章旭暉 沈雷 帥濤

摘 要：針對高斯隨機信號在傳統(tǒng)時延估計算法估計下出現(xiàn)性能下降的問題，提出一種基于最小二乘樣本擬合的時延估計算法。首先給出互相關(guān)的代價函數(shù)，利用sinc內(nèi)插公式采用有限數(shù)量的樣本估計相關(guān)數(shù)值，再通過最小二乘（LS）準(zhǔn)則最小化其代價函數(shù)求出估計值，該估計值接近于無偏。給出算法的克拉美羅下界（CRLB）表達式，并將該算法與互相關(guān)算法、基于最小均方誤差（MMSE）的算法進行性能比較。理論分析與實驗結(jié)果表明，所提出的基于最小二乘樣本擬合的算法性能優(yōu)于互相關(guān)算法與基于MMSE的算法，并且能更好地逼近克拉美羅下界值。

關(guān)鍵詞：時延估計;高斯隨機信號;最小二乘準(zhǔn)則;內(nèi)插公式;克拉美羅下界

DOI：10. 11907/rjdk. 181867

中圖分類號：TP393文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1672-7800（2019）002-0161-04

Abstract： Aiming at the problem of performance degradation of Gaussian random signal estimated in traditional delay estimation algorithm， a delay estimation algorithm based on least-squares sample fitting is proposed. Firstly， the cross-correlation cost function was given. The sinc interpolation formula was used to estimate the relevant data values with a limited number of samples. Then the least-squares （LS） criterion was used to minimize the cost function and the unbiased estimation value was obtained. The expression of Cramer-Rao Lower Bound （CRLB） of the algorithm was given， and the performance of the algorithm was compared with the cross-correlation algorithm and the minimum mean square error （MMSE） algorithm. Theoretical analysis and experimental results provide an explanation. The proposed algorithm based on least-square fitting is better than the cross-correlation algorithm and the MMSE algorithm can be asymptotically closer to the Cramer-Rao lower bound.

Key Words： time-delay estimation;Gaussian random signal;least squares criterion;interpolation formula;Cramer-Rao lower bound

0 引言

TDE（Time-Delay Estimation，時延估計）是對空間接收到的兩個或更多信號的時間延遲進行估計，其在航空航天[1-2]、聲吶[3-4]、GPS定位[1-2，7]與生物醫(yī)學(xué)[5-7]等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。在不同環(huán)境條件下，使用的時延估計方法也不同。常用的時延估計方法有互相關(guān)法[1]、高階統(tǒng)計量法[7]、基于MMSE（Minimum Mean Square Error，最小均方誤差）的估計法等。如今信號處理方法經(jīng)過不斷發(fā)展，將各種算法[8-10]應(yīng)用于時延估計中，提高了時延估計精度，減小了計算量，且提高了收斂速度。當(dāng)發(fā)射信號為線性調(diào)頻[11-12]信號或正弦信號等簡單信號時，通過互相關(guān)法[12-15]可以逼近最佳時延估計性能，且在一定信噪比條件下，均方誤差（MSE）能夠逼近CRLB（Cramer-Rao Lower Bound，克拉美羅下界）;高階統(tǒng)計量[16-17]的時延估計方法適用于信號為非高斯信號的情況，因為高斯噪聲的三階及以上的相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)恒為零，但該算法運算量較大。對于高斯信號而言，例如在窄帶雷達體制下，目標(biāo)回波近似服從高斯分布[18]，但因為高斯信號具有隨機性，若使用互相關(guān)算法會導(dǎo)致性能下降，且基于MMSE的算法進行內(nèi)插估計時并未進行樣本擬合最小化，從而導(dǎo)致算法性能較差，無法很好地逼近克拉美羅下界。

本文提出針對高斯隨機信號的時延估計算法，通過將互相關(guān)函數(shù)利用sinc內(nèi)插公式進行變換，再利用LS（Least Squares，最小二乘）進行樣本擬合，使其代價函數(shù)最小化，得到接近于無偏的估計值，并將其與互相關(guān)算法、基于MMSE的算法進行仿真比較。在時延估計問題中常采用克拉美羅下界（CRLB）作為估計性能的極限， 即作為時延估計有效性的一種度量，而改進算法的估計性能可以漸近地達到CRLB。

1 基于最小二乘樣本擬合的時延估計算法

本文研究的主要問題即估計兩個接收信號之間的到達時延值。首先建立被動時延估計模型，在離散時間條件下表達式為：

其中[sn]是隨機高斯信號，[α]是衰減常數(shù)，[D]是需要估計的時延量，[N]是采樣點個數(shù)，而[z1n]與[z2n]是均值為零且互不相關(guān)的白噪聲過程，[sn]、[z1n]、[z2n]對應(yīng)方差分別為[σ2s]、[σ2z1]和[σ2z2]。

信號[x1n]與信號[x2n]的互相關(guān)函數(shù)[R2，1（τ）]可表示為：

將式（1）、式（2）代入式（3）中，其中[sn]、[z1n]和[z2n]互不相關(guān)，得：

根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)[τ=D]時，[R2，1（τ）]取最大值，求得[R2，1（τ）]最大值所對應(yīng)的[τ]為信號[x1n]與[x2n]之間的時延[D]。但由于實際上是用有限樣本數(shù)進行估計，以及環(huán)境中存在噪聲等因素，互相關(guān)函數(shù)可能找不到一個準(zhǔn)確峰值，因此提出以下改進算法。

