焦運(yùn)良，邢計(jì)元，靳堯凱

(華北計(jì)算機(jī)系統(tǒng)工程研究所，北京 100083)

0 引言

心電信號是人類最早研究的生物信號之一，相比其他生物信號更易于檢測，且具有直觀的規(guī)律。心電圖的準(zhǔn)確分析對心臟病的及早治療有重大的意義。人體是一個復(fù)雜精密的系統(tǒng)，有許多不可抗的外界因素，得到純凈的心電信號非常困難?？梢圆捎蒙窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)算法去除心電信號的噪聲，但這種方法存在訓(xùn)練難度大、耗時長的缺點(diǎn)。小波變換在處理非線性、非平穩(wěn)且奇異點(diǎn)較多的信號時具有一定的優(yōu)越性,近年來許多學(xué)者使用其對心電信號進(jìn)行研究[1]。

1 心電信號簡介

心電信號由以下幾個波段組成，一個典型的心電圖如圖1所示。

圖1 典型心電圖

(1)P波：反映心房肌在除極過程中的電位變化過程；

(2)P-R間期：反映的是激動從竇房結(jié)通過房室交界區(qū)到心室肌開始除極的時限；

(3)QRS波群：反映心室肌除極過程的電位變化；

(4)T波：代表心室肌復(fù)極過程中所引起的電位變化；

(5)S-T段：從QRS波群終點(diǎn)到達(dá)T波起點(diǎn)間的一段水平線[2]；

(6)Q-T間期：心室從除極到復(fù)極的時間[3]；

(7)U波：代表動作電位的后電位。

由于心電信號十分微弱，且低頻，極易受到干擾，不同的干擾源的噪聲雖是隨機(jī)的，但來自同一個干擾源的噪聲往往具有同一類特征。分析干擾的來源，針對不同的來源使用合適的處理方法，是數(shù)據(jù)采集重點(diǎn)考慮的一個問題。常見干擾有3種：(1)工頻干擾；(2)基線漂移；(3)肌電干擾[4]。其中已經(jīng)證明小波變換在抑制心電信號的工頻干擾方面具有較大優(yōu)勢[5]。具體噪聲頻帶如表1所示。

表1 心電信號以及主要噪聲頻帶

2 小波基礎(chǔ)理論

2.1 小波變換定義

設(shè)信號函數(shù)φ(t)滿足L2(R)，即若φ(t)平方可積，則將此信號作下列變換：

WTf(a,b)≤f(t)

(1)

上述變換的逆變換為：

(2)

其中，

(3)

Ψ(w)是φ(t)的傅里葉變換。與傅里葉變換類似，利用式(1)可以將信號做小波變換，利用式(2)可以恢復(fù)出原信號，只不過CΦ有一個約束條件式(3)，這個約束條件被稱作進(jìn)行小波變換的容許性條件，φ(t)被稱作基本小波函數(shù)或母小波函數(shù)。對母小波函數(shù)進(jìn)行伸縮平移變換，可得到如下函數(shù)族：

(4)

其中，a為尺度因子，b為位移因子，a,b∈R,且a≠0，當(dāng)a,b不斷變化時，就可以得到一系列函數(shù)，稱為函數(shù)族，在這里將這個函數(shù)族φa,b(t)稱作小波基函數(shù)。小波變換的巧妙之處在于這個小波基函數(shù)中的a和b兩個變量。a是將母小波進(jìn)行伸縮變換，且a在分母上，所以a≠0。a越大，母小波的時間域越大，對應(yīng)的頻域越小，適當(dāng)將a增大可以用母小波研究低頻信號，提高時間域分辨率；a越小，母小波的時間域越小，對應(yīng)頻域越大，適當(dāng)減小a可以將母小波用來研究高頻信號，提高頻率域的分辨率。b是位移因子，調(diào)節(jié)b的大小可以將信號進(jìn)行平移變換，如果將a和b結(jié)合起來，通過變換a和b的大小，能對高頻和低頻信號都有一個好的分析效果。小波變換在時頻域都是局部的，能很好地對各時刻附近的頻率信息進(jìn)行處理[6]。

2.2 Mallat算法

給定一個基本函數(shù)φ(x),φ(x)的伸縮和平移可以記為：

φ(a,b)(x)=φ(ax-b)

(5)

在小波變換中，多分辨的一般定義為：L2(R)可以被分割成許多小空間Vj,j=…,-2,-1,0,1,2。

這樣處理完之后，就將L2(R)這個向量空間用它的子空間Vj{j∈z}和Wj{j∈z}表示,其中Vj{j∈z}被稱為尺度空間，Wj{j∈z}被稱為小波空間。

2.3 小波基的選擇

首先選擇對稱性好的小波基，對稱性好的小波基不易產(chǎn)生相位畸變，其次選擇正則性好的小波基，這樣重構(gòu)的信號更加平滑，同時應(yīng)該選擇緊支撐的小波基使得處理能夠?qū)崟r進(jìn)行。

