該變換域是一個正交空間，高維的稀疏信號經(jīng)過觀測矩陣觀測后得到維度盡可能低的觀測值，最后恢復(fù)原始信號，所以無線傳輸稀疏信道的信號估計(jì)問題可以應(yīng)用壓縮感知理論中重構(gòu)算法恢復(fù)原始信號。

用壓縮感知理論解決MIMO-OFDM信道估計(jì)問題需要3個步驟：（1）信號的稀疏表示；（2）選擇合適的觀測矩陣；（3）選擇重構(gòu)性能高的重構(gòu)算法，通過盡量少的觀測值重構(gòu)原始信息。應(yīng)用壓縮感知理論，其要解決的核心問題是信號重構(gòu)這個步驟，不同重構(gòu)算法的準(zhǔn)確性和重構(gòu)效率大有不同。目前重構(gòu)算法根據(jù)恢復(fù)信號的方式主要分為3類[7]：（1）貪婪追蹤算法。該類算法在更新支撐集時用貪婪迭代的方法來恢復(fù)原始信號。如正交匹配追蹤（Orthogonal matching pursuit,OMP）算法[8]、子空間追蹤（Subspace pursuit,SP）算法[9]以及壓縮采樣匹配追蹤(Compressive sampling matching pursuit,CoS-aMP）算法[10]等。（2）凸松弛法。該類算法是將l0范數(shù)轉(zhuǎn)化為l1范數(shù)解最優(yōu)解。如基追蹤（Basis pursuit,BP）算法[11]、迭代閾值算法[12]等。（3）組合算法。該類算法先將稀疏并觀測后的信號分為多組，再對每組信號重構(gòu)。如傅里葉采樣算法[13]、HHS(Heavy hitters on steroids)追蹤算法[14]等。

信號在重構(gòu)過程中的每一次迭代，都要從恢復(fù)矩陣中選擇部分子矩陣列向量，信號可以由選出的原子所對應(yīng)的列向量線性表示[15]。為構(gòu)建有效的稀疏逼近，應(yīng)保證子矩陣列向量與信號最相關(guān)，計(jì)算信號殘差，根據(jù)殘差判斷是否停止迭代。文獻(xiàn)[1]介紹基于OMP和SP算法的MIMO-OFDM系統(tǒng)稀疏信道估計(jì)。OMP算法是以貪婪迭代的方法選擇所選原子在恢復(fù)矩陣中對應(yīng)的列向量，以列向量與殘差相關(guān)性最大更新得到最優(yōu)的重構(gòu)向量。每次迭代，信號估計(jì)值均與不斷增加維度的已選索引集正交投影以確保迭代最優(yōu)，該算法的估計(jì)穩(wěn)定性較差。SP算法是每次迭代過程中，確定觀測值存在于哪個子空間，觀測值是由恢復(fù)矩陣中不大于T(T為稀疏度)列的子矩陣產(chǎn)生的。為保持T列子矩陣相關(guān)性，檢測該矩陣。不斷地進(jìn)行回驗(yàn)測試，如果觀測值不在現(xiàn)在估計(jì)的正確子空間，則丟棄不可信的原子，同時加入可信的同等數(shù)量原子。每次回驗(yàn)都對不斷更新的集合，通過最小二乘方法近似估計(jì)原始信號。文獻(xiàn)[2]實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示OMP與SP算法性能幾乎重合，有時OMP略優(yōu)于SP。文獻(xiàn)[2]介紹基于CoSaMP算法的MIMO-OFDM系統(tǒng)稀疏信號。CoSaMP與文獻(xiàn)[1]中的SP算法其算法思想基本上很相似，主要區(qū)別在于，CoSaMP在選取索引集時選擇2T個原子，而SP是T個，所以前者的準(zhǔn)確性要優(yōu)于后者。該文結(jié)果顯示CoSaMP算法的性能略優(yōu)于OMP。貪婪類算法在近似估計(jì)原始信號中用最小二乘，計(jì)算量很大，導(dǎo)致該類算法計(jì)算復(fù)雜度較高。為避免正交投影的計(jì)算，Thomas Blumensath等提出了梯度追蹤（Gradient pursuit,GP）算法[16]。該算法是采用最速下降法對目標(biāo)函數(shù)解最優(yōu)化問題，通過殘差與恢復(fù)矩陣計(jì)算合適的搜索方向和搜索步長進(jìn)行搜索下一步迭代原子，再更新重構(gòu)向量。梯度追蹤算法思想在估計(jì)性能方面不僅能實(shí)現(xiàn)較精確、穩(wěn)定的重構(gòu)效果，而且降低運(yùn)算量。

