周軍小

（撫順礦務(wù)局職工工學(xué)院，遼寧 撫順 113008）

1977年，V.I.Utkin首次提出了滑模變結(jié)構(gòu)的概念，并進(jìn)行了闡述。我國學(xué)者也相繼進(jìn)行了研究，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了相關(guān)的演變，最具代表性的是高為炳，其在前人研究的基礎(chǔ)上，第一次提出了趨近律的定義，并進(jìn)行細(xì)化。文中使用的就是高為炳提出的指數(shù)趨近律。趨近律方法是把控制系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型，把趨近律應(yīng)用于數(shù)學(xué)模型，推演出控制律，應(yīng)用于控制系統(tǒng)。

目前，冶金器人的應(yīng)用領(lǐng)域比較廣泛。如碼垛、搬運(yùn)、CNC上下料、焊接（氬弧焊和CO2氣體保護(hù)焊）等；在金屬零部件的加工、零件組裝、整體搬運(yùn)等；還有其它領(lǐng)域……，控制過程大體可以歸納為示教和在線兩種方式。示教就是在機(jī)器人作業(yè)前，需引導(dǎo)機(jī)器人進(jìn)行相關(guān)軌跡確認(rèn)，機(jī)器人系統(tǒng)把每一步動(dòng)作的坐標(biāo)記錄下來。在線就是機(jī)器人將操作者下達(dá)的命令記錄下來，一步一步按照記錄進(jìn)行動(dòng)作。由于機(jī)器人在線時(shí)按照設(shè)定好的路徑進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，如果在運(yùn)行中出現(xiàn)非正常的操作，除非操作者及時(shí)制止，否則機(jī)器人會(huì)一直按照設(shè)定軌跡走下去，有可能出現(xiàn)事故。

本文把指數(shù)趨近律應(yīng)用于冶金機(jī)器人機(jī)械手臂的控制中，通過建立二階數(shù)學(xué)模型，把推導(dǎo)出的控制律應(yīng)用于二階數(shù)學(xué)模型[1]，仿真后從圖像中發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)軌跡平滑，并在有限的時(shí)間內(nèi)趨近滑模面，并具有較好的控制效果。

1 指數(shù)趨近律及相關(guān)

1.1 指數(shù)趨近律[2]

式（2）中引入了指數(shù)函數(shù)，在整個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)是正值的可微函數(shù)，也是單調(diào)函數(shù)，這樣為系統(tǒng)軌跡趨向滑模面提供了依據(jù)。從（2）中還可以看到求解后的表達(dá)式出現(xiàn)了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，從理論上來講，系統(tǒng)軌跡是無法到達(dá)滑模面的，只是到達(dá)滑模面的上或下個(gè)單位的邊界層。而在實(shí)際控制中，冶金機(jī)器人的機(jī)械手臂軌跡也不是非常精確，只要適當(dāng)?shù)膶⒅底冃?，就可以?yīng)用到實(shí)際控制中。

對指數(shù)趨近律進(jìn)行求解后，發(fā)現(xiàn)其能在有限的時(shí)間到達(dá)滑模面（系統(tǒng)正常運(yùn)行的狀態(tài)），接下來，對其到達(dá)條件進(jìn)行驗(yàn)證。

（3）只能證明指數(shù)趨近律用于控制系統(tǒng)中，能使系統(tǒng)達(dá)到正常運(yùn)行的狀態(tài)，至于能不能在有限的時(shí)間內(nèi)趨近，還需要在對具體的參數(shù)方程進(jìn)行仿真后說明。

冶金機(jī)器人系統(tǒng)是離散系統(tǒng)，設(shè)定采樣周期為0.001s，將（1）離散化，推導(dǎo)出離散趨近律

離散趨近律的存在性和可達(dá)性條件

（4）說明，推導(dǎo)出的離散趨近律符合條件，及在有限的時(shí)間內(nèi)趨近滑模面附近個(gè)邊界層，也滿足存在性和可達(dá)性條件。

1.2 離散控制律

從（3）中，可以得到離散控制律為

其中符號(hào)函數(shù)

