胡藝銘 孫春生 李佳寬 于洪志

（海軍工程大學(xué)兵器工程學(xué)院 武漢 430033）

1 引言

無(wú)人機(jī)航跡規(guī)劃為在特定目標(biāo)和約束條件下，尋找從給定起點(diǎn)到設(shè)定終點(diǎn)、航跡代價(jià)最優(yōu)的無(wú)人機(jī)飛行路徑的行為。一般來(lái)說(shuō)，需要考慮的約束條件有無(wú)人機(jī)系統(tǒng)的機(jī)動(dòng)特性和威脅環(huán)境要素等。航跡規(guī)劃在無(wú)人機(jī)的任務(wù)規(guī)劃系統(tǒng)中占據(jù)著極其重要的地位，是無(wú)人機(jī)任務(wù)保障的核心技術(shù)［1］。

航跡規(guī)劃問(wèn)題實(shí)際上是多條件約束下的最優(yōu)化問(wèn)題，其中約束條件和優(yōu)化求解分別涉及到數(shù)學(xué)物理建模和優(yōu)化算法，因此航跡規(guī)劃一直是任務(wù)規(guī)劃系統(tǒng)中的重難點(diǎn)問(wèn)題。在現(xiàn)有的航跡規(guī)劃中，有環(huán)境要素和規(guī)劃方法兩方面因素需要考慮，其中環(huán)境因素，主要包括地形和敵方防空系統(tǒng)，地形通常利用高程數(shù)據(jù)建立，防空系統(tǒng)以考慮雷達(dá)影響為主，在現(xiàn)有的無(wú)人機(jī)路徑規(guī)劃文獻(xiàn)中，一般采用傳統(tǒng)的雷達(dá)探測(cè)空間模型［1～2］，但該模型不能真實(shí)地體現(xiàn)出雷達(dá)的探測(cè)空間；對(duì)于規(guī)劃方法，常用方法有網(wǎng)格規(guī)劃法、概率圖規(guī)劃法、人工勢(shì)場(chǎng)法、智能算法等［4～6］，其中智能算法往往收斂較慢，人工勢(shì)場(chǎng)法容易陷入局部最優(yōu)解，經(jīng)典的網(wǎng)格規(guī)劃算法，如A*和D*算法［7］，雖然它們往往能夠計(jì)算出分辨率最優(yōu)的路徑，但是與概率圖算法相比較，卻受限于低維度空間，而概率圖算法中的基于模擬退火的雙向RRT算法［8］可以在三維的規(guī)劃空間中得到概率最優(yōu)的路徑。論文以察打一體無(wú)人機(jī)末端突防航跡規(guī)劃為背景，首先建立以飛行路徑最短和被探測(cè)概率最小為目標(biāo)的最優(yōu)化模型，然后采用基于混合采樣的雷達(dá)模型和基于模擬退火的雙向RRT算法等改進(jìn)手段對(duì)最優(yōu)化模型進(jìn)行了細(xì)化和求解，實(shí)現(xiàn)了無(wú)人機(jī)末端突防航跡的合理規(guī)劃。

2 無(wú)人機(jī)航跡規(guī)劃模型

2.1 最優(yōu)化模型

將無(wú)人機(jī)的任務(wù)區(qū)域稱(chēng)為配置空間δ，該區(qū)域中地形和雷達(dá)將δ空間分為三個(gè)空間，其中地形占據(jù)區(qū)域?yàn)檎系K空間δoi，即無(wú)人機(jī)無(wú)法飛行的區(qū)域；雷達(dá)空間為半自由空間δfree*，在該空間中需要考慮代價(jià)函數(shù)c:δfree*→，即在每一個(gè)配置點(diǎn)q∈δfree*都對(duì)應(yīng)一個(gè)代價(jià)代表著雷達(dá)的探測(cè)概率值以及自由空間δfree。

有了上述的空間定義之后，論文不妨定義無(wú)人機(jī)飛行路徑ρ的長(zhǎng)度為l，為建立以飛行路徑最短和被探測(cè)概率最小為目標(biāo)的最優(yōu)化模型，將路徑分為 Nbt段，（xu,yu,zu）為路徑上每段的終點(diǎn)坐標(biāo)，(xrd,yrd,zrd)為配置空間中雷達(dá)所在點(diǎn)的坐標(biāo)，(xwo,ywo,zwo)為地形高程數(shù)據(jù)的坐標(biāo)值，w1,w2分別為每段路徑長(zhǎng)度和探測(cè)概率的權(quán)值，L為航路的總長(zhǎng)度，TNi為路徑上的探測(cè)概率，Rru,m代表雷達(dá)與目標(biāo)的距離。接下來(lái)就可以得到無(wú)人機(jī)航跡規(guī)劃的最優(yōu)化模型:

式（1）中(xwo,ywo,zwo)涉及數(shù)字高程地形模型的選取，TNi受雷達(dá)探測(cè)模型和地形模型共同影響，下面將分別介紹。

2.2 數(shù)字高程地形模型

在最優(yōu)化模型公式中，有 xu，yu，zu≥xwo，ywo，zwo，即要求無(wú)人機(jī)飛行時(shí)始終避開(kāi)障礙空間；因此，為了得到無(wú)人機(jī)飛行中障礙空間，需要采用了數(shù)字高程模型建立地形

目前，對(duì)于無(wú)人機(jī)對(duì)地打擊的地形建模的數(shù)據(jù)來(lái)源，一般來(lái)自于美國(guó)太空總署（NASA）和美國(guó)國(guó)防部國(guó)家測(cè)繪局（NIMA）聯(lián)合測(cè)量的SRTM（Shuttle Radar Topography Mission）數(shù)據(jù)庫(kù)。該數(shù)據(jù)庫(kù)包含世界大約80%的數(shù)字高程模型，且分辨率高達(dá) 90m［9］。

這里選取了經(jīng)度從100.402°到100.774°及北緯從28.395°到28.024°的高程數(shù)據(jù)，地形如圖1所示。

圖1 數(shù)字高程模型地形

上述高程數(shù)據(jù)，在Python的GDAL環(huán)境中三維表示如圖2所示。

圖2 地形三維圖

2.3 探測(cè)雷達(dá)模型

為了更加真實(shí)地表現(xiàn)出最優(yōu)化模型中雷達(dá)的探測(cè)區(qū)域，即半自由空間TNi所包含的空間范圍，來(lái)用于無(wú)人機(jī)的末端突防，論文采用基于混合采樣的雷達(dá)作用范圍三維建模方法［9］。

本論文考慮的雷達(dá)自由空間中的單基地雷達(dá)，所以雷達(dá)的發(fā)射能量和接受能量都由同一根天線決定，所以探測(cè)區(qū)域可以表示為

式中，Rmax為雷達(dá)最大探測(cè)距離，F(xiàn)(θ,φ)中θ為方位角，φ為俯仰角。在自由空間中的，不考慮各類(lèi)影響電磁波傳播環(huán)境因素的，方向圖傳播因子F(θ,φ)只與雷達(dá)天線方向圖函數(shù)有關(guān)的雷達(dá)。故在上述約定條件下，公式的 Rmax和 F(θ,φ)分別表示如下:

其中Pt為天線發(fā)射功率，Gt為發(fā)射天線增益，Gr為接受天線增益，σ為雷達(dá)目標(biāo)截面積，λ為雷達(dá)波波長(zhǎng)，k為玻爾茲曼常數(shù)，Ts為接收系統(tǒng)噪聲溫度，D0為檢測(cè)因子，CB為帶寬校正系數(shù)，L為系統(tǒng)損耗因子。

式（2）中F函數(shù)，論文采用高斯型方向函數(shù)［11］，即式（4），其中θb為波束寬度。

有了上述的探測(cè)雷達(dá)模型后，通過(guò)Python的mayavi環(huán)境，可以直觀看到雷達(dá)探測(cè)范圍如圖3所示。

圖3 雷達(dá)探測(cè)范圍三維顯示

2.4 地形遮蔽條件下雷達(dá)探測(cè)范圍的修正

雷達(dá)的探測(cè)范圍 TNi還會(huì)受到地形的影響，論文采用幾何光學(xué)的方法對(duì)遮蔽問(wèn)題進(jìn)行處理。一般來(lái)說(shuō)，地形的遮蔽情況為多峰，下面詳細(xì)說(shuō)明多峰遮蔽情形。

圖4 多峰地形對(duì)雷達(dá)探測(cè)邊界示意圖

連續(xù)多峰對(duì)雷達(dá)的影響分為兩類(lèi)，一類(lèi)情況多峰的末交點(diǎn)高于雷達(dá)主瓣的Q點(diǎn)，如圖4（a），另一類(lèi)情況多峰的末交點(diǎn)低于雷達(dá)主瓣的Q點(diǎn)，如圖4（b）所示，在這兩種情況下，雷達(dá)的探測(cè)區(qū)域都被修正為灰色區(qū)域，對(duì)應(yīng)半自由空間，其中雷達(dá)主瓣被遮蔽部分為自由空間，多峰所在區(qū)域?yàn)檎系K空間，即雷達(dá)探測(cè)空間被修正為半自由空間、自由空間和障礙空間三部分。

2.5 雷達(dá)探測(cè)概率原理

明確了地形遮蔽條件的雷達(dá)探測(cè)空間之后，還需要對(duì)其中半自由空間中的雷達(dá)探測(cè)概率TNi進(jìn)行定量描述，以進(jìn)一步用于無(wú)人機(jī)突防威脅代價(jià)的計(jì)算。

總的來(lái)說(shuō)，雷達(dá)探測(cè)概率（Pd）與雷達(dá)信號(hào)的信噪比（SNR）有關(guān)，而信號(hào)的信噪比（SNR）又與探測(cè)目標(biāo)與雷達(dá)的距離（Range）有關(guān)。詳細(xì)來(lái)說(shuō)，在文獻(xiàn)［14］中，雷達(dá)探測(cè)概率 Pd可以重寫(xiě)為Marcum Q函數(shù)，即式（5）。

式中，A為雷達(dá)信號(hào)的幅度，ψ2為雷達(dá)噪聲的方差，pfa為雷達(dá)的虛警概率。由于過(guò)式（5）即可以算出Pd與SNR的關(guān)系。

為了進(jìn)一步考慮目標(biāo)距離與雷達(dá)探測(cè)概率的關(guān)系，需要分析雷達(dá)信號(hào)的信噪比的具體表達(dá)式［14］:

其中Pt為峰值發(fā)射功率，GA為天線增益，σ為雷達(dá)目標(biāo)截面積，λ為發(fā)射載波波長(zhǎng)，Gibw為時(shí)域帶寬增益，Gdop為多普勒處理增益，K為玻爾茲曼常數(shù)，T為環(huán)境溫度，B為傳輸信號(hào)調(diào)制帶寬，R為目標(biāo)距離，L為系統(tǒng)損失，Nf為噪聲系數(shù)。

通過(guò)2.3和2.4節(jié)，確定了雷達(dá)的探測(cè)區(qū)域，而通過(guò)2.5節(jié)，論文確定了雷達(dá)探測(cè)區(qū)域中雷達(dá)的探測(cè)概率。

3 航跡規(guī)劃算法

對(duì)于在給定起終點(diǎn)的情況下，在雷達(dá)威脅區(qū)域中尋找到一條路徑最短探測(cè)概率最小的路徑，即求解式（1），論文采用基于模擬退火的改進(jìn)雙邊RRT（Rapidly-exploring random）算法；這里首先介紹該算法的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則引導(dǎo)路徑在低探測(cè)度區(qū)域搜索；然后介紹該算法如何實(shí)現(xiàn)。

對(duì)于算法的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則來(lái)說(shuō)，一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是，從力學(xué)角度來(lái)看，路徑上的點(diǎn)探測(cè)概率的增加（或者叫做路徑代價(jià)的增加）會(huì)對(duì)路徑的選取產(chǎn)生斥力；所以，評(píng)價(jià)一條路徑的好壞是以路徑上點(diǎn)的探測(cè)概率高低為標(biāo)準(zhǔn)的，同時(shí)，在路徑的距離上加上一個(gè)小的懲罰變量，用于在同樣的斥力情況下，選擇路徑較短的那一條?；谶@種原則，路徑上的斥力定義為

其中 p+代表路徑中探測(cè)概率增加的部分，ε相比于路徑的代價(jià)值非常小，L表示飛機(jī)路徑。

w的連續(xù)形式能夠轉(zhuǎn)化為便于求解的離散形式，考慮到路徑上的局部極值，w表達(dá)式為

其中αi和 βi是路徑上的局部的最小和最大值，=Pd(βi)-Pd(αi)兩個(gè)極值之間的正變化；如圖4，總之，路徑的斥力（或代價(jià)值）是通過(guò)計(jì)算極值之間的正變化，并且在路徑中加入一個(gè)εl參數(shù)以用來(lái)選擇斥力相同，路徑較短的那一條。

圖5 路徑代價(jià)值為Pd增加段之和

值得注意的是，上述描述中，只考慮了路徑中探測(cè)概率增大的路徑段，對(duì)于探測(cè)概率減小的路徑段，算法控制該階段的路徑長(zhǎng)度，以控制總路徑的長(zhǎng)度，具體的證明如下。

