(福州大學 機械工程及其自動化學院，福州 350108)

0 引言

滾動軸承作為機械設備特別是旋轉機械中最為關鍵的零部件，起著支撐主軸、傳遞力矩的作用，一旦發(fā)生故障將影響到整個機械設備的運行狀態(tài)，甚至導致設備的嚴重損壞以及人員傷亡[1]。資料顯示，滾動軸承故障約占旋轉機械故障的30%[2]。由于發(fā)生故障的滾動軸承振動信號會受到運行環(huán)境噪聲的干擾，此時直接進行分析并不能夠準確提取振動信號的故障特征。

信號降噪的傳統(tǒng)方法主要有傅立葉變換，短時傅立葉變換、Wigner-Ville分布、小波變換，小波包變換等。對于滾動軸承振動的非平穩(wěn)故障信號，傅立葉變換只能在時域分析信號，頻譜并不能反映故障信號的局部信息；短時傅立葉變換在傅立葉變換的基礎上加窗，具有一定的局部分析能力，但是其窗函數(shù)固定不變，窗太窄會導致頻率分辨率差，窗太寬會導致時間分辨率低，故短時傅立葉變換還是無法滿足非穩(wěn)態(tài)信號變化的頻率的需求； Wigner-Ville分布在一定程度上彌補了傅立葉變換的不足，具有對稱性、時移性等優(yōu)良特性，但不是信號的線性變換，導致存在交叉干擾項；小波包分析只對低頻部分進行分析，分解成低頻、高頻，在降噪過程中容易除去中高頻的有用故障信息；小波包分解方法是一種更加精細的分解，同時對高低頻進行分解，克服小波分解在高頻段的頻率分辨率較差，而在低頻段的時間分辨率較差的缺點。目前，小波包閾值去噪在工程實踐中應用廣泛，大多使用傳統(tǒng)的硬、軟閾值函數(shù)，均有一定的效果。但由于硬、軟閾值函數(shù)的形式固定不變，無法根據(jù)信號變化而自適應調整，具有很大局限性。文獻[3]提出一種折中的閾值量化方法，雖然能夠在一定程度彌補硬、軟閾值函數(shù)降噪的不足，但其函數(shù)還是固定不變。文獻[4-5]根據(jù)軟、硬閾值函數(shù)提出一種引入調節(jié)因子的改進閾值函數(shù)，但沒有說明調節(jié)因子的選擇標準，也不能根據(jù)信號自適應變化。因此，提出可隨信號自適應變化的小波包閾值函數(shù)具有重要意義。

Torres等人[6]提出的具有自適應噪聲的完整集成經(jīng)驗模態(tài)分解算法(a complete ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise,CEEMDAN)是對經(jīng)驗模態(tài)分解[7]作了進一步改進，在經(jīng)驗模態(tài)分解的每一階段添加自適應白噪聲，通過計算其特定的余量來獲取各個模態(tài)分量IMF，其分解過程具有完備性并且能有效克服模態(tài)混疊現(xiàn)象的發(fā)生。

基于以上分析，提出一種基于排列熵改進的小波包閾值函數(shù)和CEEMDAN的滾動軸承故障信號分析算法，基本思路是首先對含噪的故障信號進行改進的小波包閾值降噪，接著對降噪信號進行CEEMDAN，選擇相關系數(shù)大的IMF分量進行包絡譜分析，提取故障特征頻率。結果表明此方法能夠有效消除噪聲和保留原始信號特征。

1 基本理論

1.1 小波包降噪思路

小波包分析是由小波分析發(fā)展而來的一種更加精確的方法。針對小波分析只在低頻部分分解的不足，小波包分解在對低頻部分分解的同時，也對高頻部分做分解，對信號的分析能力更強。

對平方可積實數(shù)空間L2(R)進行多分辨率分析，得到小波包逼近空間的表達式為：

(1)

式中，Wj為小波函數(shù)空間；j為尺度因子，⊕為兩個子空間的“正交和”。

由式(1)可知，根據(jù)不同尺度因子j，將Hilbert空間L2(R)分解成小波空間Wj(j∈Z)的正交和，小波包分析就是按照二進制對Wj進行頻帶細分，以達到提高頻率分辨率的目的。

假設一維噪聲信號的表達式為：

X(i)=x(i)+α(i) (i=1,2,3,…,n-1)

(2)