本文將壓縮感知重構(gòu)中的GP算法應(yīng)用于MIMO-OFDM信道估計(jì)，提出了基于梯度追蹤的MIMO-OFDM稀疏信道估計(jì)方法。仿真結(jié)果表明：基于梯度追蹤的稀疏多徑信道估計(jì)方法不僅降低了計(jì)算復(fù)雜度，并且提高了MIMO-OFDM系統(tǒng)信道估計(jì)的準(zhǔn)確性。

1 MIMO-OFDM模型

假設(shè)MIMO-OFDM系統(tǒng)有發(fā)射天線NT和接收天線NR。其原理如圖1所示。

圖1 MIMO-OFDM系統(tǒng)原理Fig.1 MIMO-OFDM system principle model

在發(fā)送端，用戶數(shù)據(jù)比特流經(jīng)過編碼、調(diào)制后進(jìn)行串/并轉(zhuǎn)換分成多個數(shù)據(jù)塊，分別對每個數(shù)據(jù)塊進(jìn)行IFFT變換，經(jīng)過增益將信號能量歸一化，并在符號間插入長度為LCP的循環(huán)前綴（Cyclic prefix,CP），為了消除OFDM系統(tǒng)中的符號間干擾（Inter symbol interference,ISI）和子載波間干擾（Inter carrier interference,ICI），CP不能小于信道沖激響應(yīng)的長度。在接收端，第n根接收天線接收到接收的信號經(jīng)過去除CP和FFT變換后，其頻域信號表示為

式中：X(m)為發(fā)送端第m根天線發(fā)射信號在頻域中的表達(dá)式;W(n)是均值零、方差的噪聲矩陣，即高斯白噪聲。為第m根發(fā)射天線與第n根接收天線之間的信道頻域響應(yīng)，表達(dá)式為

式中：h(m,n)(l)為復(fù)增益，信道的稀疏性表現(xiàn)為信號在經(jīng)過變換域變換后，其中為“1”系數(shù)極少，“0”系數(shù)很多，即h(m,n)(l)中非零數(shù)很少。F是h(m,n)的離散傅里葉變換矩陣。

其第n個接收天線接收到的信號，包含P個導(dǎo)頻符號的表達(dá)式為

式中P=[P1,P2,…,Pl]是導(dǎo)頻符號位置的索引集。

式中FL是F的子矩陣。由此可以通過式（5）進(jìn)行信道估計(jì)得到原始信號。

式（5）只是考慮了第n根接收天線，若考慮所有的接收天線，式（5）可表示為

式（6）為該系統(tǒng)信道估計(jì)模型，即已知FL,R，求h的過程。

2 壓縮感知基本理論

CS理論主要表明，信號在某個變換域上展開具有稀疏性，即在一個正交空間可用一組稀疏基線性表示，稀疏系數(shù)大多數(shù)值很小。觀測后可以利用很少的觀測值高效并準(zhǔn)確地恢復(fù)原始信號。觀測的過程是壓縮與采樣同時進(jìn)行的，通過這些觀測值以高概率重構(gòu)出原始信號，重構(gòu)信號所需的觀測值與信號在變換域下的稀疏度有相同數(shù)量級[17]?；驹砣缦拢盒盘朮∈RN，可用一組稀疏基Ψ=[φ1,φ2,…,φN]Τ線性表示為

式中：Ψ是N×N維矩陣，α=ΨΤX是N×1維稀疏系數(shù)矩陣；X=[x1,x2,…,xN]Τ是N×1維矩陣。若X中的非零元素為T，且T?N，則稱X是T-稀疏的，T為稀疏度，Ψ為X的稀疏基。

