張莉 袁安鋒 易瑾

摘 ? 要：本文以美國亞利桑那州立大學(xué)與北京聯(lián)合大學(xué)為例，通過對比分析線性代數(shù)課程的課程設(shè)置、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程、師資力量以及考核方式等方面，揭示了兩者之間的不同與相同之處以及美國線性代數(shù)課程的優(yōu)點(diǎn)，借此促進(jìn)我國線性代數(shù)課程建設(shè)和教學(xué)改革。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù) ?教學(xué)過程 ?比較研究

中圖分類號：O151.2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2019）02（a）-0210-02

線性代數(shù)課程是國內(nèi)外高等院校一門重要的基礎(chǔ)課，不僅是數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，也是經(jīng)管專業(yè)，農(nóng)醫(yī)專業(yè)，計(jì)算機(jī)專業(yè)等的一門重要的公共基礎(chǔ)數(shù)學(xué)類課程。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，用線性代數(shù)的方法解決實(shí)際問題已經(jīng)滲透到現(xiàn)代科學(xué)、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、管理等各個領(lǐng)域，尤其是計(jì)算機(jī)、通信、電子等領(lǐng)域。這門課程已經(jīng)從一門抽象的理論學(xué)科發(fā)展成為其它學(xué)科的基礎(chǔ)，它對培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、解決實(shí)際問題的能力以及學(xué)習(xí)后繼專業(yè)課程都有著重要的作用。現(xiàn)如今，雖然必修這門課程的學(xué)生絕大多數(shù)已是非數(shù)學(xué)系的，但它卻仍然沿用以前為數(shù)學(xué)系設(shè)計(jì)的課程大綱，矩陣模型及相關(guān)的計(jì)算機(jī)使用被極度忽視。非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生對這門課的反映是抽象、冗繁、枯燥、不知何用，“有用的不教，教了的沒用”。

國內(nèi)外線性代數(shù)課程的教學(xué)都具有比較悠久的歷史，但由于文化背景、科技發(fā)展等差異，導(dǎo)致在教學(xué)上有所不同。筆者一直從事線性代數(shù)課程的教學(xué)工作，并且曾經(jīng)作為訪問學(xué)者前往美國亞利桑那州立大學(xué)訪問學(xué)習(xí)。亞利桑那州立大學(xué)是美國學(xué)生人數(shù)最多的大學(xué)之一?，F(xiàn)有在校本科生、研究生及職業(yè)學(xué)生8萬多名，共擁有22個學(xué)院，2016年及2017年，該校連續(xù)兩年被U.S. News & World Report 評為美國最具創(chuàng)新力大學(xué)。在訪問學(xué)習(xí)期間，筆者深入了解該校線性代數(shù)課程的教學(xué)過程，并與國內(nèi)的線性代數(shù)課程的教學(xué)進(jìn)行了比較分析。本文對美國亞利桑那州立大學(xué)的線性代數(shù)課程與北京聯(lián)合大學(xué)的線性代數(shù)課程從課程設(shè)置、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程、考核方式等方面做了一些比較分析，并且為國內(nèi)線性代數(shù)課程的教學(xué)改革提供理論依據(jù)。

1 ?課程設(shè)置的比較

在北京聯(lián)合大學(xué)，工科類專業(yè)以及經(jīng)管類專業(yè)均開設(shè)了線性代數(shù)課程，具體開設(shè)的課程有《線性代數(shù)》（3學(xué)分）、《線性代數(shù)（I）》（2學(xué)分）、《線性代數(shù)（II）》（2學(xué)分），每個班級一般60人左右，《線性代數(shù)》（3學(xué)分）、《線性代數(shù)（I）》（2學(xué)分）一般在一年級下學(xué)期開設(shè)，屬于必修課程，而《線性代數(shù)（II）》（2學(xué)分）在三年級下學(xué)期開設(shè)，學(xué)生可以根據(jù)自己的學(xué)習(xí)需求情況進(jìn)行選修。在亞利桑那州立大學(xué)的春季、夏季、秋季學(xué)期，每個學(xué)期均會開設(shè)線性代數(shù)課程。根據(jù)專業(yè)的不同，課程的設(shè)置也存在著差異。只要是在校學(xué)生均可以選修線性代數(shù)基礎(chǔ)，同時，還開設(shè)了《線性代數(shù)應(yīng)用》、《線性代數(shù)與凸優(yōu)化》、《工程學(xué)中的線性代數(shù)》等，滿足了學(xué)生的不同需求。一般一次課是50min或者75min，一周兩次課，課程不同，班級人數(shù)也不同。另一方面，除了理論課，《線性代數(shù)應(yīng)用》還有相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)課，實(shí)驗(yàn)課一周一次，小班教學(xué)。學(xué)生可以根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況、專業(yè)情況確定上課時間以及學(xué)習(xí)的課程。

