滕艷輝，王鵬云，劉婭婭

(1.咸陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 咸陽 712000；2.西安財(cái)經(jīng)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710100)

《統(tǒng)天歷》是宋代極其特殊的一部歷法,它首創(chuàng)“歲實(shí)消長術(shù)”,并放棄傳統(tǒng)的上元積年,無論是對天文學(xué)的認(rèn)識,還是對歷算方法的改進(jìn),都達(dá)到了傳統(tǒng)歷法前所未有的高度?！督y(tǒng)天歷》在改變傳統(tǒng)歷法方面可謂大膽,雖然可能由于新法未能與新的觀測完美匹配,導(dǎo)致其交食推算精度不高,飽受詬病,但它的思想方法直接啟發(fā)了郭守敬《授時歷》的制定?！妒跁r歷》很多方法自稱沿用了《紀(jì)元?dú)v》之法,其實(shí)更直接的是使用了《統(tǒng)天歷》之法。

《元史》記載《統(tǒng)天歷》行用時間是慶元六年(1200AD)至開禧三年(1207AD),共8年[1]。但《宋史》載 “于是《開禧歷》附《統(tǒng)天歷》行用于世四十五年”[2][注]《元史歷志》載《開禧歷》行用44年,見《歷代天文律歷等志匯編》(9),3365頁,自嘉定戊辰(1208)至淳佑辛亥(1251)應(yīng)為44年。。那么,在《開禧歷》行用期間,歷官可能也使用《統(tǒng)天歷》進(jìn)行推算,與《開禧歷》相互參照。這樣,《統(tǒng)天歷》真正使用的時間可能多達(dá)52年(1200AD—1251AD)。前人已經(jīng)對《統(tǒng)天歷》有過一定的研究,但更深入的探討仍是必須的[3-8]。

1 《統(tǒng)天歷》的歲實(shí)消長與積年算法

1.1 《統(tǒng)天歷》的歷元與積年

傳統(tǒng)歷法理想的上元時刻是甲子年、甲子日、日月五星同黃經(jīng)同處升(降)交點(diǎn)并且是冬至日。這導(dǎo)致歷法制定年到上元時刻的積年數(shù)非常龐大,有時甚至過億。而《統(tǒng)天歷》僅保證了上元時刻是甲子年和冬至日等少數(shù)幾個條件,它的上元積年相比前歷要小得多[1]?！督y(tǒng)天歷》上元距離宋紹熙五年(1194AD)為3830年,該年為甲子年,上元時刻為當(dāng)年的冬至?xí)r刻。但這個冬至?xí)r刻并不在甲子日夜半,也不是近地點(diǎn)或遠(yuǎn)地點(diǎn),還不是交點(diǎn)和日月合朔時刻。此時刻與上述幾個天文起算點(diǎn)的關(guān)系如圖1所示[8]。

圖1 《統(tǒng)天歷》的上元時刻Fig.1 Epoch of Concord with Heaven System

圖1中,我們令O表示上元時刻(冬至?xí)r刻),A點(diǎn)為上元后最近的甲子日夜半,R表示降交點(diǎn)時刻,J表示經(jīng)朔時刻,Z表示近地點(diǎn)時刻,D是某年冬至?xí)r刻。在《統(tǒng)天歷》中,OA=237811稱為氣差,表示上元時刻與甲子日夜半的距離,AJ=21704稱為閏差,表示甲子日夜半到經(jīng)朔點(diǎn)的距離,AR=80298稱為交差,表示甲子日夜半到交點(diǎn)距離,AZ=188800稱為轉(zhuǎn)差,表示甲子日夜半到近地點(diǎn)的距離。這樣,如果求冬至?xí)r刻就需要在OD上減去氣差OA,求上元到某個朔的積月數(shù),就要在依照上元時刻推得的基礎(chǔ)上減去閏差A(yù)J[8]。

1.2 歲實(shí)消長與《統(tǒng)天歷》的回歸年常數(shù)

由于地球自轉(zhuǎn)長期變慢,這使得每一天的長度按原子時秒來衡量是在不斷變長。如果以恒星日(即每一日的長度不變)來衡量,則回歸年的長度則是在不斷的變短,即回歸年是一個古大今小的量?！督y(tǒng)天歷》不但意識到了這點(diǎn),且給出了回歸年變化的定量表達(dá)?！督y(tǒng)天歷》求天正冬至算法里面包含了這個表達(dá),其術(shù)文稱[2]:

