王永富 馬冰心 柴天佑 張曉宇

為了解決能源危機(jī)和全球變暖問(wèn)題,當(dāng)前世界各國(guó)都在加大新能源開(kāi)發(fā)力度.質(zhì)子交換膜燃料電池(Proton exchange membrane fuel cell,PEMFC)是一種通過(guò)電化學(xué)反應(yīng)將儲(chǔ)存在燃料中的化學(xué)能直接轉(zhuǎn)換為電能的電化學(xué)裝置,具有高功率、高能量轉(zhuǎn)換效率、低溫啟動(dòng)、無(wú)環(huán)境污染等優(yōu)點(diǎn),應(yīng)用前景廣闊、已逐漸在新能源汽車(chē)和電力系統(tǒng)等領(lǐng)域得到實(shí)際應(yīng)用[1?4].

合理控制PEMFC空氣供給系統(tǒng)陰極注入空氣流量與電化學(xué)反應(yīng)消耗空氣流量之比,即過(guò)氧比(Oxygen excess ratio,OER)是提高PEMFC系統(tǒng)輸出凈功率的有效方法.為此,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)PEMFC空氣供給系統(tǒng)的建模與控制問(wèn)題作了大量研究.文獻(xiàn)[5?7]基于以下理想假設(shè)建立了PEMFC空氣供給系統(tǒng)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型:1)視空氣為理想氣體,遵循理想氣體定律,且干燥空氣中21%為氧氣成分,79%為氮?dú)獬煞?2)空壓機(jī)機(jī)械效率較高,摩擦力矩忽略不計(jì);3)冷卻器體積忽略不計(jì),并可迅速降低空氣溫度到80?C;4)排出陰極的空氣特性與陰極內(nèi)空氣特性相同;5)陰極內(nèi)水蒸氣平衡得到很好地控制,且無(wú)液態(tài)水存在.基于以上基礎(chǔ)模型及改進(jìn)模型,國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出采用線性反饋控制、模型預(yù)測(cè)控制和滑?？刂频确椒▽?duì)PEMFC空氣供給系統(tǒng)進(jìn)行了控制研究[8?12].但以上文獻(xiàn)控制器的設(shè)計(jì)均是基于理想模型,且在模型結(jié)構(gòu)、參數(shù)或者模型函數(shù)界嚴(yán)格已知條件下進(jìn)行的,目前如何有效辨識(shí)PEMFC模型結(jié)構(gòu)、參數(shù)和函數(shù)界仍是一困難問(wèn)題.實(shí)踐表明,模糊邏輯系統(tǒng)和自適應(yīng)控制技術(shù)相結(jié)合是解決復(fù)雜而無(wú)法建立精確數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的控制問(wèn)題的有效途徑之一.但模糊邏輯系統(tǒng)和自適應(yīng)控制技術(shù)在處理PEMFC空氣供給控制系統(tǒng)中不確定性和不精確性問(wèn)題的研究很少,特別是采用二型模糊邏輯系統(tǒng)、自適應(yīng)技術(shù)并結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性分析開(kāi)展研究的鮮有報(bào)道.

自從Zadeh教授提出I型模糊集合(T1-fuzzy set,T1-FS)理論以來(lái),基于T1-FS的I型模糊邏輯系統(tǒng)(T1-fuzzy logic system,T1-FLS)成為處理不確定性、模糊性和不精確性建模問(wèn)題的有效方法,并在眾多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.隨著理論和實(shí)際應(yīng)用的發(fā)展,人們逐步意識(shí)到一型模糊集合在描述多重模糊不確定性方面的局限性,使得一些從事一型模糊集合研究的學(xué)者們開(kāi)始轉(zhuǎn)而研究二型模糊集合.特別是近年來(lái)二型模糊集合和二型模糊系統(tǒng)的理論與應(yīng)用得到了快速發(fā)展.這是因?yàn)橐恍湍：到y(tǒng)采用了由精確隸屬度函數(shù)表示模糊集合,其直接處理模糊規(guī)則不確定性的能力非常有限,而二型模糊集合和二型模糊系統(tǒng)能較好地解決這些不確定性問(wèn)題[13?17].雖然該領(lǐng)域在Mendel教授的推動(dòng)下得到了快速發(fā)展,但在許多原創(chuàng)性問(wèn)題上還在被探索研究,如最近兩年我國(guó)學(xué)者王立新教授探索了二型模糊集合和二型模糊邏輯系統(tǒng)的新框架[18]、王飛躍和莫紅教授探索了二型模糊集合的一系列新定義[19].這些新框架新定義與Mendel定義的流行框架哪個(gè)更好,或者說(shuō)針對(duì)不同應(yīng)用對(duì)象哪個(gè)定義更匹配、目前沒(méi)有準(zhǔn)確對(duì)比報(bào)道還需進(jìn)一步研究.

