章旭暉 沈雷 帥濤
摘 要:針對高斯隨機信號在傳統(tǒng)時延估計算法估計下出現(xiàn)性能下降的問題,提出一種基于最小二乘樣本擬合的時延估計算法。首先給出互相關(guān)的代價函數(shù),利用sinc內(nèi)插公式采用有限數(shù)量的樣本估計相關(guān)數(shù)值,再通過最小二乘(LS)準(zhǔn)則最小化其代價函數(shù)求出估計值,該估計值接近于無偏。給出算法的克拉美羅下界(CRLB)表達式,并將該算法與互相關(guān)算法、基于最小均方誤差(MMSE)的算法進行性能比較。理論分析與實驗結(jié)果表明,所提出的基于最小二乘樣本擬合的算法性能優(yōu)于互相關(guān)算法與基于MMSE的算法,并且能更好地逼近克拉美羅下界值。
關(guān)鍵詞:時延估計;高斯隨機信號;最小二乘準(zhǔn)則;內(nèi)插公式;克拉美羅下界
DOI:10. 11907/rjdk. 181867
中圖分類號:TP393文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1672-7800(2019)002-0161-04
Abstract: Aiming at the problem of performance degradation of Gaussian random signal estimated in traditional delay estimation algorithm, a delay estimation algorithm based on least-squares sample fitting is proposed. Firstly, the cross-correlation cost function was given. The sinc interpolation formula was used to estimate the relevant data values with a limited number of samples. Then the least-squares (LS) criterion was used to minimize the cost function and the unbiased estimation value was obtained. The expression of Cramer-Rao Lower Bound (CRLB) of the algorithm was given, and the performance of the algorithm was compared with the cross-correlation algorithm and the minimum mean square error (MMSE) algorithm. Theoretical analysis and experimental results provide an explanation. The proposed algorithm based on least-square fitting is better than the cross-correlation algorithm and the MMSE algorithm can be asymptotically closer to the Cramer-Rao lower bound.
Key Words: time-delay estimation;Gaussian random signal;least squares criterion;interpolation formula;Cramer-Rao lower bound
0 引言
TDE(Time-Delay Estimation,時延估計)是對空間接收到的兩個或更多信號的時間延遲進行估計,其在航空航天[1-2]、聲吶[3-4]、GPS定位[1-2,7]與生物醫(yī)學(xué)[5-7]等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。在不同環(huán)境條件下,使用的時延估計方法也不同。常用的時延估計方法有互相關(guān)法[1]、高階統(tǒng)計量法[7]、基于MMSE(Minimum Mean Square Error,最小均方誤差)的估計法等。如今信號處理方法經(jīng)過不斷發(fā)展,將各種算法[8-10]應(yīng)用于時延估計中,提高了時延估計精度,減小了計算量,且提高了收斂速度。當(dāng)發(fā)射信號為線性調(diào)頻[11-12]信號或正弦信號等簡單信號時,通過互相關(guān)法[12-15]可以逼近最佳時延估計性能,且在一定信噪比條件下,均方誤差(MSE)能夠逼近CRLB(Cramer-Rao Lower Bound,克拉美羅下界);高階統(tǒng)計量[16-17]的時延估計方法適用于信號為非高斯信號的情況,因為高斯噪聲的三階及以上的相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)恒為零,但該算法運算量較大。對于高斯信號而言,例如在窄帶雷達體制下,目標(biāo)回波近似服從高斯分布[18],但因為高斯信號具有隨機性,若使用互相關(guān)算法會導(dǎo)致性能下降,且基于MMSE的算法進行內(nèi)插估計時并未進行樣本擬合最小化,從而導(dǎo)致算法性能較差,無法很好地逼近克拉美羅下界。