信號X經(jīng)過Φ觀測，得到y(tǒng)，即

式中：Φ=[φ1,φ2,…,φM]Τ為M×N維觀測矩陣；y=[y1,y2,…,yM]Τ為M× 1維矩陣；n是M× 1維高斯白噪聲矩陣。將式（7）代入式（8）得

式中：Θ=ΦΨ為CS矩陣，式（9）中y,Θ已知，通過求解可得到稀疏系數(shù)矩陣α，將α代入式（7）中可得到原始信號。但式（9）為欠定方程組，其未知數(shù)的解不唯一，所以為了能夠重構(gòu)出信號，則觀測矩陣Φ必須滿足受限等距性（Restricted isometry property，RIP）[18]準(zhǔn)則，即滿足式（10），并且M≥KlgN。

式中：δk∈(0,1)常數(shù)，此外Φ滿足RIP準(zhǔn)則可轉(zhuǎn)化為Φ與Ψ不相關(guān)。求解式（3）最優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為最小l0范數(shù)問題，即

從而得到稀疏系數(shù)α的估計(jì)。求解式（11）是一個NP_hard問題，在一定條件下，l0最小范數(shù)可轉(zhuǎn)化為l1最小范數(shù)[19]，即

利用l1最小范數(shù)解最優(yōu)化問題同樣可以高概率恢復(fù)原始信號。

3 基于GP的MIMO-OFDM信道估計(jì)

CS的前提是信號可稀疏化，這樣就可以選擇一組稀疏基將信號線性表示。由式（6,9）比較可以看出，求解問題的結(jié)構(gòu)相同，而且信道具有稀疏性，故求h的過程可以建模為壓縮感知中重構(gòu)問題。

3.1 GP算法稀疏估計(jì)數(shù)學(xué)描述

解函數(shù)最小化問題

式中：h和c為同維度的列向量；A為施密特正定矩陣。解最小化問題等價(jià)于求解f(h)min，假設(shè)f(h)連續(xù)可導(dǎo)，則其泰勒級數(shù)展開為

式中?f(hk)為函數(shù)f(hk)對hk求偏導(dǎo)，且

令

式中：ak為下一步搜索步長，xk為與hk同維度的列向量。

將式(16)代入式(14)得到

式中ak為標(biāo)量，當(dāng)其固定時，當(dāng)ak=-?f(hk)時f(h)min。由于?f(hk)是函數(shù)f(h)在重構(gòu)值hk處的梯度向量，所以最速下降方向就是負(fù)梯度方向-?f(hk)。

令-?f(hk)=dk，則下一步重構(gòu)值為

式中ak滿足如下

即求解ak使得f(hk+akdk)最小。

令

g(ak)對ak求偏導(dǎo)得

當(dāng)式（21）為零時，下一步搜索步長ak表達(dá)式為

在壓縮感知MIMO-OFDM稀疏信道估計(jì)中，求解最小化問題，其重構(gòu)誤差的目標(biāo)函數(shù)為

式（13）與式（25）結(jié)構(gòu)相同，解決的是同類問題，由此提出將GP算法應(yīng)用于多輸入多輸出信道估計(jì)。

則最速下降方向dk為

式中rk-1為信號殘差向量。根據(jù)式(22)，則搜索步長為

式中ck=ΘΓkdk。

GP算法與OMP算法應(yīng)用于MIMO-OFDM信道估計(jì)，主要區(qū)別在于迭代過程中，OMP對已選的所有原子進(jìn)行正交投影，以此判斷支撐集是否足夠好，若最優(yōu)則更新重構(gòu)向量，繼續(xù)迭代選擇新的原子。該算法是通過正交投影搜索原子，每步迭代過程中都要對維度不斷增加的支撐集進(jìn)行最小二乘運(yùn)算，估計(jì)傳輸信號數(shù)據(jù)比較大時計(jì)算量很大[20]。

梯度追蹤算法是將最優(yōu)化方法中梯度追蹤的思想與貪婪算法組合在一起，根據(jù)當(dāng)前的支撐集與殘差計(jì)算下一步搜索步長和搜索方向，以此選擇原子，更新重構(gòu)向量，從而避免了計(jì)算量大的正交投影，以此減少計(jì)算量和存儲需求。圖2為GP算法思想的流程圖。