首先根據(jù)MMSE準(zhǔn)則，可求得其代價函數(shù)：

其中[α]、[D]是[α]與[D]的最優(yōu)變量，假設(shè)[α∈R]。

將代價函數(shù)[TM（D）]展開，并取其中的互相關(guān)部分，可得：

式（6）對應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)[R2，1（D）∈R]，計算[x2n]與[x1[n-D]]之間的相似性，得到[x1n]與[x1[n-D]]之間的關(guān)系，利用sinc內(nèi)插公式[19]：

將式（6）代入[D=argmaxR2，1（D）]，即找出互相關(guān)函數(shù)對應(yīng)的峰值點，而在實際中是基于有限個樣本進行估計，[R2，1（D）]是一個估計量。因此，代入內(nèi)插公式（7）可得：

因此，代價函數(shù)可表示為：

在有限樣本[P]的數(shù)值條件下，對代價函數(shù)進行改進，利用最小二乘（LS）準(zhǔn)則擬合方法，將[TDM（D）]最小化可得[TDM1（D）]。

式（11）中的[β]為[β]的最優(yōu)變量。對式（11）求關(guān)于[β]的一階導(dǎo)數(shù)：

將式（12）中右式置為零，則能夠用[D]表示[β]，即：

將式（13）代入式（11）求解得到加入最小二乘準(zhǔn)則改進的代價函數(shù)為：

該代價函數(shù)下的估計值D_L為：

得到估計值后，需要驗證所得估計為無偏估計。首先，求[TDL（D）]的一階導(dǎo)數(shù)前，需要先得到[（T'DM（D））2]的期望值為非零常數(shù)。

當(dāng)[D=D]時，[（T'DM（D））2]期望值為：

即符合無偏估計條件，D_L接近于無偏。

若所估計的量為無偏估計量，則該估計量可以達到或漸進達到該克拉美羅下界。根據(jù)文獻[21]，當(dāng)信號采樣點數(shù)[N→∞]時進行拋物線插值與高斯-馬爾科夫估計后得：

其中[SNR]為信噪比，[L]為接收信號數(shù)量。因此，將[L=2]代入式（22）可得本算法對應(yīng)的[CRLB]為：

2 算法仿真與性能分析

為了驗證算法正確性，對高斯隨機信號進行時延估計。首先生成3個互不相關(guān)的復(fù)高斯序列[sn]、[z1n]與[z2n]，并假設(shè)[σ2z=σ2z1=σ2z2]，使得[SNR=σ2s/σ2z]。因此，[z1n]和[z2n]具有相同功率，從而可以通過改變功率產(chǎn)生不同的[SNR]條件，且衰減系數(shù)[α=1]，時延量[D=0.01]。另外，由于蒙特卡羅方法可以保證全局收斂，取1 000個蒙特卡羅法運行的獨立平均值作為最終結(jié)果，[DG]代表互相關(guān)算法，[DM]代表基于MMSE的算法，[DL]代表基于最小二乘樣本的擬合算法。

由圖1、圖2可知，互相關(guān)函數(shù)大約在1 010.9位置處取最大值。經(jīng)過粗略估計，此時估算時延為（2000/2+1）-1 010.9=-9.9，即9.9個采樣周期，換算成時延為0.009 9，而仿真時延估計數(shù)值為0.009 915 47，此時估算結(jié)果與實際信號時延非常接近。

圖3、圖4給出了不同信噪比與不同[P]值下的均方延遲誤差值。觀察圖3可知，在-10

另將圖3與圖4作對比，發(fā)現(xiàn)在信噪比逐漸增大時，[P]值也會增大，能夠提高本算法效果，[DL]在信噪比影響下能更好地逼近于CRLB。

圖5給出了不同[N]點數(shù)下的均方延遲誤差值。由圖5可以分析得出，[DG]在[N]逐漸增大時，所得誤差會逐漸偏離CRLB，并收斂于自身算法極限，而基于最小二乘樣本擬合的[DL]能夠得到較為準(zhǔn)確的延遲誤差值。從總體上看，[DL]的均方延遲誤差能夠最好地逼近CRLB，而[DG]與[DM]算法收斂至其極限值后則不再增加。

3 結(jié)語

本文針對高斯隨機信號提出基于最小二乘樣本擬合算法，通過sinc內(nèi)插公式在有限數(shù)量樣本條件下估計代價函數(shù)中的互相關(guān)量，并通過LS準(zhǔn)則進行樣本擬合，將代價函數(shù)最小化，求得代價函數(shù)極值點，該值即為所需的時延估計值，并將其與互相關(guān)算法及基于MMSE的算法進行性能比較。由算法仿真結(jié)果可得，在不同信噪比或不同[N]點數(shù)量的條件下，基于最小二乘樣本擬合的[DL]相比于互相關(guān)算法的[DG]與基于MMSE算法的[DM]，都能更精確地計算出時延誤差值，且對于較大的[P]值，[DL]也能夠更好地逼近CRLB。因此，可得到基于最小二乘樣本擬合的[DL]總體性能最佳。

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（責(zé)任編輯：黃 ?。?/p>