張大林 朱 昌

(黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，貴州 都勻 558000)

0 引言

多目標(biāo)規(guī)劃是研究現(xiàn)實問題在一定約束條件下多個目標(biāo)函數(shù)的極值問題。它囊括著多項指標(biāo)、偏差變量、權(quán)系數(shù)等多項理論知識，在合理探究高等數(shù)學(xué)中的重要公式后，引用多目標(biāo)規(guī)劃問題并進(jìn)行主要目標(biāo)法、分層序列法、線性加權(quán)求和法三種分析求解。 利用計算機軟件進(jìn)行結(jié)果多類別分析， 得出適合問題的合理滿意解，展示出多目標(biāo)規(guī)劃原理巧妙的科學(xué)準(zhǔn)確性。

基于線性規(guī)劃的理論基礎(chǔ)上，分析多目標(biāo)規(guī)劃問題的思想便變得更加廣闊。 本文著重介紹三種基本方法：對于多項指標(biāo)的多目標(biāo)規(guī)劃問題， 保留決策者合理的首次要求， 對問題進(jìn)行主要目標(biāo)法優(yōu)化改變?yōu)橥荒繕?biāo)問題求解；也可以將實際問題按照管理的要求比重，在滿足第一級的規(guī)定要求后分析求解第二級，一級接著一級的分層序列求解；最后也能夠引用線性求和法思想。

1 多目標(biāo)規(guī)劃原理

1.1 發(fā)展歷程

線性規(guī)劃思想是多目標(biāo)規(guī)劃原理的重要基礎(chǔ)，務(wù)實了在解決多目標(biāo)問題的各層面的可靠知識。 因此線性規(guī)劃的發(fā)展歷程是非常有必要了解的，尊重前輩們的艱苦探究， 到現(xiàn)如今已經(jīng)能夠在計算機領(lǐng)域上占領(lǐng)一座高峰，可見未來世界的管理者離不開線性規(guī)劃基礎(chǔ)之上的多目標(biāo)規(guī)劃原理。

圖1

1.2 多目標(biāo)規(guī)劃表達(dá)方式

學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)中多目標(biāo)規(guī)劃原理有不同的論述表達(dá)，殊途同歸，在這里統(tǒng)一規(guī)范的書寫格式。首先多目標(biāo)規(guī)劃的也是由決策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)三要素構(gòu)成線性規(guī)劃，然后對問題進(jìn)行分級比重指標(biāo)，添加偏差變量，引入權(quán)系數(shù)進(jìn)行理論補充。

一般的，簡單形式進(jìn)行如下描述:

規(guī)定變量為xi，給出的參數(shù)為yi，未知的隨機因素為ξk，目標(biāo)的評價準(zhǔn)則為：U=f（xi,yi,ξk），約束條件是：g（xi,yi,ξk）≥0。 這 里g（xi,yi,ξk）=0，看 為 剛 好 足 夠，若 不 等時，理解為隨機模型。

1.3 絕對約束和目標(biāo)約束

一般的，優(yōu)化理論中線性規(guī)劃此類的問題需要設(shè)定目標(biāo)函數(shù),因此根據(jù)所求目標(biāo)值，合理的加入正、負(fù)偏差變量后是有效解答路徑。 可以依據(jù)規(guī)劃問題的要求，在絕對約束與目標(biāo)約束進(jìn)行互換確保合理準(zhǔn)確作答。

圖2

1.4 目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)

引入正偏差變量d+， 為目標(biāo)函數(shù)中目標(biāo)值比計算值小的情況；引入負(fù)偏差變量d-， 為目標(biāo)函數(shù)中目標(biāo)值比計算值大的情況，因此就能夠得到優(yōu)化的公式求出滿意解。 一般的，需要同時加入d+、d-，使得計算值盡可能等于目標(biāo)值。

上面說過，實際多目標(biāo)規(guī)劃問題中，由于決策者需要對多項要求有自我的把握程度，那么，對每一個具體目標(biāo)規(guī)劃問題,就依照分級要求考慮加入優(yōu)先因子來構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)。

綜上，目標(biāo)規(guī)劃是有主觀性和模糊性的，要構(gòu)建目標(biāo)規(guī)劃的高效準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型時, 要有明確的目標(biāo)值、對問題要求進(jìn)行優(yōu)先等級、合理引入權(quán)系數(shù)等重要理論步驟。

