馬昊磊 李學鋒

1. 北京航天自動控制研究所，北京 100854 2. 宇航智能控制技術(shù)國家級重點實驗室，北京 100854

在實際飛行任務(wù)中，運載火箭可能由于故障原因偏離原先設(shè)計好的標稱彈道，繼續(xù)沿用標稱彈道條件下的制導(dǎo)控制方案將難以完成任務(wù)。增強飛行安全與可靠性是未來火箭的發(fā)展目標，這就要求火箭既能將載荷高精度送入預(yù)定軌道，還能在發(fā)生故障偏差時重新規(guī)劃飛行彈道。

彈道重規(guī)劃包括任務(wù)決策和軌跡規(guī)劃2部分內(nèi)容。當飛行過程中出現(xiàn)異常狀態(tài)時，需要通過任務(wù)決策確定下一步的行動目標。任務(wù)決策設(shè)計需要綜合利用全箭信息，根據(jù)飛行狀態(tài)判斷是否開展重規(guī)劃工作[1]，采用軌道設(shè)計反方法[2]與組合性能指標函數(shù)[3]等設(shè)計思想，分析飛行器的機動變軌能力，進而確定滿足要求的最優(yōu)任務(wù)軌道。軌跡規(guī)劃則是將目標軌道根數(shù)作為終端約束，設(shè)計從重規(guī)劃初始點到入軌點的飛行彈道。根據(jù)目標軌道約束和火箭運行規(guī)律，結(jié)合最優(yōu)控制原理設(shè)計火箭多級點火的彈道規(guī)劃算法[4-5]。采用級數(shù)設(shè)計[6]與非線性規(guī)劃[7-8]等方法進行問題求解，能夠有效應(yīng)對各種偏差，實現(xiàn)飛行彈道的快速規(guī)劃。本文采用基于決策更新的彈道重規(guī)劃方法完成任務(wù)決策，當存在飛行異?；蚱顣r能夠根據(jù)任務(wù)要求，重新規(guī)劃出一條滿足條件的飛行彈道，盡可能保證任務(wù)順利完成。即使偏差較大不能進入目標軌道，也要盡可能保證載荷進入次優(yōu)軌道。

1 模型建立

在地心慣性坐標系OE-XEYEZE中描述火箭的質(zhì)心運動方程，原點OE位于地球質(zhì)心，OEXE在地球赤道平面內(nèi)指向發(fā)射點所在經(jīng)度線，OEXEYE平面為赤道平面，OEZE為地球自轉(zhuǎn)軸，指向北極。

假設(shè)火箭發(fā)動機推力方向始終沿著體軸方向，并忽略附加哥氏力。考慮空氣動力影響的條件下，根據(jù)牛頓第二定律，火箭在地心慣性坐標系中的運動方程如下

(1)

其中，r=[x,y,z]T為位移矢量在地心慣性系中的投影；V=[Vx,Vy,Vz]T為速度矢量在地心慣性系中的投影；ux,uy,uz為推力單位矢量分量；FDx,FDy,FDz為阻力分量；FLx,FLy,FLz為升力分量；FSx,FSy,FSz為側(cè)向力分量；m為火箭質(zhì)量；μ為引力系數(shù)；T為發(fā)動機推力；ISP為發(fā)動機比沖。

氣動力在地心慣性系中的分量可以表示為

(2)

(3)

(4)

其中，ωE為地球自轉(zhuǎn)角速度；L為發(fā)射點緯度；θ為彈道傾角；σ為航跡偏航角；A,B分別為

A=sinLcosθcosσ+cosLsinθ
B=sinLsinθcosσ-cosLcosθ

(5)

對于阻力，其數(shù)值可以表示為

(6)

其中，CD為阻力系數(shù)，由飛行馬赫數(shù)和攻角確定；S為氣動參考面積；ρ為大氣密度；Vre為火箭相對于大氣的速度。升力和側(cè)向力的大小可同理求得。

多級火箭在上升段飛行過程中，各級的飛行狀態(tài)有所不同。級間分離的過渡階段需要滿足約束[9]

(7)