式中，X(i)為含有噪聲的信號，x(i)為不含噪聲信號，α(i)為噪聲。

小波包降噪的基本思路是依據(jù)含噪信號X(i)選擇適當?shù)男〔ò瘮?shù)和分解層數(shù)，將故障信號進行小波包分解,高、低頻小波包系數(shù)經(jīng)過閾值函數(shù)的量化處理，最后將處理后的小波包系數(shù)重構得到降噪信號。根據(jù)故障信號和環(huán)境噪聲在不同頻帶的不同特性，去除各節(jié)點的噪聲分量。在所測信號含有故障時，小波包分解得到的系數(shù)幅值較大的代表著所含故障信號x(i)，而系數(shù)幅值較小的部分基本上由環(huán)境噪聲α(i)所產生。降噪的主要目的是濾除信號中的噪聲，進而小波包降噪的關鍵在于處理由噪聲產生的小波包系數(shù)，所以使用不同的閾值函數(shù)進行降噪會產生不同的降噪效果。

1.2 排列熵算法

排列熵(Permutation Entropy,PE)是Bandt等[8]提出的一種檢測時間序列隨機性和動力學突變的方法，PE具有概念簡單，計算速度快，抗干擾能力強等優(yōu)點，并且特別適用于非線性數(shù)據(jù)的處理，其計算方法如下[9]。

考慮長度N時間序列{x(i),i=1,2,…,3,N}，首先對其進行相空間重構，得到如下的時間序列：

(3)

其中：m為嵌入維數(shù)，λ為時間延遲。將x(i)的m個向量：按X(i)={x(i),x(i+λ),…,x(i+(m-i)λ)升序重新排列，即：

X(i)={x(i+(j1-1)λ)≤x(i+(j2-1)λ)

≤…≤x(i+(jm-1)λ)}

(4)

若存在{x(i+(ji1-1)λ)=x(i+(ji2-1)λ)}，則按j值大小進行排序，即當jk1

S(g)=[j1,j2,…,jm]

(5)

時間序列{x(i),i=1,2,…,3,N}的排列熵可以按照Shannon熵的形式定義為：

(6)

當Pg=1/m時，HP(m)達到最大值In(m!)，因此可以通過In(m!)將排列熵HP(m)進行標準化處理，即：

HP=HP(m)/In(m!)

(7)

顯然，HP的取值范圍是0≤HP≤1。HP值的大小代表著時間序列的隨機性程度。HP越大，說明時間序列月隨機，反之，則說明時間序列越規(guī)律。

滾動軸承故障信號中有用成分往往比較規(guī)律，而噪聲更隨機，因此可以依據(jù)排列熵來表征故障信號中的含噪狀態(tài)。文獻[10]研究指出噪聲會導致信號排列熵變大，而且含有噪聲越大，其排列熵越大。

圖1為兩端加有高斯白噪聲的正弦仿真信號及其排列熵。由圖可知，正弦信號受到較大噪聲干擾時，排列熵很大，當噪聲消失時，排列熵會較低，隨著再次加入噪聲，排列熵再次變大，并且噪聲小，排列熵相對來說也小。

圖1 仿真信號及其排列熵

2 改進小波包閾值降噪算法

2.1 小波包硬、軟閾值函數(shù)

目前常用的是硬、軟閾值函數(shù)，其表達式如下。

硬閾值函數(shù)：

(8)

軟閾值函數(shù)：

(9)

式中，x為小波包系數(shù)，sign(·)為符號函數(shù)；T為閾值。

硬閾值函數(shù)是將絕對值小于閾值的小波系數(shù)變成零，而將絕對值大于閾值的小波系數(shù)予以保留，硬閾值函數(shù)不具有連續(xù)性，導致其重構信號會產生振蕩。而軟閾值函數(shù)將絕對值大于閾值的小波系數(shù)時進行收縮處理，減小小波系數(shù)。該方法使得降噪后的信號更加平滑，但因為減小絕對值較大的小波系數(shù)時造成恒定的偏差，從而影響了重構信號與真實信號的逼近程度，造成部分高頻信息小波包系數(shù)損失。因此，有必要提出一種介于硬、軟閾值之間，并且能夠根據(jù)信號含噪情況自適應變化的新閾值函數(shù)。

2.2 改進小波包閾值函數(shù)

為了解決硬、軟閾值不能自適應調節(jié)閾值函數(shù)的問題，本文提出一種基于排列熵的改進小波包閾值函數(shù)降噪方法，將排列熵作為調節(jié)因子，利用排列熵對噪聲的變化特性和小波包分解系數(shù)的噪聲特性，進行自適應降噪。

改進閾值函數(shù)表達式如下：

(10)