模糊系統(tǒng)和自適應(yīng)控制的結(jié)合是對(duì)非線性不確定系統(tǒng)進(jìn)行建模與控制的一種有效方法,自適應(yīng)模糊建模與控制的基本出發(fā)點(diǎn)是仿人的智能以實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜不確定性系統(tǒng)進(jìn)行有效的建模與控制,它具有從環(huán)境自學(xué)習(xí)、適應(yīng)環(huán)境的能力.該方法不需要對(duì)象模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)完全已知的條件,僅根據(jù)被控系統(tǒng)結(jié)構(gòu)關(guān)系即可實(shí)現(xiàn)有效控制,已在許多領(lǐng)域的建模和控制中得到廣泛關(guān)注[20?25].目前,解決PEMFC空氣供給系統(tǒng)的控制問(wèn)題,一般都是首先建立空氣供給系統(tǒng)的機(jī)理模型、然后進(jìn)行控制器設(shè)計(jì).而進(jìn)行智能建模和控制方面的研究工作較少.

本文對(duì)PEMFC空氣供給系統(tǒng)的模糊建模與過(guò)氧比自適應(yīng)控制問(wèn)題做了一些探索研究、主要工作如下:1)本文首先對(duì)國(guó)際文獻(xiàn)中的一些推導(dǎo)錯(cuò)誤及多漏寫(xiě)失誤進(jìn)行了改正,從而保證仿真狀態(tài)空間模型的正確性;2)為了設(shè)計(jì)非模型的自適應(yīng)模糊控制器,采用精確線性化技術(shù)求解了系統(tǒng)相對(duì)階數(shù);3)基于等價(jià)模型,對(duì)PEMFC空氣供給系統(tǒng)模型中的多個(gè)未建模動(dòng)態(tài)采用二型模糊系統(tǒng)建模,這種方法對(duì)PEMFC空氣供給系統(tǒng)進(jìn)行建模在國(guó)內(nèi)外很少有報(bào)道;4)結(jié)合具體的PEMFC空氣供給系統(tǒng)的建模與控制問(wèn)題,從Lyapunov穩(wěn)定性導(dǎo)出自適應(yīng)律并設(shè)計(jì)了相應(yīng)自適應(yīng)控制器.這種結(jié)合二型模糊系統(tǒng)建模、自適應(yīng)控制和穩(wěn)定性分析,在國(guó)際主要文獻(xiàn)上未見(jiàn).大部分PEMFC系統(tǒng)文獻(xiàn)局限在簡(jiǎn)單的模糊控制、或者有自適應(yīng)功能但缺少穩(wěn)定性分析等;5)仿真及其對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該控制器的有效性與實(shí)用性.

1 PEMFC空氣供給系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

PEMFC系統(tǒng)主要由氫氣供給系統(tǒng)、空氣供給系統(tǒng)和反應(yīng)電堆三部分構(gòu)成(見(jiàn)圖1),其中PEMFC空氣供給系統(tǒng)包括空壓機(jī)、供應(yīng)管道、冷卻器、加濕器、電堆陰極以及回流管道等組成.PEMFC空氣供給系統(tǒng)具體結(jié)構(gòu)如圖1虛框所示.