置上元距所求年積算,以歲分乘之,減去氣差,余為氣泛積;以積算與距算相減,余為距差;以斗分差乘之,萬約,為躔差。復(fù)以距差乘之,以減氣泛積,余為氣定積。滿紀(jì)實(shí)去之,不滿,如策法而一為大余,其大余命甲子,算外,即得日辰。

設(shè)《統(tǒng)天歷》回歸年常數(shù)為t=T/A,A為策法,Nn表示所求年距上元的積年數(shù),該年回歸年長度是tn,我們暫稱之為回歸年變量,N1194表示所求年至紹熙五年(1194AD)的積年數(shù),則Δn=Nn-N1194=k,Δn在歷法中稱為距差。這樣《統(tǒng)天歷》距上n年的歲實(shí)消長數(shù)值可表示為

(1)

(2)

這樣,可以得到任意年的回歸年變量為

tn=365.d2424989147-0.0000021167(n-1194)

(3)

式中n表示儒略紀(jì)年。與文獻(xiàn)[6]中的結(jié)果相比,這個結(jié)果更加精確,而文獻(xiàn)[6]中則是近似值。因?yàn)?194年的回歸年長度也不是365.2425日,而是要減去斗分差除以一萬倍的策法?！吨袊煳哪隁v》發(fā)布的回歸年常數(shù)理論值為

tn=365.d24219878-0.0000000614(n-1900)。

(4)

可見《統(tǒng)天歷》給的回歸年常數(shù)過大,并且消長的幅度也過大。例如,《統(tǒng)天歷》計(jì)算1900年回歸年為365.24210045,與理論值相差0.0001日,不到10s;但1194年回歸年的理論值為365.24224213,《統(tǒng)天歷》回歸年誤差近4min。

2 《統(tǒng)天歷》的氣朔算法

2.1 求冬至?xí)r刻算法

《統(tǒng)天歷》不使用傳統(tǒng)的上元積年并首創(chuàng)消長法,受此影響,它氣朔算法也與其他歷法不同。設(shè)Δq為氣差,根據(jù)其天正冬至術(shù)文,可得到其冬至?xí)r刻Tdz計(jì)算公式為

(5)

由于回歸年長度自上元以來,逐漸減小,Nnt-Δq/A是依照1194年回歸年計(jì)算得到的,稱為氣泛積。如果所求年在1194年以后,氣泛積要比實(shí)際所求年到上元最近甲子日的時間長,就要減去這段時間歲實(shí)減少的累積值;反之,1194年以前,所求年到1194年的時間小于真實(shí)值,要加上累積值,而氣泛積相應(yīng)的還是要減去累積值,因此公式(5)中對于累積值都要用減號?！督y(tǒng)天歷》的真實(shí)的上元時刻應(yīng)該在歷法給定的上元前面。經(jīng)計(jì)算,歷法給定上元在甲子日前237811日分,合19.8175日,即上元是甲辰日15.21刻。如果按式(5)計(jì)算,上元的實(shí)際時刻為戊子日64.97刻。

(6)

如果1194年冬至的時刻已知,其他年份的冬至?xí)r刻求起來更為方便,《統(tǒng)天歷》在求冬至術(shù)文的小字部分給出這種方法方法。術(shù)文稱[2]:

如求已,徑以躔差加減歲余,距差乘之,紀(jì)實(shí)去之,余以減氣積差二十【二】[注]原文為207489,我們重新計(jì)算1194年天正冬至,得227489日分,此處當(dāng)改。萬七千四百八十九,如策法而一,余同上法。

據(jù)術(shù)文,則有

Tdz=

(7)

其中b就是1194年天正冬至?xí)r刻,Ab=207489為氣積差。

對于上述兩種形式,在符號的選擇上,術(shù)文稱“其加減躔差,乘積算,少如距算者加之,多如距算者減之;其加減氣積差,即反用之”[2]。很顯然,如果在1194年以后,計(jì)算的冬至?xí)r刻應(yīng)該加入歲余的若干倍,但由于歲實(shí)為消,則實(shí)際的時間提前,用減;而1194年以前的情況是,要減去歲余的若干倍,此時,歲實(shí)為長,也應(yīng)再減去消長的累積值,但此值又在此前計(jì)算,因而先加后減,于是得到上面兩種形式[8]。