從課程設(shè)置上看，北京聯(lián)合大學(xué)的線性代數(shù)課程涉及到的專業(yè)較廣，包括旅游學(xué)院，管理學(xué)院，機(jī)器人學(xué)院等幾乎所有的學(xué)院均開設(shè)了此門課程，體現(xiàn)了該門課程的基礎(chǔ)性與重要性。亞利桑那州立大學(xué)的線性代數(shù)課程設(shè)置比較多樣化。在進(jìn)行課程設(shè)置時也考慮了專業(yè)的不同需求，學(xué)生可以根據(jù)自己的專業(yè)特點(diǎn)以及個人興趣進(jìn)行選課。

2 ?課程教材與教學(xué)內(nèi)容的比較

北京聯(lián)合大學(xué)線性代數(shù)課程使用的是同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的國家級規(guī)劃教材《線性代數(shù)（第六版）》。這本教材的編排緊湊，條理清楚，邏輯推理嚴(yán)密，教師易于安排教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生易于從整體上把握線性代數(shù)的基本理論和方法。3學(xué)分的線性代數(shù)共有48學(xué)時，主要講授行列式、矩陣及其運(yùn)算、矩陣的初等變換與線性方程、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣及二次型等。《線性代數(shù)（I）》主要介紹一些關(guān)于行列式、矩陣、線性方程的基本知識，而《線性代數(shù)（II）》則是《線性代數(shù)（I）》的后繼學(xué)習(xí)，是在學(xué)生初步掌握這門課的理論與方法的基礎(chǔ)上的再提高，為學(xué)生進(jìn)一步深造提供必要的知識和能力儲備。

在亞利桑那州立大學(xué)，線性代數(shù)課程的大部分的教學(xué)內(nèi)容主要是任課教師根據(jù)教材《線性代數(shù)及其應(yīng)用》（David C. Lay編）而定的。這本教材包括取材廣泛的應(yīng)用案例，涉及到工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)等眾多學(xué)科。課后的習(xí)題量也比較大，除了常規(guī)的計(jì)算題，證明題，還有應(yīng)用題。在教學(xué)過程中，任課教師根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)、專業(yè)課程的進(jìn)度安排授課的內(nèi)容。由于線性代數(shù)這門課程的計(jì)算量比較大，教師在任課過程中不提倡將主要精力花費(fèi)在計(jì)算上。并且在《線性代數(shù)及其應(yīng)用》這本教材的配套CD中包括常用的數(shù)學(xué)軟件，工具（Maple， Mathematica， TI，HP圖形計(jì)算器）的使用方法，也提供了教材中全部數(shù)值計(jì)算的數(shù)據(jù)，從而大大節(jié)省了計(jì)算時間，使學(xué)生能夠把主要精力放在基本概念的理解與算法上。在線性代數(shù)課程的實(shí)驗(yàn)課上，學(xué)生可以利用所學(xué)習(xí)的線性代數(shù)知識以及數(shù)學(xué)軟件解決一些實(shí)際問題。

從教學(xué)內(nèi)容上，相對而言，北京聯(lián)合大學(xué)的教學(xué)更偏重于理論教學(xué)，難度較深。在教學(xué)過程中，不僅涉及到計(jì)算，也涉及到證明，可以鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力與數(shù)學(xué)分析能力。亞利桑那州立大學(xué)的線性代數(shù)課程的教學(xué)比較偏重于實(shí)踐教學(xué)，學(xué)生只要掌握住基本的概念與算法，大量的計(jì)算都是依靠計(jì)算機(jī)完成。如四階行列式的計(jì)算，在國內(nèi)，學(xué)生是要手算，將其一步一步地化成上三角或者下三角行列式，然后再進(jìn)行計(jì)算，但是在亞利桑那州立大學(xué)，這個的計(jì)算由學(xué)生使用數(shù)學(xué)軟件完成。

3 ?教學(xué)過程的比較

開學(xué)初的第一次課，都比較相似。一般情況下，任課教師會進(jìn)行自我介紹，包括聯(lián)系方式、辦公地點(diǎn)、答疑輔導(dǎo)時間、本學(xué)期的教學(xué)大綱、進(jìn)度安排、學(xué)習(xí)要求、作業(yè)要求、課堂要求、考核要求等。

北京聯(lián)合大學(xué)的線性代數(shù)課程的教學(xué)，主要采用傳統(tǒng)的授課方式——講授式教學(xué)，以教師為主體，主要依靠教師的講解。在教學(xué)過程中，一般是多媒體計(jì)算機(jī)與板書相結(jié)合，主要的定理以及例題都放在PPT里，對其的講解過程采用黑板板書，注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和抽象思維能力。教師在教學(xué)中，講課深入淺出，條理清楚，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，一般先復(fù)習(xí)上一次課程的主要知識點(diǎn)，然后再講授此次課程的內(nèi)容。由于教學(xué)計(jì)劃的安排，每一次課堂的教學(xué)內(nèi)容都比較多。