1.1 PEMFC空氣供給系統(tǒng)的建模

為了實(shí)現(xiàn)PEMFC空氣供給系統(tǒng)的高級(jí)控制方法的研究.文獻(xiàn)[5]在理想假設(shè)基礎(chǔ)上,基于文獻(xiàn)[7]的流體力學(xué)、熱力學(xué)和電化學(xué)等基礎(chǔ)物理方程建立了含6個(gè)狀態(tài)變量的PEMFC空氣供給系統(tǒng)的非線性狀態(tài)空間模型,即:

其中,Jcp為空壓機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,u為空壓機(jī)工作電壓,τcm為空壓機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩,τcp為空壓機(jī)負(fù)載力矩,γ為空氣比熱容比,Ra為空氣氣體常數(shù),Vsm為供給管道體積,Tcp為空壓機(jī)流出空氣溫度,Wcp為空壓機(jī)流出空氣流量,Tsm為供給管道流出空氣溫度,Wsm,out為供給管道流出空氣流量,WO2,in為陰極注入氧氣流量,WO2,react(Ist)為電堆反應(yīng)消耗氧氣流量,Ist為負(fù)載電流,WO2,out為陰極流出氧氣流量,WN2,in為陰極注入氮?dú)饬髁?WN2,out為陰極流出氮?dú)饬髁?Tfc為電堆溫度,Vrm為回流管道體積,Wca,out為陰極流出空氣流量,Wrm,out為回流管道流出空氣流量,Ma為空氣摩爾質(zhì)量.

注1.該模型中存在多處推導(dǎo)失誤公式、參數(shù)及誤打的錯(cuò)誤需要修正,詳細(xì)修正內(nèi)容見(jiàn)本文附錄A.

基于方程組(1)和附錄A的修正后,PEMFC空氣供給系統(tǒng)可表示為如下?tīng)顟B(tài)空間方程:

圖1 PEMFC模型結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of PEMFC model

其中,x表示該系統(tǒng)的狀態(tài)向量、其含義如表1所示,PEMFC系統(tǒng)負(fù)載電流Ist視為外界干擾,f(x)、g和d分別為:

其中,ηcm為空壓機(jī)電機(jī)的機(jī)械效率,Kt、Rcm為空壓機(jī)電機(jī)參數(shù),n為單體電池個(gè)數(shù),MO2為氧氣摩爾質(zhì)量,F為法拉第常數(shù).f1(x1,x2)?f6(x4,x5,x6)函數(shù)的具體表達(dá)式見(jiàn)附錄B.

根據(jù)近年來(lái)國(guó)內(nèi)外研究可知,PEMFC系統(tǒng)負(fù)載電流一定時(shí),當(dāng)系統(tǒng)過(guò)氧比λO2達(dá)到理想過(guò)氧比λO2,ref時(shí),系統(tǒng)輸出凈功率為最大值(見(jiàn)圖2).因此,選擇系統(tǒng)輸出方程為:PEMFC系統(tǒng)理想過(guò)氧比λO2,ref可表示為[8]:

表1 PEMFC空氣供給系統(tǒng)狀態(tài)變量Table 1 State variables of PEMFC air supply system

圖2 PEMFC系統(tǒng)負(fù)載電流、過(guò)氧比和輸出凈功率的關(guān)系Fig.2 Power relationship of PEMFC system load current,OER,and output net

結(jié)合式(2)和式(3),PEMFC空氣供給系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式可表示為:

1.2 PEMFC空氣供給系統(tǒng)的精確線性化

本文通過(guò)非線性狀態(tài)和反饋?zhàn)儞Q,對(duì)式(5)的非線性狀態(tài)實(shí)現(xiàn)精確線性化,輸出方程李導(dǎo)數(shù)Lfh(x)、Lgh(x)和Ldh(x)可表示為:

由于Lgh(x)= 0,對(duì)系統(tǒng)繼續(xù)求解李導(dǎo)數(shù).、LgLfh(x)和LdLfh(x)分別表示為:

