黃碩程，陳 星

（四川大學(xué) 電子信息學(xué)院，四川 成都 610041）

0 引 言

隨著無線通信的發(fā)展，用戶對數(shù)據(jù)傳輸速率的要求越來越高，且通信的頻譜資源越來越緊張。如何在有限頻譜資源內(nèi)進(jìn)一步提升數(shù)據(jù)傳輸速率，成為當(dāng)前研究的一個熱點問題。在衛(wèi)星通信中，成對載波多址接入[1]和物理層網(wǎng)絡(luò)編碼[2]等體制已被提出并應(yīng)用。此時，收發(fā)兩端在同一頻帶內(nèi)同時發(fā)送一個單載波信號，在一個時隙內(nèi)實現(xiàn)用戶數(shù)據(jù)交互。但是，這些機(jī)制都是針對單載波信號實現(xiàn)的，形成的混合信號容易被識別。正交頻分復(fù)用技 術(shù)（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）由于頻譜效率高等優(yōu)點被廣泛使用，若通信雙方同時傳送OFDM信號不僅能進(jìn)一步提升數(shù)據(jù)傳輸速率，而且這種多載波混合信號還能增強(qiáng)混合信號的抗截獲能力。要實現(xiàn)多載波混合信號通信機(jī)制的關(guān)鍵，是如何在接收端恢復(fù)原始信號，需要同時估計各個混合信號的調(diào)制參數(shù)和信道響應(yīng)。其中，時延是一個重要的調(diào)制參數(shù)，直接影響多載波混合信號的分離性能。

目前，關(guān)于多載波時延估計算法的研究都是基于單個OFDM信號展開的，如基于訓(xùn)練序列的方 法[3]、基于循環(huán)平穩(wěn)特征方法[4]以及基于最大似然準(zhǔn)則的算法[5]等?；旌闲盘柕难芯恐饕P(guān)注的是單載波混合信號，其時延估計算法包括基于最大似然估計方法[6-7]、基于循環(huán)自相關(guān)估計方法[8-9]以及聯(lián)合參數(shù)估計方法[10-11]等。然而，這些方法并不適用于多載波混合信號。目前公開文獻(xiàn)中也未見關(guān)于多載波混合信號的研究。

鑒于此，本文提出一種多載波混合信號時延估計算法，將為實現(xiàn)多載波混合信號通信機(jī)制奠定基礎(chǔ)。除此以外，本文還分析了多載波混合信號時延估計的克拉美羅界。下面將分別分析信道衰減、濾波器等信號參數(shù)和未知兩種情況對應(yīng)算法的理論基礎(chǔ)和實現(xiàn)步驟。

1 系統(tǒng)模型

目前，混合信號的研究基本都是圍繞由兩個信號構(gòu)成的混合信號展開的。本文也選用由兩個OFDM信號組成的多載波混合信號作為研究對象。此時，接收信號可以被表示為：

式中xi(t)表示第i個OFDM信號，v(t)表示高斯白噪聲，并且x1(t)、x2(t)和v(t)相互獨立。

在衛(wèi)星通信中，第i個OFDM信號xi(t)可被表示為：

式中hi、fi和iφ分別表示信號的信道衰落、載頻和初始相位；aim,n表示第i個OFDM信號第m個子載波的第n個傳輸序列；Ni和Li分別表示OFDM信號的子載波數(shù)和循環(huán)前綴長度；Ti和ti為OFDM信號的符號速率和傳送時延；gi(t)表示成形濾波器。