2 多目標(biāo)規(guī)劃

如何分析求解多目標(biāo)規(guī)劃問題， 首先了解它的本質(zhì)。 多目標(biāo)規(guī)劃問題其實是在優(yōu)化過程中考慮的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)不只是單一的，通常都會存在兩個或兩個以上的目標(biāo)函數(shù)， 而它們又會因為各自的最值要求互相矛盾，困擾決策者找不到極值解。 在優(yōu)化理論思想中，求出一個合理的滿意解是非常有必要的，決策者可以依據(jù)劃分的各級要求，調(diào)整出合理的分配或組合方案。

一般的，將多目標(biāo)規(guī)劃的問題寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式:

2.1 主要目標(biāo)法

在多目標(biāo)優(yōu)化問題中，將實際要求分為主次目標(biāo)進(jìn)行求解，最主要的要求為f1（x），其余另外都為次要要求， 在一定的約束條件之下， 找出各自變量的的界限值，這樣一樣將次要目標(biāo)轉(zhuǎn)化為目標(biāo)優(yōu)化問題就顯得方便求解了。 求解如下：

令

其中界值取為：

綜上，求得的非線性規(guī)劃問題得最優(yōu)解同樣是原問題的弱有效解，也必然是多目標(biāo)優(yōu)化問題的弱有效解。

2.2 分層序列法

多目標(biāo)規(guī)劃原理的分析思想也可表達(dá)為，將實際問題的多項指標(biāo)問題，按照需要達(dá)到的要求重要程度進(jìn)行分層次，不妨設(shè)有p 個目標(biāo)，假設(shè)f1（x）相對于整體要求是不可缺少的，f2（x）稍次之，f3（x）再次之，以此類推，直到結(jié)尾的目標(biāo)為fp（x）。 求解過程中，求解一級指標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)f1（x），那么在其它約束條件不改變時，問題P1：

求出的最優(yōu)解，記為x（1）和符合原題意的最優(yōu)值，記為；接著求解在其它約束條件不改變時，問題P2：

同樣的，求出的最優(yōu)解，記為x（2），符合原題的最優(yōu)值，記為，即:

其中：

接著在R1為問題P2的可行域下，繼續(xù)求解問題P3：

得最優(yōu)解，記為x（3）和符合題意的最優(yōu)值，記為：…，以此類推下去，直到求解到第p 個問題pp：

得最優(yōu)解，記為x（p），符合題意最優(yōu)值，記為，則：x*=x（p）

綜上，多目標(biāo)規(guī)劃問題的分成序列求解思路過程中，求得的最優(yōu)解也就是滿意解為：

2.3 線性加權(quán)求和法

另外的一種方法，在不使用分層次目標(biāo)要求下，對p個目標(biāo)可以重要程度的相互關(guān)系，分別給出科學(xué)合理的權(quán)系數(shù)：

且

求出的最優(yōu)解，記為x（0），不妨取x*=x（0）是多目標(biāo)規(guī)劃問題的初解。

不難看出，如果用分層序列法分析，假設(shè)對其中的某個問題， 若它的最優(yōu)解能夠求出并且是唯一確定的，那么問題，這時候用h（x）=

作為下一個的新目標(biāo)函數(shù)，也就是線性規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)，繼續(xù)求解實際問題：

再按以上的求解過程，依次分析求解權(quán)系數(shù)下的問題P2,…,pp。

綜上，在一定約束條件下，多目標(biāo)規(guī)劃問題采用線性加權(quán)求和法得到的最優(yōu)解依然是原問題的滿意解。

3 實例分析

3.1 例題

設(shè)某市場上有n 種資產(chǎn)si（i=1,2,…,n）可以進(jìn)行選擇，如果有數(shù)額為M 的足夠多的資金可以是一個階段的投資。 其中，這n 種資產(chǎn)在這一時期內(nèi)購買si的平均收益率為ri，風(fēng)險出現(xiàn)的損失率為qi，且有投資越分散，總的風(fēng)險越少， 總體風(fēng)險可用投資的si中最大的一個風(fēng)險來度量。 購買si時要付交易費，（費率pi），當(dāng)購買額不超過給定值ui時，交易費按購買ui計算。 另外，假定同期銀行存款利率是r0，既無交易費又無風(fēng)險。 （r0=5%）

已知n=4 時相關(guān)數(shù)據(jù)如下表1。

表1

請給出這所公司的一種設(shè)計投資的組合方案，也就是用給定資金M， 科學(xué)合理的選擇購買若干種資產(chǎn)，或者將資金存入存銀行收利息，最后能夠使決策者的凈收益足夠高，而且受到的總體風(fēng)險卻盡可能小。