由上可知PEMFC空氣供給系統(tǒng)相對(duì)階數(shù)為2,小于表達(dá)式(5)所描述的系統(tǒng)階數(shù),方程(5)可轉(zhuǎn)化成以下等價(jià)系統(tǒng):

對(duì)于系統(tǒng)(8),如果ρ(x)、?(x)和?(χ)結(jié)構(gòu)和參數(shù)完全已知,則理想控制律為:

其中,e=ym?y.然而在ρ(x)、?(x)和?(χ)未知情況下,獲得理想控制器(9)是不可能的.在這種情況下,本文設(shè)計(jì)下面II型模糊邏輯系統(tǒng)分別逼近未建模動(dòng)態(tài)ρ(x)、?(x)和?(χ).

2 II型模糊邏輯系統(tǒng)

只要在模糊規(guī)則前件或后件隸屬度函數(shù)中包含二型模糊集(T2-FS),相應(yīng)的模糊系統(tǒng)即稱(chēng)為二型模糊邏輯系統(tǒng)(T2-FLS).本文模糊規(guī)則前件采用二型模糊集(T2-FS),而后件由于采用自適應(yīng)調(diào)節(jié)、選用一型模糊集(T1-FS),該二型模糊系統(tǒng)的降型采用Karnik和Mendel提出的方法(國(guó)際上簡(jiǎn)稱(chēng)KM算法[26]).由于本文所采用的二型模糊系統(tǒng)后件是一型自適應(yīng)模糊集(T1-FS),故在二型模糊系統(tǒng)的降型處理時(shí)僅調(diào)用一次KM算法、從而提高了算法在線實(shí)時(shí)計(jì)算效率.

圖3 二型模糊集合的各元素Fig.3 Various elements of type-2 fuzzy set

定義1[27?29].一個(gè)二型模糊集合(見(jiàn)圖3)可以表示為一個(gè)二型隸屬函數(shù)(x,u),其中,x∈X,u∈Jx?[0,1],即:

也可表示下面形式:

其中,x為主變量,u為次變量,Jx?[0,1]為主隸屬度,為次隸屬度,表示所有可允許x與u之并.由于本文采用的是區(qū)間二型模糊集,取.針對(duì)上面二型模糊集合的定義,其不確定覆蓋域(Footprint of uncertainty,FOU)定義如下:

注2.上面Mendel對(duì)二型模糊集合和不確定覆蓋域的定義,被國(guó)外絕大部分文獻(xiàn)采用.但我國(guó)學(xué)者莫紅和王飛躍教授認(rèn)為此定義有欠缺,對(duì)二型模糊集合和不確定覆蓋域(FOU)進(jìn)行了新定義.文獻(xiàn)[30]認(rèn)為一個(gè)二型模糊集合的不確定覆蓋域(FOU)為論域上每一點(diǎn)與在該點(diǎn)的主隸屬度的笛卡爾積之并,也就是:如果從數(shù)學(xué)角度看,式(13)比式(12)更嚴(yán)謹(jǐn).假設(shè)按照式(12)計(jì)算FOU,結(jié)果可能是一個(gè)區(qū)間,而非Mendel所想表達(dá)的圖3陰影面積.造成這種的原因可能是Mendel先預(yù)設(shè)定了不確定覆蓋域(FOU),然后用符號(hào)表示累加移動(dòng)的意思,而非傳統(tǒng)意義上的并運(yùn)算.本文不確定覆蓋域(FOU)的計(jì)算按照式(13),或者用式(12)計(jì)算、但符號(hào)表示累加移動(dòng)的意思.

在上面二型模糊集合定義后,考慮n輸入單輸出的Mamdani區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng),其中輸入xi∈Xi,輸出y∈Y,i=1,···,n.假設(shè) IT2-FLS中包含如下M條模糊規(guī)則:

步驟1.對(duì)于某條規(guī)則,計(jì)算輸入向量x的激活區(qū)間:

步驟2.對(duì)于某條規(guī)則,輸出變量y的最大隸屬度所對(duì)應(yīng)的值為:

步驟3.在前件的激活區(qū)間和后件的輸出Θj計(jì)算后,基于KM算法的降型可表示如下:

其中,[yl,yr]為用KM算法得到的輸出區(qū)間.