圖2 GP算法流程圖Fig.2 GP algorithm flow chart

初始化：令首次迭代的信號殘差r0=y，此時重構(gòu)向量h=0，索引集Γ0=?，迭代次數(shù)k=0；

（1）k步迭代時，計(jì)算rk-1與Θ內(nèi)積，并找出其中相關(guān)性最大的原子，即；

（2）將相關(guān)性最大的原子位置存入索引集ik中，更新支撐集；

（3）根據(jù)式（13）和式（14）計(jì)算負(fù)梯度方向dk和搜索步長ak；

（4）根據(jù)dk和ak值，更新重構(gòu)向量；

輸出：h的稀疏逼近信號。

由圖2可知基于GP信道估計(jì)算法具體步驟為[21]

輸入：y，Θ，稀疏度T；

3.2 GP稀疏信道估計(jì)仿真模型

為驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)性能，本文在Matlab平臺上，用Simulink為壓縮感知的多輸入多輸出稀疏信道估計(jì)仿真進(jìn)行建模，如圖2所示。圖3為MIMO-OFDM信道估計(jì)整體框圖，本文仿真設(shè)置的發(fā)送端發(fā)射天線和接收端接收天線個數(shù)均為4根，所以總共有16個隨機(jī)信道。輸入信號為伯努利二進(jìn)制信號，采用5/8 LDPC編碼以及64QAK調(diào)制方式，每個OFDM發(fā)射器端均包括數(shù)據(jù)分組、IFFT、增益（使能量歸一化）和加CP過程。實(shí)際信號在傳輸過程中有各種外界的干擾，在仿真時信號經(jīng)過高斯白噪聲信道模擬實(shí)際干擾，最后信號傳輸?shù)絆FDM接收器端。OFDM接收器端如圖4所示。由圖4可知信號到達(dá)OFDM接收端首先經(jīng)過多端選擇器接收16路信號，然后去CP、FFT、增益（這里增益設(shè)置為1/sqrt（512））和采樣（這里每個信道采樣輸出大小均為512），再經(jīng)過壓縮感知信道估計(jì)模塊進(jìn)行信號重構(gòu)（該模塊的輸入有16路信號，算法不同，重構(gòu)方法不同），最后性能計(jì)算，輸出顯示。

圖3 MIMO-OFDM信道估計(jì)Fig.3 MIMO-OFDM channel estimation model

圖4 OFDM接收器端Fig.4 OFDM receiver model

GP算法稀疏信道仿真模型如圖5所示。該模塊的輸入端有16路信號，且信號的類型相同，經(jīng)過多端選擇器之后，16路信號在集合子載波模塊集合子載波，輸出信號為連續(xù)的列向量，然后作為GP算法的輸入，即R=y。另一輸入端信號是恢復(fù)矩陣Θ，由仿真模型可知恢復(fù)矩陣是稀疏基Φ與觀測矩陣Ψ相乘后重組的矩陣。X是一組列向量，經(jīng)過多端選擇器、飽和積分器輸出一個對角矩陣。C是觀測矩陣，本文觀測矩陣表達(dá)式為

式中eye(512,32)表示產(chǎn)生512×32的單位均矩陣。

GP算法模塊輸入端為y，Θ，根據(jù)前面介紹的GP算法步驟重構(gòu)信號，將輸出的結(jié)果進(jìn)行性能計(jì)算并比較。

圖5 GP算法稀疏信道仿真模型Fig.5 GP algorithm sparse channel simulation model

4 仿真結(jié)果與分析

為驗(yàn)證本文提出的算法性能，將對GP算法與傳統(tǒng)的LS算法、OMP算法的仿真性能進(jìn)行比較。仿真參數(shù)如下：天線為4×4多輸入多輸出系統(tǒng)，子載波個數(shù)為4×512，導(dǎo)頻個數(shù)為56，信號長度為512，稀疏度為5，傳輸信道長度為32。