通過引入符號(hào)函數(shù)，設(shè)定s(0 )=1分析得知，系統(tǒng)軌跡在時(shí)，才是單調(diào)遞減，并且抖振較小，引起系統(tǒng)的振蕩較小。（5）中，系統(tǒng)參數(shù)的ε和κ選擇尤為重要，值太大，系統(tǒng)可能產(chǎn)生抖振；值太小，系統(tǒng)可能達(dá)不到預(yù)期控制效果。ε和κ值的選擇，需在控制律和系統(tǒng)模型結(jié)合后進(jìn)行調(diào)試設(shè)定。

2 離散趨近律應(yīng)用于冶金機(jī)器人系統(tǒng)仿真實(shí)例

選擇冶金機(jī)器人作為研究對象，這種機(jī)器人機(jī)械手臂有六個(gè)軸，統(tǒng)稱為6自由度，分別為：腰關(guān)節(jié)、肩關(guān)節(jié)、肘關(guān)節(jié)、大臂、小臂和手腕。每個(gè)關(guān)節(jié)都可以自由的轉(zhuǎn)動(dòng)，選擇合適的坐標(biāo)達(dá)到控制效果。文中選擇機(jī)器人的腰關(guān)節(jié)作為研究點(diǎn)，腰關(guān)節(jié)的坐標(biāo)分為三種，直角坐標(biāo)型、圓柱坐標(biāo)型和球坐標(biāo)型。其中直角坐標(biāo)型是設(shè)定三個(gè)軸的坐標(biāo)，即讓腰關(guān)節(jié)在三維坐標(biāo)下進(jìn)行移動(dòng)，這種坐標(biāo)數(shù)據(jù)精確，移動(dòng)位置準(zhǔn)確，適用于食品行業(yè)和玻璃制品行業(yè)。

選擇二階離散系統(tǒng)進(jìn)行仿真

仿真曲線如圖所示：

圖1 跟蹤信號(hào)曲線圖

圖2 控制輸出曲線

從兩個(gè)仿真圖像來看，藍(lán)色曲線是冶金機(jī)器人機(jī)械手臂的移動(dòng)軌跡，紅色曲線是新設(shè)計(jì)的控制律在對冶金機(jī)器人機(jī)械手臂移動(dòng)的跟蹤軌跡，坐標(biāo)系顯示，運(yùn)動(dòng)的初段，跟蹤軌跡曲線在正常軌跡曲線的上下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到中段時(shí)，正常移動(dòng)曲線和跟蹤曲線重合在一起，一起移動(dòng)，誤差不明顯。從輸出曲線來看，前段輸出不太平滑，振動(dòng)較大，中后段趨向平穩(wěn)，并且比較光滑。

3 結(jié)論

本文基于滑模變結(jié)構(gòu)中趨近律方法建立離散控制律，并對冶金機(jī)器人機(jī)械手臂建立二階數(shù)學(xué)模型，首先對指數(shù)趨近律進(jìn)行了計(jì)算，用數(shù)學(xué)的方法對其分析，接下來采用文獻(xiàn)中的方法對系統(tǒng)軌跡在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面和存在性和可達(dá)性條件進(jìn)行了驗(yàn)證，從理論上證實(shí)了新趨近律的正確性。由于機(jī)器人控制系統(tǒng)是離散系統(tǒng)，所以對指數(shù)趨近律離散化，引入采樣時(shí)間，其時(shí)間的選擇根據(jù)建模仿真的結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化。最后選取了一個(gè)典型的二階系統(tǒng)，并列出了狀態(tài)方程，在不斷的仿真后，發(fā)現(xiàn)冶金機(jī)器人機(jī)械手臂的移動(dòng)曲線和增加了新控制律的機(jī)械手臂的移動(dòng)曲線在后段重合，跟蹤效果較好，輸出曲線也和原有輸出曲線重合，證實(shí)了指數(shù)趨近律可以應(yīng)用在冶金機(jī)器人機(jī)械手臂的軌跡控制中。