步驟4.加權(quán)平均反模糊化后,可將上面的IT2-FLS簡(jiǎn)化成下面基函數(shù)的形式:

其中, Θ = [Θ1,···,ΘM]T為二型模糊系統(tǒng)的自適應(yīng)參數(shù)向量,二型模糊系統(tǒng)的左基函數(shù)為二型模糊系統(tǒng)的右基函數(shù)為

3 自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于系統(tǒng)(8),在ρ(x)、?(x)和?(χ)未知情況下,用前文式(18)分別對(duì)ρ(x)、?(x)和?(χ)進(jìn)行在線逼近,新的控制器為:

定義本文二型模糊邏輯系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)向量Θ?和對(duì)應(yīng)的逼近誤差ω分別為:

應(yīng)用式(19)到式(8)并結(jié)合上面的定義,經(jīng)過(guò)幾步直接的運(yùn)算后,可得如下的跟蹤誤差方程:

定理1.對(duì)于系統(tǒng)(8)在狀態(tài)變量和負(fù)載電流可測(cè)的條件下,相應(yīng)的控制器為式(19),Θρ、Θ?和Θ?的自適應(yīng)律為式(24)～(26):

其中,投影算子Pρ[·]可表示為:

其中,投影算子P?[·]可表示為:

其中,投影算子P?[·]可表示為:

其中,γ1、γ2和γ3為正常數(shù),Mρ、M?和M?為系統(tǒng)約束集,P=PT為滿足下面的Lyapunov方程:

那么跟蹤誤差e是一致最終有界的.

證明.取Lyapunov函數(shù)為:

其中,P=PT.微分(28)可推出:

基于式(23)和式(27),可以得到:

上式經(jīng)簡(jiǎn)單整理可得:

由于矩陣P和矩陣Q為正定矩陣,特征值均大于零,那么以上方程滿足:

其中,ω0為逼近誤差ω的界,λmin(Q)為矩陣Q的最小特征值,λmax(P)為矩陣P最大特征值.

由Lyapunov理論可知,只要誤差項(xiàng)大于方程式(34)的右邊項(xiàng),那么跟蹤誤差就會(huì)減小.這也說(shuō)明跟蹤誤差的有界性,即:

由式(35)的可知,該系統(tǒng)的跟蹤誤差大小取決于系統(tǒng)逼近誤差的界ω0.由萬(wàn)能逼近特性可知,自適應(yīng)模糊系統(tǒng)的建模誤差是能保證一定的精度.

4 仿真結(jié)果與分析

把本文所提出的基于II型模糊邏輯系統(tǒng)的自適應(yīng)控制器用于圖1所示的PEMFC空氣供給系統(tǒng)的過(guò)氧比控制仿真.本文設(shè)計(jì)的控制器不需要模型參數(shù)已知的條件,只是在控制仿真驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)時(shí)、被控對(duì)象模型需用文獻(xiàn)[5]中的模型參數(shù).PEMFC空氣供給系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:

在控制器設(shè)計(jì)中,為了方便二型模糊集合統(tǒng)一描述和編程,用統(tǒng)一向量x表示.對(duì)于控制器(19)中的(x)和(x),設(shè)向量x=[x1,···,x6]T;對(duì)于(χ),設(shè)向量x=χ=[x1,···,x7]T.

步驟1.建立二型模糊邏輯系統(tǒng)

前提變量xi經(jīng)歸一化處理后、取5個(gè)如圖 4所示的二型模糊集合,用來(lái)表示,其相應(yīng)的高斯隸屬度函數(shù)選擇如下:依據(jù)前文第2節(jié)的步驟1～步驟4可建立二型模糊邏輯系統(tǒng)、和.