Daubechies構(gòu)造的dbNv小波就可以滿足以上幾個條件。其中最簡單的是db1(Haar)小波，但它的頻域局域性差。此處選擇db6小波，相比db1小波其更加符合要求，同時在MATLAB上容易實(shí)現(xiàn)，db6小波更接近于心電信號，對心電信號去噪有更好的效果。圖2為db系列小波基曲線。

3 小波去噪

3.1 去噪原理及評價標(biāo)準(zhǔn)

3.1.1 去噪原理

噪聲的定義為“預(yù)測不到的，只能用概率論統(tǒng)計(jì)的方法來認(rèn)識的隨機(jī)誤差”[7]。小波分析去噪的

圖2 db系列小波

原理：對小波分解后的各層系數(shù)模大于和小于某閾值的系數(shù)分別進(jìn)行處理,然后利用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)出消噪后的圖像[8]。將采集到的心電信號做多尺度的小波分解，然后根據(jù)不同尺度的心電信號特征和噪聲特點(diǎn)，選取合適的規(guī)則，利用分解的小波系數(shù)的特征在各尺度對心電信號進(jìn)行去噪，最后再進(jìn)行重構(gòu)，得到去除噪聲之后的圖像。

將心電信號進(jìn)行小波變換之后，在突變處幅值很大，而突變的地方往往是噪聲比較多的地方，在很多比較平穩(wěn)的有用信號處幅值很小，這就能夠用閾值的方法很好去除噪聲。由前面的Mallat算法可以知道如何對信號進(jìn)行多尺度分析，即使信號突變嚴(yán)重，也能用合適的小波系數(shù)將信號進(jìn)行分解，相比傅里葉單一的正弦函數(shù)基，小波有很多優(yōu)秀的小波基供選擇去噪。

3.1.2 信號去噪的評價標(biāo)準(zhǔn)

信號去噪最好的結(jié)果是在不破壞信號本身信息的條件下將噪聲予以剔除，對原始信號的還原程度越高，去噪效果越好。通常用以下兩個參數(shù)來判斷去噪效果的好壞：一個是最小化平均平方誤差MSE，另一個是信噪比SNR。

(6)

其中，X表示不含噪聲的純凈的心電信號，x表示經(jīng)過去噪過程之后的心電信號，由式(6)可知，MSE越小，真實(shí)純凈的信號與去噪之后的信號越接近，去噪效果越好。

(7)

同樣，X表示不含噪聲的純凈的心電信號，分母是均方誤差，分子是原始純凈的信號，SNR越大表明去噪效果越好。

除了這兩個標(biāo)準(zhǔn)，肉眼觀察也可以辨別不同去噪算法的好壞，本文最后的去噪效果通過客觀和主觀觀察兩種方法來判定。

3.2 閾值去噪

3.2.1 閾值去噪總流程

利用小波閾值去噪的過程如下：

(1)選擇一個合適的小波基；

(2)利用下一小節(jié)式(8)確定分解的層數(shù)，也可以利用簡單規(guī)則，根據(jù)SNR來簡單確定分解層數(shù)；

(3)根據(jù)小波系數(shù)，選擇合適的閾值對信號進(jìn)行去噪；

(4)將信號進(jìn)行重構(gòu)。

3.2.2 分解層數(shù)的選擇

對信號處理的每一步都會影響最終的去噪結(jié)果，分解層數(shù)過低或者過高都不能達(dá)到理想的去噪效果，求解分解層數(shù)的公式為：

j=min{(log2(fs/fn)-1),log2(N)}

(8)

其中，fs是指所含噪聲最低頻率的下限。由上式中的幾個變量可得，分解層數(shù)j與采樣頻率、噪聲頻帶寬度、信號長度這三個因素有關(guān)。

上述是求分解層數(shù)的最有效的方法，也可以根據(jù)SNR來粗略確定分解層數(shù)，SNR越大，可以選擇相對較小的分解層數(shù)，這樣既能達(dá)到想要的去噪效果，又能簡化計(jì)算過程，提高運(yùn)算速度，同理小的SNR時選擇較大的分解層數(shù)才能達(dá)到想要的去噪效果。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若SNR>20，就可以將分解層數(shù)選為3，既能有效去噪又能快速求解；若SNR<20，可以粗略地將分解層數(shù)選為4。

3.2.3 閾值函數(shù)的選取

利用閾值去噪方法去除噪聲過程中，閾值的選取是最重要的一環(huán)，傳統(tǒng)的閾值選取方法有兩種，即硬閾值和軟閾值。

首先介紹硬閾值的閾值取法，硬閾值的取法如下所示：

(9)

其中，w為小波系數(shù)的值，而λ為選定的閾值，硬閾值即將小波系數(shù)中大于給定閾值的保持不變，小于給定閾值的將其置0。硬閾值的處理效果在閾值點(diǎn)處一定是不連續(xù)的，如果直接對信號進(jìn)行重構(gòu)，那么重構(gòu)的信號可能會產(chǎn)生震蕩。

第二種閾值方法為軟閾值：

(10)