圖6為3種不同算法的均方誤差與信噪比關(guān)系圖。由圖可知，LS，OMP和GP算法隨著SNR的增大，MSE呈現(xiàn)下降的趨勢。當(dāng)3種算法的導(dǎo)頻數(shù)為56，在低信噪比0～5 dB之間，OMP的MSE曲線比GP低2 dB左右，OMP的信道估計(jì)性能略優(yōu)于GP。在信噪比為5 dB之后，GP的MSE曲線一直略低于OMP，而且OMP算法在信噪比為12 dB后趨于水平直線。結(jié)果說明在高信噪比時GP算法的估計(jì)性能略好，并且估計(jì)性能的穩(wěn)定性較好。在整個仿真過程中，LS算法的均方誤差一直處于其他2種算法的上端，并且高15 dB左右，這說明壓縮感知的信道估計(jì)性能比傳統(tǒng)LS有較大的提高。

圖7為3種算法運(yùn)算量的對比圖。本文將各算法信道估計(jì)所需的運(yùn)行時間進(jìn)行量化，選擇7組時間進(jìn)行比值比較，每組時間是由30次試驗(yàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果時間值的平均值。將OMP與LS，GP與LS所需時間的比值進(jìn)行比較。OMP算法的復(fù)雜度為O(M2N)，而GP算法的復(fù)雜度為O(MN)[22]。仿真結(jié)果如圖7所示。GP算法的運(yùn)算時間約為LS算法的3倍，而OMP算法的運(yùn)算時間約為LS算法的5.5倍，結(jié)果說明GP算法較OMP降低了運(yùn)算量。

圖8為兩種算法在不同導(dǎo)頻時的比較結(jié)果。LS分別在P=56和P=112，GP分別在P=28，P=56和P=112情況下進(jìn)行MSE對比，由圖可知，無論導(dǎo)頻數(shù)為多少，兩種算法的MSE曲線均呈現(xiàn)下降趨勢。而且LS和GP算法隨著導(dǎo)頻數(shù)的增加，均方誤差值都有明顯的降低，說明信號重構(gòu)的精確性均增加。在LS的導(dǎo)頻數(shù)為112，GP的導(dǎo)頻數(shù)為28時，兩者的均方誤差很接近，并且與GP的導(dǎo)頻數(shù)為56時相差4 dB左右。

圖8仿真結(jié)果說明，在相同的仿真環(huán)境中，LS算法與GP算法在相同均方誤差時，后者需要的導(dǎo)頻數(shù)比前者要少很多，故壓縮感知算法大大降低了導(dǎo)頻的應(yīng)用，對于大規(guī)模中導(dǎo)頻污染有很大作用，并且信道估計(jì)效果準(zhǔn)確性較高，提高了重構(gòu)效率。

圖6 LS算法、OMP算法和GP算法的均方誤差與信噪比Fig.6 Comparison between mean square error and signal noise ratio of LS，OMP and GP algorithms

圖7 OMP算法、GP算法分別與LS算法計(jì)算復(fù)雜度比值與信噪比Fig.7 Comparison between signal noise ratio and computational complexity value of OMP and GP algorithms

圖8 LS算法和GP算法在不同導(dǎo)頻數(shù)時均方誤差與信噪比Fig.8 Comparison between mean square error and signal noise ratio of LS and GP algorithms under different frequencies

5 結(jié)束語

本文根據(jù)MIMO-OFDM稀疏信道的實(shí)際情況，針對OMP類算法處理大規(guī)模數(shù)據(jù)時重構(gòu)速度較慢的問題，提出基于梯度追蹤的稀疏信道估計(jì)方法。該方法是梯度的思想貪婪迭代的方法的結(jié)合，每步迭代通過支撐集與信號殘差計(jì)算當(dāng)前原子的搜索方向(也即負(fù)梯度方向)與搜索步長，以此作為下一步搜索的依據(jù)，如此循環(huán)重構(gòu)。由于舍棄計(jì)算原子的正交化，降低了運(yùn)算量。本文在已知稀疏度的先驗(yàn)信息情況下進(jìn)行信道估計(jì)，仿真結(jié)果表明，基于梯度追蹤的稀疏多徑信道估計(jì)方法不僅降低了計(jì)算復(fù)雜度，并且提高了MIMO-OFDM系統(tǒng)信道估計(jì)的準(zhǔn)確性。雖然GP算法降低了計(jì)算復(fù)雜度，但是信道估計(jì)性能與其他CS重構(gòu)算法相比沒有太明顯的提高。壓縮感知的精確性和穩(wěn)定性是應(yīng)用在無線傳輸信道估計(jì)的進(jìn)一步研究方向。