其中，p=1,2,…表示火箭不同的飛行階段；md為級間分離拋去前級的質(zhì)量。

多級火箭彈道重規(guī)劃問題可以描述為最優(yōu)控制問題，最優(yōu)控制模型以有限推力作用下的質(zhì)心運動模型(1)作為狀態(tài)方程，系統(tǒng)包含7個狀態(tài)量X=[x,y,z,Vx,Vy,Vz,m]T和3個控制量U=[ux,uy,uz]T。

初始狀態(tài)為重規(guī)劃起始點的位置、速度和質(zhì)量，初始時刻狀態(tài)由導(dǎo)航信息給定，即

X0=X|t=t0

(8)

目標集為滿足終端約束要求的目標軌道根數(shù)，即

h(Xf)=0

(9)

當末端滿足軌道根數(shù)半長軸a、偏心率e、軌道傾角i、升交點赤經(jīng)Ω及近地點幅角ω五個終端約束時，具體可描述為[10]

(10)

其中，hN為目標軌道法向矢量，即

(11)

2 彈道重規(guī)劃方案

2.1 軌跡規(guī)劃

當運載火箭的飛行偏差在允許范圍內(nèi)，無需開展彈道重規(guī)劃工作，采用系統(tǒng)自身的適應(yīng)性調(diào)整就可以將載荷送入目標軌道。當超出總體給定的偏差，但超出偏差范圍不大時，可以采用軌跡規(guī)劃設(shè)計，綜合考慮運載火箭實時位置、速度、目標及約束條件，通過快速規(guī)劃算法得到滿足飛行終端任務(wù)要求的彈道，將載荷送入目標軌道。

本文采用自適應(yīng)偽譜法[11]實現(xiàn)運載火箭的軌跡規(guī)劃設(shè)計，配點選擇正交Legendre多項式的零點，積分過程采用Gauss積分公式。自適應(yīng)偽譜法在傳統(tǒng)偽譜法的基礎(chǔ)上加入了自適應(yīng)區(qū)間劃分，在優(yōu)化過程中可以更新配點設(shè)置，動態(tài)調(diào)整區(qū)間和函數(shù)階次。這種方法可以更加靈活地完成優(yōu)化問題的求解。

正交Legendre多項式的基點在(-1,1)之間取值，需要首先將時間變量[t0,tf]投影變換到[-1,1]，即

(12)

將連續(xù)最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為以基點處的狀態(tài)變量和控制變量為未知系數(shù)的標準非線性規(guī)劃問題，原來的連續(xù)問題轉(zhuǎn)化成為離散問題。變量取值包括初值和K個基點值，時間變量有-1

(13)

(14)

(15)

性能指標可選取燃料消耗最少，對于推力大小不可調(diào)的火箭來說，等效于飛行時間最短。連續(xù)問題轉(zhuǎn)化成為離散的最優(yōu)問題，性能指標可以描述為

(16)

其中，Wk為Gauss積分公式中的積分權(quán)重，當基點數(shù)給定時為常值。

最優(yōu)問題的約束條件包括地心慣性系中控制變量的單位化約束、變化率約束以及狀態(tài)變量約束

(17)

其中，α表示控制變量變化率的幅值約束，將地球近似為圓球取半徑RE。最優(yōu)控制問題可以轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題。對于非線性規(guī)劃問題，可以采用SNOPT[12]求解器完成求解。

2.2 決策等級更新

當運載火箭飛行超出的偏差范圍過大，但尚未造成致命性故障時，載荷不能進入目標軌道。運載火箭需要開展彈道重規(guī)劃工作，通過任務(wù)決策與軌跡規(guī)劃將載荷送入次優(yōu)軌道，對異常飛行狀態(tài)實現(xiàn)一定程度的補救。為實現(xiàn)快速規(guī)劃，可以先完成滿足部分約束條件的規(guī)劃任務(wù)，盡可能保證規(guī)劃問題有解且收斂，之后通過提高約束條件和求解精度等方法更新任務(wù)決策，獲得決策等級更高的高精度優(yōu)化解。