本文提出針對高斯隨機信號的時延估計算法,通過將互相關(guān)函數(shù)利用sinc內(nèi)插公式進行變換,再利用LS(Least Squares,最小二乘)進行樣本擬合,使其代價函數(shù)最小化,得到接近于無偏的估計值,并將其與互相關(guān)算法、基于MMSE的算法進行仿真比較。在時延估計問題中常采用克拉美羅下界(CRLB)作為估計性能的極限, 即作為時延估計有效性的一種度量,而改進算法的估計性能可以漸近地達到CRLB。
1 基于最小二乘樣本擬合的時延估計算法
本文研究的主要問題即估計兩個接收信號之間的到達時延值。首先建立被動時延估計模型,在離散時間條件下表達式為:
其中[sn]是隨機高斯信號,[α]是衰減常數(shù),[D]是需要估計的時延量,[N]是采樣點個數(shù),而[z1n]與[z2n]是均值為零且互不相關(guān)的白噪聲過程,[sn]、[z1n]、[z2n]對應(yīng)方差分別為[σ2s]、[σ2z1]和[σ2z2]。
信號[x1n]與信號[x2n]的互相關(guān)函數(shù)[R2,1(τ)]可表示為:
將式(1)、式(2)代入式(3)中,其中[sn]、[z1n]和[z2n]互不相關(guān),得:
根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)[τ=D]時,[R2,1(τ)]取最大值,求得[R2,1(τ)]最大值所對應(yīng)的[τ]為信號[x1n]與[x2n]之間的時延[D]。但由于實際上是用有限樣本數(shù)進行估計,以及環(huán)境中存在噪聲等因素,互相關(guān)函數(shù)可能找不到一個準(zhǔn)確峰值,因此提出以下改進算法。
首先根據(jù)MMSE準(zhǔn)則,可求得其代價函數(shù):
其中[α]、[D]是[α]與[D]的最優(yōu)變量,假設(shè)[α∈R]。
將代價函數(shù)[TM(D)]展開,并取其中的互相關(guān)部分,可得:
式(6)對應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)[R2,1(D)∈R],計算[x2n]與[x1[n-D]]之間的相似性,得到[x1n]與[x1[n-D]]之間的關(guān)系,利用sinc內(nèi)插公式[19]:
將式(6)代入[D=argmaxR2,1(D)],即找出互相關(guān)函數(shù)對應(yīng)的峰值點,而在實際中是基于有限個樣本進行估計,[R2,1(D)]是一個估計量。因此,代入內(nèi)插公式(7)可得:
因此,代價函數(shù)可表示為:
在有限樣本[P]的數(shù)值條件下,對代價函數(shù)進行改進,利用最小二乘(LS)準(zhǔn)則擬合方法,將[TDM(D)]最小化可得[TDM1(D)]。
式(11)中的[β]為[β]的最優(yōu)變量。對式(11)求關(guān)于[β]的一階導(dǎo)數(shù):
將式(12)中右式置為零,則能夠用[D]表示[β],即:
將式(13)代入式(11)求解得到加入最小二乘準(zhǔn)則改進的代價函數(shù)為:
該代價函數(shù)下的估計值D_L為:
得到估計值后,需要驗證所得估計為無偏估計。首先,求[TDL(D)]的一階導(dǎo)數(shù)前,需要先得到[(T'DM(D))2]的期望值為非零常數(shù)。
當(dāng)[D=D]時,[(T'DM(D))2]期望值為:
即符合無偏估計條件,D_L接近于無偏。
若所估計的量為無偏估計量,則該估計量可以達到或漸進達到該克拉美羅下界。根據(jù)文獻[21],當(dāng)信號采樣點數(shù)[N→∞]時進行拋物線插值與高斯-馬爾科夫估計后得:
其中[SNR]為信噪比,[L]為接收信號數(shù)量。因此,將[L=2]代入式(22)可得本算法對應(yīng)的[CRLB]為:
2 算法仿真與性能分析
為了驗證算法正確性,對高斯隨機信號進行時延估計。首先生成3個互不相關(guān)的復(fù)高斯序列[sn]、[z1n]與[z2n],并假設(shè)[σ2z=σ2z1=σ2z2],使得[SNR=σ2s/σ2z]。因此,[z1n]和[z2n]具有相同功率,從而可以通過改變功率產(chǎn)生不同的[SNR]條件,且衰減系數(shù)[α=1],時延量[D=0.01]。另外,由于蒙特卡羅方法可以保證全局收斂,取1 000個蒙特卡羅法運行的獨立平均值作為最終結(jié)果,[DG]代表互相關(guān)算法,[DM]代表基于MMSE的算法,[DL]代表基于最小二乘樣本的擬合算法。
由圖1、圖2可知,互相關(guān)函數(shù)大約在1 010.9位置處取最大值。經(jīng)過粗略估計,此時估算時延為(2000/2+1)-1 010.9=-9.9,即9.9個采樣周期,換算成時延為0.009 9,而仿真時延估計數(shù)值為0.009 915 47,此時估算結(jié)果與實際信號時延非常接近。
圖3、圖4給出了不同信噪比與不同[P]值下的均方延遲誤差值。觀察圖3可知,在-10 另將圖3與圖4作對比,發(fā)現(xiàn)在信噪比逐漸增大時,[P]值也會增大,能夠提高本算法效果,[DL]在信噪比影響下能更好地逼近于CRLB。 圖5給出了不同[N]點數(shù)下的均方延遲誤差值。由圖5可以分析得出,[DG]在[N]逐漸增大時,所得誤差會逐漸偏離CRLB,并收斂于自身算法極限,而基于最小二乘樣本擬合的[DL]能夠得到較為準(zhǔn)確的延遲誤差值。從總體上看,[DL]的均方延遲誤差能夠最好地逼近CRLB,而[DG]與[DM]算法收斂至其極限值后則不再增加。 3 結(jié)語 本文針對高斯隨機信號提出基于最小二乘樣本擬合算法,通過sinc內(nèi)插公式在有限數(shù)量樣本條件下估計代價函數(shù)中的互相關(guān)量,并通過LS準(zhǔn)則進行樣本擬合,將代價函數(shù)最小化,求得代價函數(shù)極值點,該值即為所需的時延估計值,并將其與互相關(guān)算法及基于MMSE的算法進行性能比較。