此式中各符號的含義與硬閾值一樣，如果小波系數(shù)w比所設(shè)定的閾值大或者與設(shè)定的閾值相同時，并不直接保留小波系數(shù)的值，而是采取了一種比較平滑的處理，令其為原值減閾值λ；小于時，與硬閾值一樣，將其置0。經(jīng)過這樣的軟閾值處理之后，在閾值點(diǎn)處不會發(fā)生不連續(xù)的現(xiàn)象，改進(jìn)了硬閾值的缺點(diǎn)，但對信號進(jìn)行重構(gòu)可能會影響重構(gòu)信號對真實(shí)信號的逼近程度。軟閾值相比硬閾值還是有更好的去噪效果，因此本文基于軟閾值來對信號去噪。

3.2.4 閾值選取

閾值去噪時在閾值大的情況下，數(shù)據(jù)會不清晰，大的閾值影響高頻的小波系數(shù),心電信號邊緣處小波系數(shù)被遺忘；若閾值選取值小，會有很多噪聲存在?？梢圆捎萌趾途植块撝?，用全部尺度或固定尺度的小波域系數(shù)僅以固定閾值進(jìn)行噪聲處理即全局閾值，由小波系數(shù)的特征靈活地選擇閾值即局部閾值。

全局閾值方法有：DJ閾值、極大極小閾值等。DJ閾值的D和J在理論上證明了當(dāng)帶有雜質(zhì)的心電信號小波變換后，如果其系數(shù)比指定閾值大時，其含噪概率趨于0。其閾值選擇標(biāo)準(zhǔn)如下:

(11)

其中，σn是噪聲信號方差，N是信號長度。

但這種閾值處理效果并不理想，會過度扼殺小波系數(shù)，也會消除一些有用的小波信號。它只針對一個尺度上小波域系數(shù)的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度，并沒有在各個尺度表現(xiàn)小波系數(shù)的相關(guān)程度。

局部閾值挽救了全局閾值的不足，把各個部位含噪信號的小波域系數(shù)的相關(guān)程度和雜質(zhì)信號系數(shù)的影響也表示在公式中。分析小波系數(shù)的局部特點(diǎn)，按照某種判定準(zhǔn)則研究小波系數(shù)的來源，決定是否保留這個小波系數(shù)。

4 閾值去噪改進(jìn)

在以上的去噪流程中，小波基和分解層數(shù)的選擇以及閾值的選擇，都會直接影響最終的去噪效果。但不論是硬閾值還是軟閾值，都存在不可避免的對去噪效果有一定影響的因素。

面對心電信號這種不平穩(wěn)的信號，對其進(jìn)行小波變換之后，不同小波系數(shù)之間大小有較大差距，同時在信噪比上也存在較大的差異，基于此來尋找一種更加適合的閾值取法。

在此處將閾值λ取為：

(12)

其中，λ表示閾值取值；σi表示i級分解上的小波系數(shù)的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差；Ni表示第i級分解上小波系數(shù)的大??；j為分解層數(shù)，此處為4；c為調(diào)節(jié)因子。使閾值隨著分解層數(shù)改變，層數(shù)越大閾值越小，比較符合在小波分解后不同分解層數(shù)的系數(shù)在信號和噪聲上的比例分布。

改進(jìn)的閾值去噪算法的具體步驟如下：

(1)利用db6小波基對信號進(jìn)行4級分解；

(2)對四個尺度上的小波系數(shù)采用新的閾值采取方法來進(jìn)行閾值處理，采用軟閾值的方法，大于λ的其值為本身的值減去閾值λ的大小，小于λ的置0予以剔除；

(3)調(diào)整c的值實(shí)現(xiàn)最好的閾值處理效果，并將處理之后的各小波進(jìn)行重構(gòu)得到去噪的心電信號。

圖3和表2為原方法和改進(jìn)后方法去噪結(jié)果對比。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源為Massachusetts Institute of Technology-Beth Israel Hospital (MIT-BIH)數(shù)據(jù)庫，MIT-BIH是由美國麻省理工學(xué)院提供的研究心律失常的數(shù)據(jù)庫，是目前國際上公認(rèn)的可作為標(biāo)準(zhǔn)的心電數(shù)據(jù)庫之一，MIT-BIH數(shù)據(jù)庫近年來應(yīng)用比較廣泛。

從圖3可以看出改進(jìn)閾值的辦法更好地過濾了噪聲，信號的毛刺減少，更加光滑。

圖3 去噪方法比較

閾值選擇原閾值改進(jìn)閾值SNR5.031 55.362 8MES0.037 70.034 1

從表2可以得出，改進(jìn)之后的方法比原來的去噪方法能更加有效地去除噪聲，更好還原心電信號。

5 結(jié)論

本文基于軟閾值提出了一種新的閾值選取方法，新的閾值取法綜合了各級小波分解系數(shù)的值，相對通用閾值的方法能更好去除心電信號中的噪聲，但還不能完全去除，這是本文今后的研究方向。