如果無法將載荷送入預(yù)訂目標軌道，需要規(guī)劃出次優(yōu)軌道或備用救援軌道。在飛行任務(wù)決策時，需要確定保留軌道根數(shù)的決策等級，提出合理可行的更新策略。保留軌道根數(shù)的決策依據(jù)主要包括任務(wù)需求、后續(xù)調(diào)整難度和可實現(xiàn)性等因素。綜合上述因素，確定重規(guī)劃方案保留軌道根數(shù)的決策等級。本文選用三級決策等級方案，如表1所示，其中“〇”表示需要滿足約束條件的軌道根數(shù)，“—”表示不受約束允許出現(xiàn)偏差的軌道根數(shù)。表中等級III代表最低決策等級，等級I代表最高決策等級，任務(wù)決策等級越高，則終端約束條件越多，獲得收斂解的難度就會越大。

表1 軌道根數(shù)約束的任務(wù)決策等級

任務(wù)決策等級的更新策略如圖1所示。當火箭飛行過程中出現(xiàn)異常狀態(tài)時，應(yīng)急模式啟動，開始彈道重規(guī)劃任務(wù)。根據(jù)選用的決策等級方案，完成任務(wù)約束條件的初始化。本文不考慮導(dǎo)航系統(tǒng)故障，即認為系統(tǒng)提供的導(dǎo)航信息準確可靠，由導(dǎo)航信息可以確定初始時刻的位置和速度。根據(jù)火箭設(shè)計方案及燃油測量裝置可以確定火箭的質(zhì)量。位置、速度和質(zhì)量信息共同構(gòu)成優(yōu)化問題的初始時刻狀態(tài)量。建立優(yōu)化問題，采用自適應(yīng)偽譜法完成規(guī)劃問題求解。在此過程中若是無法滿足誤差精度要求，可以更新配點設(shè)置后再進行規(guī)劃求解。

圖1 任務(wù)決策等級更新策略

由于火箭飛行的實時性要求，若在一定時間內(nèi)無法得到確定的收斂解，需要對優(yōu)化求解問題進行中斷，滿足中斷條件即認為當前任務(wù)決策等級下無法快速獲得收斂解。如果在最低決策等級條件下無法獲得收斂解，則飛行偏差過大，即使通過彈道重規(guī)劃也不能將載荷送入軌道。如果能夠獲得滿足誤差精度要求的收斂解，則對現(xiàn)有的火箭飛行彈道進行更新，并生成相應(yīng)的制導(dǎo)指令。

為獲得滿足更多目標約束條件的飛行彈道，需要更新任務(wù)決策，增加約束條件以滿足更高決策等級的要求。增加目標約束條件以后，原有的優(yōu)化問題發(fā)生了變化，重新構(gòu)建最優(yōu)控制問題并進行求解。為提高迭代運算的收斂速度，可以采用之前決策等級條件下的彈道規(guī)劃結(jié)果作為優(yōu)化問題新的迭代初值。如果仍能獲得滿足誤差精度要求的收斂解，則對飛行彈道和制導(dǎo)指令進行更新替換，同時繼續(xù)更新決策等級，直到滿足最高決策等級條件下的目標軌道約束要求。

為滿足彈道規(guī)劃的實時性要求，優(yōu)化求解過程中配點數(shù)目不宜過多，這種條件下獲得的彈道精度相對不高，制導(dǎo)指令可能存在一定的偏差。進一步更新配點設(shè)置，增加配點數(shù)量，可以獲得更高精度的飛行彈道，生成更為準確的制導(dǎo)控制指令，從而完成火箭的自主彈道重規(guī)劃。

3 仿真分析

以多級運載火箭上升段飛行為例，應(yīng)用MATLAB對彈道重規(guī)劃方案進行仿真驗證。首先根據(jù)任務(wù)要求規(guī)劃標稱彈道。標稱彈道可以直接采用本文提到的自適應(yīng)偽譜法完成設(shè)計。

當火箭飛行過程中出現(xiàn)推力偏差和跟蹤偏差時，采用本文所設(shè)計的任務(wù)決策方案，確定任務(wù)目標軌道根數(shù)的約束條件，并規(guī)劃新的飛行彈道。