2.2 定朔算法

《統(tǒng)天歷》“求天正經(jīng)朔”算法稱:

置天正冬至氣定積,以閏差減之,滿朔實(shí)去之,不滿,為天正閏泛積余;用減氣定積,余為天正十一月朔泛積;以百五乘距差,退位減之,為朔定積;滿紀(jì)實(shí)去之,不滿,如策法而一為大余,不盡為小余。其大余命甲子,算外,即得日辰。[2]

這樣,設(shè)Δr為閏差,《統(tǒng)天歷》的經(jīng)朔Tpm可由下式求得:

(8)

其術(shù)文的小字部分補(bǔ)充到:“積算少如距算者加之，無距算者，以泛為定。求交轉(zhuǎn)準(zhǔn)此”[2]。因距差[注]事實(shí)上,我們定義的距差是具有正負(fù)號的,《統(tǒng)天歷》的距差都是正值,因此它要在小字中說明運(yùn)算時正負(fù)號的取法。在1194年前為負(fù),則式中取減號能保證實(shí)際計(jì)算時是加法。

《統(tǒng)天歷》求日月改正數(shù)及求定朔的方法都與《紀(jì)元?dú)v》的相同,只是在求經(jīng)朔入氣與經(jīng)朔入轉(zhuǎn)時略有不同[9]。我們將會在后面的計(jì)算中詳細(xì)說明這些。

2.3 《統(tǒng)天歷》推算1191年冬至和定朔過程

為了更清楚展示《統(tǒng)天歷》歲實(shí)消長計(jì)算氣朔的方法,我們給出一個算例加以說明。元史載“紹熙二年辛亥十一月壬申四十七刻”[1]，這是在計(jì)算公元1191年12月15日的冬至。其計(jì)算過程如下所示。

其中3828×4382910-237811-0.1143=240581168.8857就是氣定積。因不足1日時,當(dāng)日是甲子日,則8日時為壬申日,得到冬至?xí)r刻是壬申日余5668.8857日分,合11時20分,約為47刻23分,與史載計(jì)算完全一致。

我們可以進(jìn)一步計(jì)算該年的天正定朔時刻。閏差Δr=21704,朔實(shí)U=Au=354368,

其中321372.8857是天正閏泛積余,16777541668.8857-321372.8857=16777220296就是朔泛積。

天正經(jīng)朔到冬至的實(shí)際距離是321372.8857+10.5×(-3)=321341.3857,相當(dāng)于其他歷法中的天正閏余。《統(tǒng)天歷》一個平氣長度為182621.25日分,321341.3857>182621.25,因此,經(jīng)朔前面的最近的平氣是小雪氣,又2×182621.25-321341.3857=43901.1143=3×12000+7901.1143,于是得到經(jīng)朔入小雪氣,入3日小余7901.1143。查詢每日日躔表[注]每日日躔表是根據(jù)《統(tǒng)天歷》24氣日躔表經(jīng)過二次插值計(jì)算得到,具體算法參考文獻(xiàn)[10]。,得其日損益率為32,脁朒積-1058。根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的算法,得其朔入氣腓朒定數(shù)為

接下來求經(jīng)朔時刻距離最近一個近點(diǎn)的的距離,由圖1知,上元附近,近點(diǎn)的在經(jīng)朔點(diǎn)后面,這樣要在朔定積基礎(chǔ)上減去這段距離即轉(zhuǎn)差18880。可得

結(jié)果不足1日是為入轉(zhuǎn)1日,結(jié)果21即朔入22日余6137.5日分,其日損益率為-215,胐朒積為5008。由此得到入轉(zhuǎn)胐朒定數(shù)為[9-10]

定朔時刻就是經(jīng)朔加入氣入轉(zhuǎn)胐朒定數(shù),即

1194年天正定朔時刻是丙午日188.6061日分,合丙午日1刻57分。

3 《統(tǒng)天歷》氣朔計(jì)算的精度

我們完全按照《統(tǒng)天歷》推算冬至和定朔的算法,利用Visual Basic 9.0編寫了計(jì)算機(jī)程序,能夠方便地計(jì)算出任意給定的定朔和冬至。這樣,如果將其與真實(shí)的天象相比較,就可以得到《統(tǒng)天歷》計(jì)算氣朔的精度水平。據(jù)文獻(xiàn)[11],日月改正數(shù)周期大約9年或112個朔望月,我們就選擇《統(tǒng)天歷》行用初年(1200AD)向前和向后各推9年,計(jì)算這18年(1192AD—1209AD)的定朔,然后與真實(shí)值比較,討論其定朔計(jì)算精度。同時,我們又計(jì)算了公元1101—公元1300年的各年的冬至?xí)r刻,與真實(shí)值比較,得到了《統(tǒng)天歷》冬至推算的精度。本文的氣朔真實(shí)值取自《三千五百年歷日天象》中“合朔滿月表”和“分至八節(jié)表”中的數(shù)據(jù)[12]?！督y(tǒng)天歷》氣朔計(jì)算精度的各項(xiàng)指標(biāo)如表1所示。