不考慮循環(huán)前綴時，式（2）能被簡化為：

通過P倍過采樣得到離散信號為：

其 中xi(u)=xi(t)|t=uTs，gi(u)=gi(t)|t=uTs，Ts=T/P，i=1,2，且：

基于上面的信號模型和假設(shè)，下面將分別討論信道衰落hi和濾波器gi(t)等信號參數(shù)已知和未知兩種條件下的時延估計方法。

2 時延估計算法

自相關(guān)函數(shù)定義為：

式中上標(biāo)“*”表示共軛運算。

將式（5）代入式（6），可得單個OFDM信號的自相關(guān)函數(shù)為：

式（7）滿足：

因此，m2xi(u,τ)是一個周期函數(shù)，它的傅里葉級數(shù)可表示為：

由帕斯瓦爾定理，可知：

其中Gi(f)是gi(u)的傅里葉變換。

令：

此時，式（9）可被重寫為：

由于x1(t)、x2(t)和v(t)相互獨立，因此多載波混合信號x(t)的自相關(guān)函數(shù)可被表示為：

通過式（13）不難發(fā)現(xiàn)，m2x(u,τ)也是一個周期函數(shù)，它的傅里葉級數(shù)可被表示為：

當(dāng)k≠0或τ≠0時，式（14）能被簡化為：

利用式（15），下面將分別討論信道衰減和濾波器等參數(shù)已知和未知條件下對應(yīng)的時延估計 算法。

2.1 方法一

此時，假設(shè)接收方已知信道衰減和濾波器等參數(shù)，即h1、h2、F1和F2已知。將S2x(k,τ)重寫為：

式中A=|h1|2F1(k,τ)/P，B=|h2|2F2(k,τ)/P，且：

式（16）中的實部和虛部能被分別表示為：

S2x(k,τ)能夠直接通過接收數(shù)據(jù)計算得到，因此式（19）和式（20）中|S2x(k,τ)|和φ被認(rèn)為是已知的。同時考慮到方法一中信道衰減和濾波器參數(shù)已知，那么A和B也被認(rèn)為是已知的。此時式（19）和 式（20）僅包含兩個未知參數(shù)，可直接通過求解方程組得到α和β的值，表達(dá)式為：

或：

式（21）和式（22）是兩組不同的解，這是由盲估計的模糊特性導(dǎo)致的，此時需要輔助數(shù)據(jù)來消除錯誤解。

當(dāng)α和β的解被求出后，將其代入式（17）和式（18），可得到兩個OFDM信號的估計時延，如下：

為了提高估計精度，選擇不同τ估計得到時延的平均值作為最終估計結(jié)果。

通過前面的分析，方法一的求解步驟能被概 括為：

（1）給定k值，通過式（24）計算混合信號循環(huán)自相關(guān)函數(shù)；

（2）通過式（21）或（22）計算中間變量α和β的值；

（4）當(dāng)τ＜D（D＜N）時，τ=τ+1，并返回步驟（1）；（5）當(dāng)τ=D，計算估計時延的平均值。

2.2 方法二

此時，信道衰減和濾波器等參數(shù)是未知的。 式（15）可被重寫為：

式中：

當(dāng)k分別等于1和-1時，可得方程組：

一般情況下，成形濾波器選用升余弦滾將濾波器。此時，濾波器gi(t)為實偶函數(shù)，其傅里葉變換Gi(f)也為實偶函數(shù)，因此可得：

將式（29）代入（27），可得：

因此，式（28）可重寫為：

通過解方程組，可得：

當(dāng)且僅當(dāng)f1≠f2，式（32）和式（33）才有效。實際接收中，該條件一般都滿足。此時，可通過 式（34）估計各個OFDM信號的時延。

同樣，為了提高估計精度，方法二也選擇不同τ估計得到時延的平均值作為最終估計結(jié)果。此時，方法二的估計步驟與方法一類似，唯一的區(qū)別在于中間變量發(fā)生了變化，在此不在贅述。

3 理論界分析

不失一般性，假設(shè)在一段時間內(nèi)各個OFDM信號的時延保持不變。通過式（4）可得混合OFDM信號的似然函數(shù)為：

式中K表示OFDM符號總長度。

通過確定參數(shù)克拉美羅不等式，其估計時延iε^的方差滿足：

式中Jii表示矩陣I-1的第i個對角元素，并且I表示Fisher信息矩陣，可表示為：

由于x1(t)、x2(t)和v(t)相互獨立，因此：

此時，多載波混合信號估計時延的克拉美羅界能表示為：

通過式（41）可知，多載波混合信號估計時延的理論界與符號長度K、噪聲功率σv2、采樣率以P及信道增益hi相關(guān)，且將隨著K、P或hi的增加而減小，反之亦然。

4 仿真實驗和分析

本節(jié)采用MATLAB仿真評估多載波混合信號時延估計算法的性能，并考察觀測數(shù)據(jù)長度、信號載頻差異以及信噪比等因素對估計性能的影響。隨機(jī)產(chǎn)生兩路獨立的OFDM信號，子載波調(diào)制方式為QPSK，子載波數(shù)為32，且其符號速率Rb為512。升余弦濾波器滾降系數(shù)為0.33，時延為5，信道噪聲為高斯白噪聲。不失一般性，假設(shè)兩個信號的載頻分別為0.1Rb和0.2Rb，傳輸時延分別為0.3T 和0.5T。

此時，時延估計均方誤差（MSE）被定義為：

4.1 實驗1

本實驗將驗證載噪比對多載波混合信號時延估計性能的影響。當(dāng)OFDM符號長度為2 000時，在不同載噪比條件下時延估計的仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 不同載噪比條件下時延估計誤差

圖1 中，當(dāng)載噪比小于18 dB時，方法一和方法二的均方誤差將隨載噪比的增加而減小，而當(dāng)載噪比大于18 dB時，均方誤差趨于平穩(wěn)，且方法一的性能明顯優(yōu)于方法二。