3.2 符號規(guī)定和基本假設(shè)

1）符號規(guī)定：

si 第i 中投資項目，例如股票，債券等ri,pi,qi各項投資項目si 的平均收益率，產(chǎn)生的交易費率，需要承擔(dān)的風(fēng)險損失率ui si的交易需要的投資定額r0 投資者所能參考的同期的銀行利率xi 投資項目si的所需要的資金a 投資項目時，會出現(xiàn)的風(fēng)險度Q 投資者的收獲總收益

2）基本假設(shè)：

（1）投資者可用的投資數(shù)額M 是足夠的，不妨設(shè)M=1；

（2）相對于投資本身，投資的項目越分散，投資者受到的風(fēng)險只會越?。?/p>

（3）假定整體的風(fēng)險可以用si中顯得風(fēng)險為第一來度量；

（4）n 種的各項資產(chǎn)是可以與各種投資項目si相互獨立的；

（5）投資者在投資后，收益所需要的時間內(nèi)，ri,pi,qi,r0，為穩(wěn)定值，不受外界因素影響；

（6）投資者的純收益只會受到ri,pi,qi影響，不受其它因素干擾，總體風(fēng)險也是。

3.3 模型的分析與建立

1） 總體風(fēng)險用所投資的si中最大的一個風(fēng)險來衡量，即：

2）購買si所付交易費是一個分段函數(shù)，即：

而題目所給定的定值ui（單位：元）相對總投資M很少，piui更小， 可以忽略不計， 這樣購買si的凈收益為（ri－pi）xi。

3）要使凈收益盡可能大，總體風(fēng)險盡可能小，這是一個多目標(biāo)規(guī)劃模型：

目標(biāo)函數(shù)為：

4）模型簡化

（a）在實際投資情況中，投資者需要承受風(fēng)險的大小并不會一樣，此處假定風(fēng)險有一個界限a，使得最大出現(xiàn)的一個風(fēng)險，都是可以找到合理的投資組合，那么就建立了線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型。模型一 固定風(fēng)險水平，優(yōu)化收益

（b） 假設(shè)投資者往往都期待于總盈利至少能有水平k 以上， 那么需要在風(fēng)險最小的情況下就得探究出科學(xué)合理的投資方案。

模型二 固定盈利水平，極小化風(fēng)險

（c）投入資金后，投資者都會矛盾于資產(chǎn)風(fēng)險和預(yù)期收益，到底如何合理選擇投資方案，在此處可以對風(fēng)險、收益分別賦予權(quán)重s（0

模型三

4 算法實現(xiàn)

4.1 模型一的求解

模型一：

因為a 是未知的，是出于需要給定的任意風(fēng)險度，而不同的投資者將會遇到不同的風(fēng)險大小。 不妨，將a=0 開始計算， 以步長Δa=0.001 進(jìn)行循環(huán)搜索求解，在計算機Matlab 軟件上編程如下：

模型一的編程：

clc,clear

a=0;

hold on

while a<0.05

c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];

A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];

b=a*ones(4,1);

Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];

beq=1;

LB=zeros(5,1);

[x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);

Q=-Q;

plot(a,Q,'*r');

a=a+0.001;

end

xlabel('a'),ylabel('Q')

4.2 結(jié)果分析

（1）投資的風(fēng)險大，但是能夠得到的收益也是令人滿意的。

（2）如果將投資進(jìn)行不斷分散后，那么投資者需要接受的風(fēng)險也隨著減小。 可以這樣理解：鋌而走險的投資者通常選擇集中投資，理由如（1），保全自己的資產(chǎn)的投資者又想盡可能的收益，減少風(fēng)險會選擇分散投資。

（3）在a=0.006 周圍有一個轉(zhuǎn)折點，不能看出在此點的左側(cè)風(fēng)險增加變得逐漸減少時， 投資者得到的利潤是增長很快；相反，在此點的右側(cè)風(fēng)險增加逐漸變得很大時，投資者得到的利潤增長卻是有些減緩的。 這說明對于初學(xué)者或者是經(jīng)歷豐富的投資者， 選擇此處拐點是非常適合的，避免了風(fēng)險過大，收益過小的情形，拐點的數(shù)值為a=6%，Q=20%，其中方案可以為： 風(fēng)險度a=6%，收益Q=0.2019，x0=0,x1=0.24,x2=0.4,x3=0.1091,x4=0.2212。