步驟2.仿真參數(shù)選擇

在仿真中,被控對(duì)象的模型參數(shù)按照文獻(xiàn)[5]的附錄D和E選取;而本文控制器的參數(shù)選擇采用反復(fù)湊試法、直至出現(xiàn)滿意的響應(yīng).狀態(tài)變量的初始值基于文獻(xiàn)[7]選取為x(0)=[5.4×103,1.5×105,3×10?2,1×10?3,8×10?3,1.25×105];湊試自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)γ1=102、γ2=10和γ3=102,約束集取Mρ=104、M?=102和M?=103.取k1=60,k2=800,選取正定對(duì)稱(chēng)矩陣,解Lyapunov方程(27)可得為一正定對(duì)稱(chēng)矩陣.

圖4 二型模糊系統(tǒng)隸屬度函數(shù)Fig.4 Membership function of IT2 fuzzy system

步驟3.第一種負(fù)載電流情況的仿真

為了驗(yàn)證基于II型模糊系統(tǒng)的自適應(yīng)控制有效性,首先選取國(guó)際文獻(xiàn)中常用圖5(a)所示的負(fù)載電流進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).

由式(4)可知,該電流對(duì)應(yīng)的參考過(guò)氧比或者理想過(guò)氧比λO2,ref如圖5(b)實(shí)線所示.PEMFC系統(tǒng)過(guò)氧比λO2跟蹤曲線與跟蹤誤差e曲線分別如圖5(b)虛線和圖5(c)所示,圖5(d)為輸入工作電壓.由圖5(b)可知,在圖5(a)負(fù)載電流工況下,基于II型模糊系統(tǒng)的自適應(yīng)控制器能保證系統(tǒng)過(guò)氧比λO2很好地跟蹤理想過(guò)氧比λO2,ref.由圖5(c)可知,該控制器可保證跟蹤誤差一致最終有界,從而保證了系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能與穩(wěn)定性能.

步驟4.第二種負(fù)載電流情況的仿真

為了進(jìn)一步驗(yàn)證基于II模糊系統(tǒng)的自適應(yīng)控制器的魯棒性,將第一種電流切換到圖6(a)所示頻繁變化的負(fù)載電流再次仿真實(shí)驗(yàn).PEMFC系統(tǒng)過(guò)氧比λO2跟蹤曲線與跟蹤誤差e曲線分別如圖6(b)和圖6(c)所示,圖6(d)為輸入工作電壓.由圖6(b)可知,在6(a)所示的變化頻繁的負(fù)載電流工況下,基于II型模糊系統(tǒng)的自適應(yīng)控制器同樣可實(shí)現(xiàn)對(duì)PEMFC空氣供給系統(tǒng)的合理控制,使得系統(tǒng)過(guò)氧比λO2也能很好地跟蹤理想過(guò)氧比λO2,ref.由圖6(c)可知,在該控制器作用下,跟蹤誤差也取得了一致最終有界性,從而保證了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性與魯棒性.

圖5 第一種電流情況下的控制器仿真結(jié)果Fig.5 The simulation results of controller in current case 1

圖6 第二種電流情況下的控制器仿真結(jié)果Fig.6 The simulation results of controller in current case 2

步驟5.不確定參數(shù)的對(duì)比仿真

為了進(jìn)一步驗(yàn)證基于II模糊系統(tǒng)的自適應(yīng)控制器的自適應(yīng)特性,將仿真模型中的原始電堆溫度Tst=80?C 切換到Tst=75?C.在原始溫度Tst=80?C時(shí),采用精確線性化控制器(見(jiàn)附錄C)所獲得的過(guò)氧比λO2跟蹤曲線和跟蹤誤差e曲線分別如圖7(a)和圖7(b)所示,從圖7可知系統(tǒng)獲得較好的跟蹤效果.在控制器參數(shù)不變的情況下,將模型中的原始溫度Tst=80?C切換到Tst=75?C時(shí),圖8(a)和圖8(b)是精確線性化控制器作用下所獲得的跟蹤效果、而圖8(c)和圖8(d)是本文控制器作用下所獲得的跟蹤效果.圖8(a)和(b)相比于圖7(a)和(b)說(shuō)明精確線性化控制器在模型參數(shù)存在不確定的情況下、控制效果變差,而圖8(c)和(d)說(shuō)明本文所設(shè)計(jì)的控制器即使存在參數(shù)不確定,也能獲得良好的自適應(yīng)性能.