在亞利桑那州立大學(xué)，大多數(shù)線性代數(shù)任課教師也是采用多媒體計(jì)算機(jī)與黑板板書相結(jié)合的形式教學(xué)。但是在教學(xué)中，一般遵循著提出問題-解決問題-得出結(jié)論的過程，通過數(shù)形結(jié)合的方法對概念，定理進(jìn)行講解，讓學(xué)生對所學(xué)習(xí)的知識與方法進(jìn)行思考，鼓勵學(xué)生主動解決問題。在教學(xué)過程中，經(jīng)常對班級的學(xué)生進(jìn)行分組，每個小組合作完成一個關(guān)于課堂知識點(diǎn)的項(xiàng)目。在課堂上，學(xué)生自己走上講臺，將解決問題的方法與結(jié)論介紹給同學(xué)，其他同學(xué)再對此提出問題。同時，在授課過程中，教師注重對知識點(diǎn)的應(yīng)用，因此，這也極大調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

從教學(xué)過程來看，兩者有很大的差異。在亞利桑那州立大學(xué)，線性代數(shù)課程中定理的證明以及計(jì)算所占的比重不大，學(xué)生可以在課下通過自學(xué)學(xué)習(xí)嚴(yán)格的理論證明。這樣既培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考的能力，也增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)的自學(xué)能力。另一方面，通過分組討論，進(jìn)行編程、建模，也培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)際動手能力與團(tuán)隊(duì)合作精神。學(xué)生通過所學(xué)習(xí)的理論知識，進(jìn)行解決實(shí)際問題，成為真正的“用數(shù)學(xué)者”。

4 ?師資方面的比較

北京聯(lián)合大學(xué)的線性代數(shù)課程的任課教師都是數(shù)學(xué)專業(yè)、學(xué)歷為碩士研究生或者博士研究生的畢業(yè)生，在數(shù)學(xué)方面都有一定的深入研究，并且都具有高校教師資格證。新教師在正式走上講臺之前都經(jīng)過各種培訓(xùn)學(xué)習(xí)。在亞利桑那州立大學(xué)，一般任課教師也是由教授、副教授、講師組成，但是，在讀的研究生以及辦公室人員也可以承擔(dān)部分課程。學(xué)校也會短期或者長期通過支付一定薪酬的方式招聘一些畢業(yè)生或者其他學(xué)校的教師擔(dān)任此課程的任課教師。兩所學(xué)校對任課教師的要求都比較高。任課教師要有較高的教學(xué)能力，承擔(dān)教學(xué)的研究生對所講授的內(nèi)容要有很好的理解與把握，能夠解答教學(xué)中可能出現(xiàn)的來自學(xué)生所遇到的各種疑惑和提出的各種問題。

5 ?考核方式的比較

北京聯(lián)合大學(xué)的線性代數(shù)課程的最終成績由兩部分構(gòu)成：平時成績與期末考試成績。其中，平時成績占總評成績的50%，包括作業(yè)成績、考勤成績、小測成績、期中成績、讀書筆記等;期末考試成績占50%。亞利桑那州立大學(xué)的線性代數(shù)課程的考核也是由第一次小測驗(yàn)、第二次小測驗(yàn)、期中成績、期末成績以及隨堂小測、平時作業(yè)成績、論文成績、小組研討等構(gòu)成。從考核方式看，兩者都注重對學(xué)生平時學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，注重考核的過程化管理。其中，北京聯(lián)合大學(xué)的作業(yè)是每一節(jié)課都會布置，而且要求大家獨(dú)立完成，一般以筆算為主。但是亞利桑那州立大學(xué)的作業(yè)鼓勵團(tuán)隊(duì)合作，使用數(shù)學(xué)軟件，然后在下次上課之前可以由代表上臺講解。亞利桑那州立大學(xué)的成績構(gòu)成比較多樣化，注重學(xué)生的全面發(fā)展。

6 ?結(jié)語

通過對比兩所學(xué)校的線性代數(shù)課程的教學(xué)，亞利桑那州立大學(xué)的一些教學(xué)方法是值得我們借鑒的。我們應(yīng)該構(gòu)建有區(qū)別的線性代數(shù)課程體系，課程設(shè)置應(yīng)該更加多樣化，以適應(yīng)學(xué)生的不同需求與差異性。在授課過程中，注重形式的多樣性，課堂內(nèi)容多與專業(yè)相結(jié)合，借助軟件平臺，提升學(xué)生的創(chuàng)新思維與綜合素質(zhì)的培養(yǎng)，注重促進(jìn)學(xué)生興趣與專業(yè)的發(fā)展，學(xué)以致用。

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