式中，x為小波包系數(shù)，sign(·)為符號函數(shù)；T為閾值，P為小波包系數(shù)的排列熵值。

可知，信號排列熵值P取值范圍(0,1]，其值越大，則該小波包系數(shù)序列越隨機，也即含噪聲越多；反之，含有更少的噪聲。如圖2所示，P取值越大，閾值函數(shù)偏向具有更強收縮能力的軟閾值函數(shù)，此時有更好的降噪效果，特別P取值為1時，改進閾值函數(shù)即為軟閾值函數(shù)；反之，P值越小趨于0，代表小波包系數(shù)序列越規(guī)律，含有用信號越多，此時閾值函數(shù)偏向硬閾值，更好的保留有用的故障信號。相比硬、軟閾值函數(shù)，此閾值函數(shù)可以根據(jù)故障信號小波包分解系數(shù)序列的含噪情況的變化而改變，具有一定的適應性。

2.3 閾值估計方法及降噪效果指標

(12)

(13)

降噪后信號的信噪比越高，原始信號和降噪后信號的均方根誤差越小，則越接近真實信號，降噪效果越好。

圖2 改進閾值函數(shù)圖像

2.4 3種閾值函數(shù)降噪對比

用MATLAB常見的Doppler信號加入高斯白噪聲進行實驗，對比3種閾值函數(shù)降噪效果。此處小波基選用db4小波，分解層數(shù)選取4層。排列熵的參數(shù)分別取嵌入維數(shù)為5、時間延遲為1。

表1為不同閾值方法降噪信號的信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)。

圖3為加噪信號與分別采用硬閾值、軟閾值和改進閾值函數(shù)處理的后的降噪信號。

表1 不同閾值降噪效果指標對比據(jù)

通過對比3種方法的降噪結果，可以看出：硬閾值函數(shù)處理的重構信號會產生振蕩，并沒有很好的濾除高斯白噪聲，原因是硬閾值函數(shù)在閾值處是不連續(xù)的；軟閾值函數(shù)是連續(xù)的，去噪信號平滑，但存在恒定差值，導致降噪過程會造成信號失真；改進小波包閾值函數(shù)降噪能夠極大降低高斯白噪聲，并且克服硬閾值函數(shù)不連續(xù)和軟閾值函數(shù)恒定差等問題，在去除噪聲同時更好的保留原始信號的故障特征。從表1指標客觀來看，改進的小波包閾值函數(shù)降噪后信噪比高于硬、軟閾值函數(shù)，并且均方根誤差最小，驗證了改進閾值函數(shù)的有效性。

圖3 原始信號和3種不同方法降噪對比圖

3 CEEMDAN算法原理

CEEMDAN為自適應噪聲完備集合經(jīng)驗模態(tài)分解，是在EMD方法基礎上多次改進而得到的，能有效的抑制“模態(tài)混疊”現(xiàn)象的發(fā)生。定義符號M(·)表示局部均值的計算，符號Ek(·)表示由EMD方法分解得到的第K個IMF，符號ω(i)表示隨機產生的第i個均值為0，幅值為1的高斯白噪聲。

CEEMDAN算法的具體過程如下：

在上述步驟②中，參數(shù)βk表示在抽取第k+1個IMF時所添加噪聲的幅值，βk=ε0std(rk)，其中，符號std(·)代表計算信號的標準差。根據(jù)文獻[11]，當ε0=0.2時，CEEMDAN算法能夠獲得較好的性能。本文的CEEMDAN參數(shù)設置，取添加白噪聲幅值為信號標準差的0.2倍，集總平均次數(shù)為50。

4 軸承信號實例分析

為了驗證本文提出方法的有效性，采用美國凱斯西儲大學(Case Western Reserve University)軸承故障數(shù)據(jù)[12]，利用上文提出的降噪分析方法進行驗證。選用驅動端電機軸承故障數(shù)據(jù)，故障軸承為JEM SKF 6205-2RS深溝球軸承，軸承幾何參數(shù)：滾動體直徑8 mm，滾動體數(shù)9個，軸承節(jié)徑38.5 mm，接觸角0o。分別在軸承內、外圈的單點電蝕故障振動加速度信號，故障直徑為0.007 inch，轉速為1 750 r/min，采樣頻率12 kHz，采樣點數(shù)4 096個，計算得到軸轉頻理論值29.17 Hz，內圈的故障特征頻率理論值為157.94 Hz，外圈的故障頻率理論值為104.56 Hz。

首先取故障信號，選擇常用小波包基函數(shù)db4，分解層數(shù)為4，經(jīng)過改進的小波包閾值函數(shù)得到變換后的小波包系數(shù)，然后重構系數(shù)得到降噪后的信號，接著進行CEEMDAN分解，根據(jù)相關系數(shù)篩選IMF，最后對有效的IMF進行包絡譜分析。