圖7 在Tst=80?C時(shí)精確線性化控制器的仿真結(jié)果Fig.7 The simulation results of exact linearization controller when Tst=80?C

圖8 在Tst=75?C時(shí)精確線性化控制器和本文所建議控制器的對(duì)比仿真結(jié)果Fig.8 The simulation results of exact linearization controller and proposed controller when Tst=75?C

5 結(jié)論

本文針對(duì)PEMFC空氣供給系統(tǒng)難以實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)建模,從而造成控制器的設(shè)計(jì)和系統(tǒng)穩(wěn)定性分析比較復(fù)雜這一難題.提出基于Lyapunov穩(wěn)定性的自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì),其中采用二型自適應(yīng)模糊系統(tǒng)在線逼近PEMFC系統(tǒng)中的未建模動(dòng)態(tài),并從Lyapunov函數(shù)中導(dǎo)出自適應(yīng)參數(shù),從而保證了跟蹤誤差的有界性.從仿真中得出采用該控制器不但可以獲得良好的跟蹤性能,而且具有良好的穩(wěn)定性、魯棒性與自適應(yīng)特性.進(jìn)一步的工作是在條件成熟的情況下,將本文的控制方法應(yīng)用到實(shí)際中.

附錄A 模型修正

注A1.文獻(xiàn)[5]中存在一些明顯打印錯(cuò)誤的地方:1)在表A1中,從原公式的右邊表達(dá)式顯然可知注入陰極氧氣流量WO2,in(x2,x3,x4)和注入陰極氮?dú)饬髁縒N2,in(x2,x3,x4)是變量x2,x4和x5的函數(shù)、而非x2,x3和x4的函數(shù),故公式左邊需修改成WO2,in(x2,x4,x5)和WN2,in(x2,x4,x5),而方程右邊可能是推導(dǎo)失誤.2)文獻(xiàn)[5]中的狀態(tài)方程(3)中的Jcm符號(hào)不存在,由該文的附錄A可知應(yīng)是Jcp.3)另外,文獻(xiàn)[5]狀態(tài)方程(3)中的應(yīng)是.4)在文獻(xiàn)[5]中的B?B沒(méi)有定義且該文也沒(méi)4345有用到,但上表中的流出陰極空氣流量卻用到B46?B49且在該文附錄F中也沒(méi)有此定義、應(yīng)是B1?B42當(dāng)中的某些量,顯然是誤寫(xiě).

下面對(duì)以上面第一個(gè)表達(dá)式注入陰極氧氣流量WO2,in(x2,x4,x5)為例說(shuō)明其修正過(guò)程:

由文獻(xiàn)[7]可知,WO2,in(x2,x4,x5)可表示為:

其中,XO2,ca,in為注入陰極空氣中的氧氣質(zhì)量分?jǐn)?shù),Wa,ca,in(x2,x4,x5)為注入陰極干燥空氣流量,ωca,in(x2)為注入陰極空氣的濕度,Wca,in(x2,x4,x5)為注入陰極空氣流量.首先,XO2,ca,in和ωca,in(x2)可分別表示為:

其中,MO2、MN2和Mv分別為氧氣、氮?dú)夂退魵獾哪栙|(zhì)量,yO2,ca,in為注入陰極空氣中氧氣的摩爾質(zhì)量分?jǐn)?shù),pv,ca,in和pa,ca,in(x2)分別為注入陰極的水蒸氣壓強(qiáng)和干燥空氣的壓強(qiáng).接下來(lái),pv,ca,in和pa,ca,in(x2)可分別表示為:

其中,φca,in為注入陰極空氣的相對(duì)濕度,psat,Tcl為經(jīng)冷卻處理后水蒸氣的飽和壓強(qiáng),pv,sm(x2)為供給管道內(nèi)水蒸氣壓強(qiáng),p?,hm為加濕處理后的水蒸氣壓強(qiáng)與注入陰極的水蒸氣壓強(qiáng)之差.再有,pv,sm(x2)和p?,hm可分別表示為:

其中,patm、φatm和psat,Tatm分別為標(biāo)準(zhǔn)狀況下空氣壓強(qiáng)、空氣的相對(duì)濕度和空氣中水蒸氣飽和壓強(qiáng),φdes為加濕處理后的空氣相對(duì)濕度.