仿真具體參數(shù)如下：

運載火箭的初始位置在地心慣性系下分量：X=5.5236×106m，Y=0m，Z=3.1891×106m；

運載火箭的初始速度在地心慣性系下分量：Vx=0m/s，Vy=402.79m/s，Vz=0m/s；

對于多級火箭，載荷質(zhì)量為4000kg，各級質(zhì)量及推力參數(shù)如表2所示。

表2 多級火箭質(zhì)量與推力參數(shù)

原有任務(wù)的目標軌道根數(shù)為：a=24400km，e=0.72，i=30°，Ω=270°，ω=130°，真近點角f=0°?；鸺c火起飛后，正常情況下會按照預(yù)先設(shè)計好的標稱彈道飛行。

本文選取t=150s作為異常狀況發(fā)生點，此時也是彈道重規(guī)劃的任務(wù)起始點。根據(jù)表2的有關(guān)參數(shù)可知，當t=150s時，運載火箭已完成助推級分離，正處于芯一級工作階段。之后的過程包括芯一級剩余工作階段、一二級分離、芯二級工作階段。選擇芯一級推力下降20%、25%、30%和35%這4種推力偏差情況，假設(shè)推力偏差情況下發(fā)動機比沖不變，剩余燃料仍能充分燃燒，級間正常分離并且芯二級能夠完全正常工作。采用基于決策更新的方法完成彈道的重規(guī)劃設(shè)計。

當推力下降20%時，重規(guī)劃彈道與原標稱彈道的位移、速度、控制變量對比如圖2～4所示，其中虛線為原標稱彈道變化情況，實線為重規(guī)劃彈道變化情況。

圖2 彈道位移對比

圖3 彈道速度對比

圖4 彈道控制變量對比

通過仿真過程可以驗證，當推力下降20%時，任務(wù)決策等級可到達最高的I級，即半長軸、偏心率、軌道傾角、升交點赤經(jīng)、近地點幅角5個終端約束均能滿足原有要求。根據(jù)圖2～4所示的仿真結(jié)果可以看出，推力下降時完成目標的飛行用時有所增加。

采用同樣的方案可以確定推力下降25%、30%和35%情況下的重規(guī)劃彈道。表3為原目標軌道、推力下降20%、下降25%、下降30%及推力下降35%重規(guī)劃的目標軌道根數(shù)。

由表3可以看出，推力下降25%時，任務(wù)決策等級仍能到達I級，5個終端約束均能滿足原有要求；推力下降30%時，任務(wù)決策等級可到達II級，目標軌道可以滿足半長軸、偏心率、軌道傾角及升交點赤經(jīng)4個終端約束條件；推力下降35%時，任務(wù)決策等級僅能到達III級，目標軌道可以滿足半長軸、偏心率及軌道傾角3個終端約束條件。隨著推力偏差的增加，彈道重規(guī)劃任務(wù)可實現(xiàn)的決策等級會降低，能夠滿足的終端約束條件也隨之減少。若進一步增大推力偏差，最低任務(wù)決策等級也有可能無法達到。

表3 不同推力偏差條件下的目標軌道根數(shù)

4 結(jié)論

針對多級火箭上升段飛行的偏差問題，提出了一種基于任務(wù)決策等級更新的火箭彈道重規(guī)劃方案。將多級火箭彈道重規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題，在考慮氣動力和飛行約束的條件下，構(gòu)造了火箭飛行的質(zhì)心運動模型和最優(yōu)控制模型。根據(jù)不同任務(wù)的特點設(shè)計任務(wù)決策等級方案，確定重規(guī)劃任務(wù)的終端約束條件。采用自適應(yīng)偽譜法快速生成高精度的收斂彈道，設(shè)計了當火箭飛行過程中出現(xiàn)推力偏差狀況時的彈道重規(guī)劃方案。仿真結(jié)果表明本文提出的方案能夠快速規(guī)劃出滿足任務(wù)要求的飛行彈道，在火箭飛行出現(xiàn)異常狀態(tài)時實現(xiàn)了一定程度的補救挽回。