4.1 內、外圈降噪前后對比

根據(jù)2.2的閾值估計方法，對內、外圈故障信號改進小波包閾值降噪的閾值分別取0.5和0.4，降噪前內、外圈的故障信號和由變換小波包系數(shù)重構得到降噪后的時域圖分別如圖4～5所示，其包絡譜圖分別如圖6～7所示。對比時域圖可以看出，經(jīng)過改進小波包閾值降噪后的信號時域圖中沖擊更加明顯，有效減少環(huán)境噪聲的干擾。對比包絡譜可以看出，在去除高頻噪聲同時，能夠有效的保留高低頻的有效故障信號，體現(xiàn)出改進小波包閾值函數(shù)降噪方法的有效性。

圖4 內圈降噪前后時域圖對比圖

圖5 外圈降噪前后時域圖對比圖

4.2 去噪信號的CEEMDAN分解

利用CEEMDAN對降噪后的內、外圈信號進行分解，由于故障特征主要集中在前幾個分量，故先提取前6個分量進行觀察分析。

從圖8可以看出，內圈分解后的前幾個分量都含有一定的沖擊特征信息，其中IMF1、IMF3包含有調制信號，IMF1沖擊特征非常明顯，IMF2無明顯的調制信號，其他分量的沖擊振幅均比較小。從圖9可以看出，外圈分解的前兩個分量都含有較強的沖擊特征信息，其中IMF1沖擊特征最明顯，IMF2相比IMF1較弱，并且均無明顯的調制信號。根據(jù)相關系數(shù)對內、外圈前幾個分量進行進一步的刷選分析。

圖6 內圈降噪前后包絡譜對比

圖7 外圈降噪前后包絡譜對比圖

圖8 內圈降噪信號CEEMDAN分解的前6個IMF分量

圖9 外圈降噪信號CEEMDAN分解的前6個IMF分量

各分量IMF1IMF2IMF3IMF4IMF5IMF6內圈0.85570.66520.23430.10270.01700.0040外圈0.96800.14460.01220.00870.01700.0079

表2是內、外圈經(jīng)過CEEMDAN分解后前6個分量的相關系數(shù)。對比表中數(shù)據(jù)可看出內、外圈前兩個IMF分量的相關系數(shù)比較大，代表前兩個分量包含主要的故障信息，分別對內、外圈前兩個分量進行包絡譜分析，為了便于觀察內、外圈故障頻率，將代表頻率的x軸限定在[0,500]，如圖8至圖11所示。

各取前兩個分量進行包絡譜分析。

圖10 內圈降噪信號CEEMDAN分解的前兩個分量包絡譜

圖11 外圈降噪信號CEEMDAN分解的前兩個分量包絡譜

從內、外圈前兩個IMF分量的包絡譜來看，均存在28.63 Hz對應軸轉頻理論值29.17 Hz。其中內圈前兩個包絡譜中明顯存在的157.4 Hz頻率沖擊，相當于內圈故障頻率理論值157.94 Hz，可以推斷軸承內圈發(fā)生故障，此外還存在內圈故障的調制頻率沖擊；同樣從外圈前兩個IMF分量的包絡譜來看，明顯存在的105.9 Hz頻率沖擊，相當于外圈故障頻率理論值104.56 Hz，可以推斷軸承外圈發(fā)生故障，此外還有外圈故障倍頻沖擊存在。雖然理論值和真實值存在些許誤差，但整體上并不影響故障類型的診斷。

5 總結

在研究小波包分析中，針對傳統(tǒng)硬、軟閾值函數(shù)降噪的不足，提出一種基于排列熵的改進小波包閾值降噪的方法，構造了可根據(jù)信號自適應變化的閾值函數(shù)。仿真信號試驗結果表明，相比較硬、軟閾值函數(shù)，改進的閾值函數(shù)能夠根據(jù)信號含噪情況調整閾值函數(shù)，具有更好的降噪效果。

CEEMDAN作為EMD的改進算法，在每一次分解階段都添加自適應白噪聲，有效克服模態(tài)混疊現(xiàn)象。將其與改進的小波包分解結合應用于滾動軸承的故障分析中，發(fā)揮出兩者的優(yōu)勢。

利用美國凱斯西儲大學軸承故障數(shù)據(jù)進行驗證，對內、外圈故障信號進行分析，結果表明此方法能夠減少噪聲干擾并有效保留有用的故障信息，具有一定的實用價值。