由算法仿真結(jié)果可得,在不同信噪比或不同[N]點數(shù)量的條件下,基于最小二乘樣本擬合的[DL]相比于互相關(guān)算法的[DG]與基于MMSE算法的[DM],都能更精確地計算出時延誤差值,且對于較大的[P]值,[DL]也能夠更好地逼近CRLB。因此,可得到基于最小二乘樣本擬合的[DL]總體性能最佳。 參考文獻: [1] 行鴻彥,唐娟. 時延估計方法的分析[J]. 聲學(xué)技術(shù),2008,27(1):110-114. [2] 常興旺.? GPS定時接收機時延校準(zhǔn)信號產(chǎn)生器的研究[D]. 中國科學(xué)院研究生院:國家授時中心,2010. [3] 張大威,鮑長春,夏丙寅. 復(fù)雜環(huán)境下基于時延估計的聲源定位技術(shù)研究[J]. 通信學(xué)報,2014,35(1):183-190. [4] 崔瑋瑋,曹志剛,魏建強. 聲源定位中的時延估計技術(shù)[J]. 數(shù)據(jù)采集與處理,2007(1):90-99. [5] 劉璋麟.? 基于線性調(diào)頻信號的時延估計算法研究及其在液體檢測中的應(yīng)用[D]. 廣州:華南理工大學(xué),2014. [6] 康玉梅,朱萬成,陳耕野,等. 基于小波變換的巖石聲發(fā)射信號互相關(guān)分析及時延估計[J]. 巖土力學(xué),2011,32(7):2079-2084. [7] 李雪梅,陶然,王越,等. 時延估計技術(shù)研究[J]. 雷達科學(xué)與技術(shù),2010,8(4):362-371. [8] YUAN W,PANG B,BO J, et al. Fiber optic line-based sensor employing time delay estimation for disturbance detection and location[J]. Lightwave Technol,2014,32 (5): 1032-1037. [9] 楊建輝,嚴(yán)天峰,王逸軒,等. 插值方法在TDOA估計中的研究與應(yīng)用[J]. 蘭州交通大學(xué)學(xué)報,2017,36(4):121-126. [10] 李晶,趙擁軍,李冬海. 基于馬爾科夫鏈蒙特卡羅的時延估計算法[J]. 物理學(xué)報,2014,63(13):67-73. [11] ZHOU T, LI H, ZHU J, et al. Subsample time delay estimation of chirp signals using FrFT[J]. Signal Processing, 2014, 96(5):110-117. [12] 何蒙,祖麗楠,孫昊,等. 基于LMS的廣義互相關(guān)時延估計[J]. 電聲技術(shù),2010,34(9):46-48. [13] 江雪,劉源源,雷維嘉,等. 低信噪比下互相關(guān)時延估計器的FPGA實現(xiàn)[J]. 電訊技術(shù),2014,54(7):951-957. [14] 鄭恩明,宋佳,陳新華,等. 基于時延差方差加權(quán)的時延差估計方法[J]. 電子與信息學(xué)報,2014,36(6):1362-1367. [15] 唐小明,吳昊,劉志坤. 基于廣義互相關(guān)算法的時延估計研究[J]. 電聲技術(shù),2009,33(8):71-74. [16] LIU Q, HAN S W, MA X S. Research of time delay estimation based on higher order statistics[J]. Applied Mechanics & Materials, 2014, 3047:550-553. [17] 欒風(fēng)虎,李玉峰,于學(xué)明,等. 基于高階累計量的時延估計研究[J]. 黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報,2010,27(2):260-263. [18] 王寶帥,杜蘭,和華,等. 基于復(fù)高斯模型的樣本缺失窄帶雷達信號重構(gòu)算法[J]. 電子與信息學(xué)報,2015,37(5):1065-1070. [19] SO H C. On time delay estimation using an FIR filter[J]. Signal Processing: The Official Publication of the European Association for Signal Processing (EURASIP),2001,81(8):1777-1782. [20] SO H C, Y T CHAN, K C HO, et al. Simple formulas for bias and mean square error computation[J].? IEEE Signal Processing Magazine, 2013, 30(4):162-165. [21] SO H C, CHAN Y T, CHAN F K W. Closed-form formulae for time-difference-of-arrival estimation[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2008, 56(6):2614-2620. (責(zé)任編輯:黃 ?。?/p>