由文獻(xiàn)[7](在文獻(xiàn)[5]中的參考文獻(xiàn)[35])可知,注入陰極空氣流量Wca,in(x2,x4,x5)可表示為:

其中,Wa,hm(x2,x4,x5)和Wv,hm(x2,x4,x5)分別為加濕處理后干燥空氣流量與水蒸氣流量,可分別表示為:

表A1 原公式和修正后公式的對(duì)比Table A1 Comparison of original formulas and revised formulas

其中,ωsm(x2)為供給管道內(nèi)空氣濕度,Wsm,out(x2,x4,x5)為流出供給管道的空氣流量,可分別表示為:

其中,Ksm,out為供給管道孔口常數(shù),pca(x4,x5)為陰極壓強(qiáng).pca(x4,x5)可表示為:

其中,pv,ca、pO2,ca(x4)和pN2,ca(x5)分別為陰極內(nèi)水蒸氣、氧氣和氮?dú)鈮簭?qiáng),RO2和RN2分別為氧氣和氮?dú)獾臍怏w常數(shù),Vca為陰極體積.

運(yùn)用式(A2)～(A7)到式(A1),經(jīng)簡(jiǎn)單整理后可得注入陰極氧氣的流量WO2,in(x2,x4,x5)為:

結(jié)合文獻(xiàn)[5]附錄C中e(x2)、k(x2)函數(shù)的定義和附錄F常量B32～B39的定義,式(A8)可表示為:

由于篇幅原因,其余公式更正過(guò)程不再贅述.

附錄B 狀態(tài)空間函數(shù)

其中,在參考文獻(xiàn)[5]中的函數(shù)Tcp(x2),Wcp(x1,x2),Tsm(x2,x3),Wsm,out(x2,x4,x5),WN2,out(x2,x4,x5)和Wrm,out(x6)的推導(dǎo)與整理均正確無(wú)誤.但函數(shù)WO2,in(x2,x4,x5),WO2,out(x4,x5,x6),

WN2,in(x2,x4,x5),τcm(u,x1),τcp(x1,x2)和Wca,out(x4,x5,x6)的推導(dǎo)與整理存在錯(cuò)誤.本文結(jié)合文獻(xiàn)[7]中的基本物理方程對(duì)以上錯(cuò)誤函數(shù)進(jìn)行復(fù)合修正與整理,修正結(jié)果見(jiàn)前面的附錄A.

附錄C 精確線性化控制器求解

仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)需要用到精確線性化控制器.由于系統(tǒng)模型的復(fù)雜性、很難手工求解,為此需要借助軟件計(jì)算工具求解.精確線性化控制器中的ρ(x)、?(x)和?(χ)函數(shù)可用Matlab軟件中的mupad工具箱求解,其計(jì)算過(guò)程指令如下:

步驟1.在Matlab命令窗口輸入“mupad”指令、打開(kāi)mupad工具箱,結(jié)合本文與文獻(xiàn)[5]附錄將正確的和h(x)函數(shù)編寫(xiě)到mupad工作空間.

步驟2.首先通過(guò)以下微分指令函數(shù),求解式(6)中Lfh(x)和Ldh(x),即:

步驟3.接下來(lái)通過(guò)以下微分指令函數(shù),求解式(7)中,即:

其中,g1和d4為向量g和d的分量.

步驟4.文獻(xiàn)[11]認(rèn)為實(shí)際中的Ist電流是緩慢變化的、可視作常數(shù)處理,用以下微分指令求解Ldh(x)關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),即:

步驟5.最后綜合步驟1到步驟4,精確線性化控制器中的ρ(x)、?(x)和?(χ)函數(shù)表達(dá)式可表示如下: