柴媛媛， 孫中波， 楊宏韜， 李 巖， 劉克平

(長春工業(yè)大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 吉林 長春 130012)

0 引 言

迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control, ILC)最早由Arimoto提出，該控制策略利用前次操作時測得的誤差信息和控制輸出信號修正當(dāng)前操作的控制輸入，實現(xiàn)輸出信號完全跟蹤上目標(biāo)軌跡[1]。因此，迭代學(xué)習(xí)控制適用于具有重復(fù)性質(zhì)的機(jī)械臂系統(tǒng)。為了保證機(jī)械臂的收斂性，通常假定每次機(jī)械臂運(yùn)行時的初始狀態(tài)與期望軌跡的初始狀態(tài)完全相同[2-4]。但在實際機(jī)械臂運(yùn)行中，很難保證一致的初始值條件。

為了解決不確定性系統(tǒng)的初始值問題，Arimoto[5]分析了當(dāng)初態(tài)誤差較小時對迭代學(xué)習(xí)控制收斂性的影響，指出系統(tǒng)誤差可以收斂于某一鄰域內(nèi)。Lee[6]提出了帶有初始值修正的ILC算法，并討論了具有固定初始值偏差的ILC算法在收斂性上優(yōu)于具有隨機(jī)初始值偏差的ILC算法。在Lee[6]分析的基礎(chǔ)上，孫明軒[7]提出了帶有初始值修正的ILC算法，但是該算法需保證初始偏差有界，不能應(yīng)對具有隨機(jī)初始值偏差系統(tǒng)的控制問題。對于具有隨機(jī)初始值偏差的系統(tǒng)控制問題，呂慶[8]提出了帶有一段修正區(qū)間的ILC算法，該修正區(qū)間隨著迭代次數(shù)增加而減少，有效地抑制了初始值偏差對系統(tǒng)輸出的影響。

機(jī)械臂系統(tǒng)在重復(fù)運(yùn)行時，每次運(yùn)行都需重置初始條件，這降低了實驗結(jié)果的實用性[9-11]。目前，Kwang-HyunPark在傳統(tǒng)的D型ILC中加入比例項和誤差積分項，用來改善初始誤差對控制結(jié)果的影響[12]。Chen[13]利用一種初始狀態(tài)學(xué)習(xí)方案，結(jié)合傳統(tǒng)的D型ILC控制律，不需要每次都重置初始條件，得到了跟蹤誤差的收斂邊界，只根據(jù)系統(tǒng)的不確定性和外部擾動確定收斂邊界，而不依賴初始誤差。

文中提出一種無需重置條件下加速抑制隨機(jī)初態(tài)誤差的迭代學(xué)習(xí)控制方法。首先，針對任意初始狀態(tài)偏差，在時間軸上設(shè)計隨迭代次數(shù)增加而縮短的修正區(qū)間。其次，利用控制算法使每次迭代時的初始值無需重置，最后采用二自由度機(jī)械臂系統(tǒng)作為仿真驗證對象，仿真結(jié)果證明文中提出的算法是可行、有效的。

1 問題的提出

考慮n自由度機(jī)械臂動力學(xué)模型：

(1)

式中：t----時間;

k----迭代學(xué)習(xí)次數(shù)，非負(fù)整數(shù);

M(qk)----慣量矩陣，M(qk)∈Rn×n;

G(qk)----重力矩陣，G(qk)∈Rn;

τk(t)----輸入力矩，τk(t)∈Rn。

機(jī)械臂動力學(xué)模型(1)具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1M(qk)正定且有界，滿足

0<β1<‖M(qk)‖<β2

0<β1<β2

(2)

性質(zhì)2M(qk)滿足全局Lipschitz連續(xù)。

‖M(qk+1)-M(qk)‖≤lm‖qk+1-qk‖

(3)

式中：lm----正數(shù)。

性質(zhì)3G(qk)滿足全局Lipschitz連續(xù)

‖G(qk+1)-G(qk)‖≤gm‖qk+1-qk‖

(4)

式中:gm----正數(shù)。

(5)

引理1考慮連續(xù)函數(shù)f(x,y)，x∈X，X={x∈Rp||x|≤ρi,1≤i≤p},ρi≥0，因此存在L(y)使得

‖f(σ(x1),y)-f(σ(x2),y)‖≤L(y)‖x1-x2‖

?x1,x2∈Rp，y∈Rq

(6)

式中:‖σ(x1)-σ(x2)‖≤‖x1-x2‖。

證明 利用中值定理，存在z∈Rp，使得

因此

(7)

引理2[14]存在z(t)=[z1(t),z2(t),…,zn(t)]∈Rn,t∈[0,T]，使得

(8)

文中做如下基本假設(shè)：

假設(shè)1G(qk)有界：G(qk)≤lg，式中l(wèi)g從系統(tǒng)的實際限制獲得。

2 迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計

對于具有隨機(jī)初始值偏差的機(jī)械臂系統(tǒng)，設(shè)計迭代學(xué)習(xí)控制律為

(9)

式中：

(10)

Xk(0)=Dek(0)+xk(0)-xk+1(0)

(11)

(12)

如果‖In-Kd‖<1,該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則

(13)

其中，ek=qd-qk，Kd，Kp是對稱正定矩陣,D=‖In-Kd‖T，In∈Rn×n為單位矩陣。

證明 為了方便討論，將使M(qk)≡Mk，G(qk)≡G。

根據(jù)式(1)，可得

(14)

使

(15)

根據(jù)式(14)和式(15)，可得

(16)

因此

(17)

其中

對于任意τk(t),t∈[0,T],式(17)的一般解xk(t)如下

(18)

式中：eA(t-s)----系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

將式(9)代入式(18)，有

(19)

因此

(20)

通過式(9)和式(20)，可得

(21)

(22)

(23)

將式(23)代入式(22)，并在兩邊同時取范數(shù)

(24)

‖ek(t)‖≤‖Ek(t)‖，‖Ek(t)-Dek(s)‖≤‖I2-D‖‖Ek(t)‖

因此

(25)

為了簡化等式，令

(26)

(27)

根據(jù)式(26)、式(27)、性質(zhì)1～性質(zhì)4、引理1和假設(shè)1～假設(shè)2，可得

(28)

因此

fk+1(t)-fk(t)≤ω‖Ek+1(t)-Ek(t)‖

(29)

根據(jù)式(25)和式(29)可得

(30)

式中：α=supt·s∈[0,T]‖eA(t-s)‖;

η=‖AD+P‖。

式(30)兩邊乘e-λt，根據(jù)引理2可得

(31)

通過‖I2-D‖≤1，因此‖In-Kd‖<1，存在足夠大λ，使得

(32)

因此，根據(jù)式(31)可得

‖Ek+1(t)‖λ≤ρ‖=Ek(t)‖λ

(33)

根據(jù)式(32)和式(33)可得

(34)

從而

(35)

(36)

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗證文中控制算法的可行性和有效性，利用Matlab對二自由度機(jī)械臂系統(tǒng)軌跡跟蹤問題進(jìn)行仿真實驗，機(jī)械臂模型如圖1所示。

圖1 二自由度機(jī)械臂系統(tǒng)

Matlab代碼是在Matlab R2014a環(huán)境下運(yùn)行實現(xiàn)，CPU為Intel(R)，3.30 GHz，4 GB內(nèi)存，采用如下動力學(xué)模型進(jìn)行仿真：

c22=0,

g1=m2lc2gsin(q1+q2)+(m1lc1+m2l1)gsin(q1),

g2=m2lc2gsin(q1+q2)。

仿真時各參數(shù)實際值為:

m1=2 kg,

m2=2 kg,

l1=0.6 m,

l2=0.6 m,

lc1=0.4,

lc2=0.4,

I1=0.1,

I2=0.1。

仿真參數(shù)：

Kd=diag{0.4,0.4}，

Kp=diag{3.5,3.5}，

a=1.003,

h=0.1。

系統(tǒng)的初始轉(zhuǎn)態(tài)值由rand函數(shù)隨機(jī)生成。

期望軌跡為：

qd1=sin(4πt)，

qd2=sin(4πt)。

由于定義機(jī)械臂每個期望軌跡相同，因此，將機(jī)械臂每個輸出軌跡與期望軌跡置于一個圖內(nèi)，如圖2所示。

圖2 q1，q2跟蹤曲線

圖中，qd1，qd2為期望軌跡，q1，q2為第20次迭代學(xué)習(xí)時實時跟蹤軌跡。

從圖2可以看出，文中所給出的控制律使機(jī)械臂的每個輸出軌跡在經(jīng)過20次迭代控制后能有效地跟蹤其相應(yīng)的參考軌跡。

系統(tǒng)跟蹤誤差隨迭代學(xué)習(xí)次數(shù)變化的曲線如圖3所示。

e1為機(jī)械臂連桿1的跟蹤軌跡與期望軌跡之間的跟蹤誤差，e2為機(jī)械臂連桿2的跟蹤軌跡與期望軌跡之間的跟蹤誤差。從圖3可以看出，跟蹤誤差一直在減少，并且開始時誤差減少速度較快，在經(jīng)過10次迭代控制后跟蹤誤差已經(jīng)足夠小，表明了系統(tǒng)跟蹤誤差的收斂性。

圖3 跟蹤誤差隨迭代學(xué)習(xí)次數(shù)變化曲線

為了說明文中提出的迭代學(xué)習(xí)控制算法對隨機(jī)初態(tài)的加速抑制效果，在相同仿真條件下，二自由度機(jī)械臂系統(tǒng)在無加速抑制隨機(jī)初態(tài)的ILC條件下，跟蹤誤差隨迭代次數(shù)變化的曲線如圖4所示。

圖4 在無加速抑制隨機(jī)誤差的條件下，跟蹤誤差隨迭代學(xué)習(xí)次數(shù)變化的曲線

e1為機(jī)械臂連桿1的跟蹤軌跡與期望軌跡之間的跟蹤誤差，e2為機(jī)械臂連桿2的跟蹤軌跡與期望軌跡之間的跟蹤誤差。

對比圖3和圖4可以看出，在文中提出的加速抑制算法下，跟蹤誤差在第10次左右就可減少到零。而在無加速抑制算法下，跟蹤誤差在第25次左右減少到零。所以，文中提出的算法對加速抑制隨機(jī)誤差的效果十分明顯。

4 結(jié) 語

在無需重置條件下研究存在不確定性的機(jī)械臂系統(tǒng)，結(jié)合PD型迭代學(xué)習(xí)控制算法提出了一種加速抑制初態(tài)誤差的迭代學(xué)習(xí)控制方法。首先，在時間軸上設(shè)計了一段隨迭代學(xué)習(xí)次數(shù)增加而減少的修正區(qū)間。迭代學(xué)習(xí)控制算法加速了對隨機(jī)初態(tài)誤差的抑制，并消除了隨機(jī)初態(tài)誤差對機(jī)械臂的影響。同時，文中提出的迭代學(xué)習(xí)控制算法使每次迭代時的初始值無需重置。其次，在λ范數(shù)意義下，證明了算法的收斂性。最后，數(shù)值結(jié)果表明，迭代學(xué)習(xí)控制算法能夠有效加速隨機(jī)初態(tài)誤差的抑制。所以，文中提出的算法是可行、有效的。