一般來(lái)說(shuō)，路徑總代價(jià)值為探測(cè)概率增大和探測(cè)概率減小段之和，公式表示如下:

通過(guò)式（7）、式（8）可以轉(zhuǎn)化成

因?yàn)?Pd(l)和Pd(0)為常數(shù)，而εl相對(duì)于代價(jià)值非常小，故式（10）說(shuō)明最小化w相當(dāng)于最小化最右端那一項(xiàng)。

論文采用的算法來(lái)同時(shí)具備快速擴(kuò)展隨機(jī)算法的探索能力和隨機(jī)優(yōu)化方法在復(fù)雜空間中求解全局最小值的能力。換句話說(shuō)，它使用轉(zhuǎn)移測(cè)試來(lái)接受和拒絕潛在探測(cè)概率較小或較大的狀態(tài)。轉(zhuǎn)移測(cè)試算法具體實(shí)現(xiàn)如下。

首先，在雷達(dá)探測(cè)空間中，高于最大探測(cè)概率的Cmax將被舍棄掉，接下來(lái)，采用與Monte Carlo方法類(lèi)似的思路，新配置點(diǎn)被接受的概率是通過(guò)比較其探測(cè)概率與其父節(jié)點(diǎn)的探測(cè)概率的差值來(lái)得到的。轉(zhuǎn)移概率 pij被定義如下:

其中Δcij=(Pdj-Pdi)/dij是代價(jià)函數(shù)的斜率，即探測(cè)概率差值除以?xún)烧咧g的距離。K是常數(shù)，用于正則化表達(dá)式；T是溫度參數(shù)，用于控制轉(zhuǎn)化測(cè)試的難易程度。

使用該轉(zhuǎn)移概率參數(shù)，探測(cè)概率的下降的位置點(diǎn)將會(huì)被自動(dòng)接受，而探測(cè)概率的上升，隨著探測(cè)概率差值的增加，被接受的概率將指數(shù)下降。

在上述的算法中，有一點(diǎn)是論文想要強(qiáng)調(diào)的，溫度參數(shù)T，它是算法的核心參數(shù)，它決定了探測(cè)概率差值被接受的難易程度，低溫度情況下，限制了對(duì)小差值的擴(kuò)展，反過(guò)來(lái)，高溫度下，允許大差值的擴(kuò)展。同Monte Carlo方法類(lèi)似，該參數(shù)在探索過(guò)程中，是保持不變或者逐漸較小的。

介紹了算法中核心的自適應(yīng)參數(shù)后，最后介紹算法的概率完備性，由于論文算法是基于RRT算法，它繼承了RRT算法的概率完備性［8］；唯一一點(diǎn)不同是，由于轉(zhuǎn)移測(cè)試的因素，一些擴(kuò)展點(diǎn)會(huì)被舍棄掉，即使在高維凸空間中。

圖6 無(wú)人機(jī)的起始終止位置

為了驗(yàn)證本文的算法，將不考慮機(jī)動(dòng)約束，勻速飛行的無(wú)人設(shè)定從（9.752km，14.304km，3.8km）的起始位置飛往目標(biāo)位置（8.05km，12km，2.0km），公式中的參數(shù)皆取經(jīng)驗(yàn)值。計(jì)算結(jié)果，如圖6所示。

圖6中雷達(dá)的位置中心設(shè)定為（7.5km，12km），最終通過(guò)本文的算法可以得到如下的路徑，和路徑上的探測(cè)概率值。

圖7 地形遮蔽條件下雷達(dá)探測(cè)區(qū)域圖

路徑上的探測(cè)概率如圖8所示。

圖8 路徑關(guān)鍵點(diǎn)與其探測(cè)概率

4 結(jié)語(yǔ)

論文研究的路徑規(guī)劃方法，可以在有地形遮蔽的雷達(dá)探測(cè)空間中快速地找出一條路徑最短和被探測(cè)概率小的航跡。

將模擬退火算法引入RRT中，使得RRT算法有選擇低探測(cè)空間的能力，從而加強(qiáng)無(wú)人機(jī)飛行的安全能力。

為使本文提出的算法能真實(shí)應(yīng)用，后期工作將對(duì)航跡規(guī)劃加入更精確的無(wú)人機(jī)的動(dòng)力學(xué)約束同時(shí)也將對(duì)算法進(jìn)行進(jìn)一步智能優(yōu)化。