多載波混合信號時延估計誤差主要來自于噪聲和統(tǒng)計誤差。當(dāng)信噪比較小時，噪聲起主導(dǎo)作用，此時均方誤差將隨載波的增加而減?。划?dāng)載噪比足夠大時，均方誤差主要來源于信號的統(tǒng)計誤差，與符號長度密切相關(guān)。實驗中，符號長度是固定的，因此當(dāng)載噪比足夠大時均方誤差趨于平穩(wěn)。

4.2 實驗2

本實驗將驗證符號長度對多載波混合信號時延估計性能的影響。

當(dāng)載噪比為10 dB時，在不同符號長度條件下時延估計的均方誤差如圖2所示。

圖2 不同符號長度條件下時延估計誤差

圖2 中，方法一和方法二的均方誤差隨著符號長度的增加而減小，且方法一的性能優(yōu)于方法二，并接近理論界。

當(dāng)載噪比給定時，時延估計誤差將隨著符號長度的變化而變化。當(dāng)符號長度增加時，統(tǒng)計誤差將變得更小，與實驗結(jié)果一致。

4.3 實驗3

本實驗將驗證多載波混合信號之間的頻率間隔對時延估計性能的影響。定義頻率間隔為：

式中fi表示第i個OFDM信號的載頻。

當(dāng)載噪比為10 dB、符號長度為2 000時，在不同頻率間隔條件下的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同頻率間隔條件下時延估計誤差

圖3 中，方法二的均方誤差隨著頻率間隔的增加而減小，而方法一的性能基本保持不變。

式中，Mid的模與sin(2πΔfTτ/P)成正比。當(dāng)P＞4時，|Mid|的值隨著Δf的增加而增加。實驗中過采樣率P=8，因此估計誤差將隨著Δf的增加而減小，這與實驗結(jié)果一致。

方法一的求解過程與Δf不相關(guān)，因此它的均方誤差幾乎不受頻率間隔的影響。

4.4 實驗4

本實驗將驗證已知載頻的精度對時延估計性能的影響。定義頻率精度為：

式中fi為第i個OFDM信號的真實載頻，表示接收端已知的第i個OFDM信號的載頻。

當(dāng)載噪比為15 dB且符號長度為2 000時，不同頻率精度條件下方法一的均方誤差仿真結(jié)果如 圖4所示。

圖4 不同頻率精度條件下方法一時延估計誤差

圖4 中，當(dāng)τ≠0時，方法一的均方誤差隨著df的增加而變大；而當(dāng)τ=0時，方法一的均方誤差幾乎不受df的影響。

回顧式（22），它能被重寫為：

式中u代表α或β。

式（46）中，當(dāng)且僅當(dāng)τ=0時，估計時延與載頻無關(guān)，這與實驗結(jié)果一致。實際應(yīng)用中，載頻估計誤差不可避免，因此通常選擇τ=0來規(guī)避頻率精度帶來的影響。

當(dāng)載噪比為15 dB且符號長度為2 000時，不同頻率誤差條件下方法二的均方誤差仿真結(jié)果如 圖5所示。

圖5 不同頻率精度條件下方法二時延估計誤差

圖5 中，方法二的均方誤差隨著df的增加而變大，且兩條曲線基本重合。為了保證解調(diào)性能（即時延估計誤差必須小于10-3），因此頻率誤差必須小于2%。

為了保證算法的有效性，τ不能等于0，因此頻率精度帶來的影響不可避免。

4.5 實驗5

本實驗將驗證已知信道增益的精度對時延估計性能的影響。定義信道衰減參數(shù)的精度為：

式中hi是第i個OFDM的信道衰減參數(shù)，是接收端已知的信道衰減參數(shù)。

當(dāng)載噪比為15 dB且符號長度為2 000時，不同信道衰減精度條件下方法一的均方誤差仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6中，方法一的均方誤差隨著信道衰減精度的增加而增大。為了保證解調(diào)性能，接收端已知信道衰減的精度必須小于8%。

對于方法二，它實質(zhì)上是同時估計的時延和信道衰減，因此它的估計性能并不受信道衰減參數(shù)精度的影響。

通過上面的實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，方法一和方法二的性能都將受到載噪比和符號長度的影響，且方法一還將受到信道衰減參數(shù)精度的影響。此外，方法二的性能與混合信號間的頻率間隔和頻率精度密切相關(guān)。

圖6 不同衰減精度條件下方法一時延估計誤差

5 結(jié) 語

本文提出一種適用于多載波混合信號的時延估計算法，為實現(xiàn)多載波混合信號通信機(jī)制奠定了基礎(chǔ)。當(dāng)信道增益、濾波器等參數(shù)已知時，估計性能明顯優(yōu)于信道增益、濾波器等參數(shù)未知條件下的估計性能。仿真結(jié)果表明，本文提出的算法將受到載噪比大小、符號長度、頻率精度、幅度精度以及頻率間隔等參數(shù)的影響。下一步將在本文基礎(chǔ)上研究如何實現(xiàn)多載波混合信號的分離。