表1 《統(tǒng)天歷》氣朔計(jì)算精度Tab.1 Calculation accuracy of the true sun and the real new moon in Concord with Heaven System

《統(tǒng)天歷》定朔誤差平均值0.074693h,僅為4.5min,取絕對值為0.365794h,也僅為21.9min;反而算法相對容易,計(jì)算量較小的冬至?xí)r刻精度略低于定朔精度,冬至誤差平均值為0.098682h,合5.9min,絕對值均值為0.485321h,合29.1min。最大誤差方面定朔的為1.310115h,超過78min,而冬至的僅略大于1h;誤差大于1h的,定朔有6次,而冬至僅為1次;其余的精度指標(biāo)都是定朔的略優(yōu)于冬至的?！督y(tǒng)天歷》定朔與冬至推算的精度分別如圖2和圖3所示。

圖2 《統(tǒng)天歷》定朔計(jì)算精度Fig.2 Accuracy of the real new moon

圖3 《統(tǒng)天歷》冬至計(jì)算精度Fig.3 Accuracy of the winter solstice

4 結(jié) 語

廢傳統(tǒng)積年并非《統(tǒng)天歷》首創(chuàng),唐曹士蒍《符天歷》、五代馬重績《調(diào)元?dú)v》就曾有過嘗試,它們的歷元都在千年之內(nèi),但未得到官方的普遍認(rèn)可。《紀(jì)元?dú)v》、《元嘉歷》和《乙未元?dú)v》等歷法也曾放棄了傳統(tǒng)歷法上元的條件,如上元不選擇冬至,上元不在甲子日等。但《統(tǒng)天歷》在這方面做的是最徹底的,它的上元僅僅保留了是冬至?xí)r刻,其余重要的天文點(diǎn)幾乎都不與之重合,于是,楊忠輔又設(shè)立了各種“差”(閏差、氣差等),保證歷日天象的正常推算。這樣,《統(tǒng)天歷》的計(jì)算量降低了。我們的算例也能看到,里面出現(xiàn)的最大數(shù)值也僅達(dá)到11位,而傳統(tǒng)上元積年的歷法,推算時動輒15位16位,因?yàn)橛行v法積年就達(dá)到8位9位。

《統(tǒng)天歷》最重要的創(chuàng)新則在于它發(fā)現(xiàn)歲實(shí)消長,并給出定量描述。雖然早在劉洪和祖沖之時期,天文學(xué)家就討論過歲差等問題,但真正明確回歸年的變化,并完整應(yīng)用在歷法上,《統(tǒng)天歷》是第一個。雖然由于這種方法與當(dāng)時歷家的思維及造歷的原則不一致,并且行用幾年后也出現(xiàn)了多次交食不驗(yàn),但經(jīng)過對其氣朔的推算精度分析,我們發(fā)現(xiàn)其實(shí)《統(tǒng)天歷》的推算精度還是可以的,冬至?xí)r刻的推算在百年內(nèi)都能保證誤差在1h以內(nèi),定朔的計(jì)算更是絕大多數(shù)穩(wěn)定在0.5h左右。

《統(tǒng)天歷》推算精度顯然比不上其后的《開禧歷》,在交食方面可能還不如前面的《淳熙歷》和《會元?dú)v》,但這是兩項(xiàng)空前創(chuàng)舉第一次應(yīng)用的結(jié)果,不成熟之處是很自然的。我們甚至可以設(shè)想下,如果能夠給造歷者更多的時間去測算和調(diào)整,他造出的第二部歷法肯定會彌補(bǔ)推算精度上的缺憾。巧合的是,80年后,郭守敬正是繼承了楊忠輔的方法,并重新測算了天文常數(shù),他造出了傳統(tǒng)歷法的巔峰之作——《授時歷》。